Глава 2 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1.Многие реальные зависимости вида y = y(x) при построении

математической модели процессов или явлений подлежат нахождению в результате решения уравнения, связывающего y(x) , её производные или

дифференциалы (до п-го порядка включительно, п =1, 2, ... ), а также ка-

кие-либо известные функции и константы. В общем случае такая связь имеет вид

и называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. Всякая функция y = y(x) , при подстановке которой в уравнение оно

обращается в тождество, называется решением (1).

Наиболее выгодное задание связи (1) – это уравнение, разрешенное относительно старшей производной. Так, уравнение первого порядка приобретает вид

y′ = f (x, y) .

Нахождение решений, очевидно, сопряжено (на каком-то этапе) с переходом от производной y′ = y′(х) к функции y(x) , т.е. с операцией ин-

тегрирования. На самом деле в процессе интегрирования определится целый класс функций

где С – произвольная постоянная. Класс (2) называется общим решением дифференциального уравнения; часто зависимость между х, С и у получается в неявном виде: Φ(x,C, y) = 0 . При каждом конкретном значении

C = C0 получаем так называемое частное решение

Задача о нахождении частного решения, принимающего в заданной точке х0 заданное значение y0 , может быть поставлена в виде

23

Относительно (4) говорят, что задана задача Коши. Если найдено общее решение (2), то достаточно подставить значения x = x0 , y = y0

в равенство (2), так чтобы определить соответствующее значение C = C0 ;

затем ответ записывается в виде (3).

1.2. Обсудим вопрос существования решения задачи Коши и общего решения.

Если функция f (x, y) – элементарная (а именно с такими обычно

приходится иметь дело), то в любой открытой области D, содержащейся в области определения, эта функция непрерывна вместе со своими част-

ными производными ∂∂fx и ∂∂fy . При этих условиях, как оказывается, для

любой точки (х0 , у0 ) D , задача Коши (4) имеет единственное решение.

Кроме того, при этих же условиях в D существует общее решение уравнения y′ = f (x, y) . А именно, существует класс (2), такой что при

любом значении постоянной C = C0 соответствующая функция (2) есть решение уравнения, и для любого начального условия вида y(x0 ) = y0 , (х0 , у0 ) D , найдётся единственное значение постоянной C0 , для которого y(x, C0 ) будет решением уравнения.

2.УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

2.1.Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид

называется уравнением с разделяющимися переменными. Если y′ пред-

ставить как отношение dydx дифференциалов и ограничиться рассмотре-

нием значений g(x) ≠ 0 , то (5) преобразуется к следующему равносильному виду:

gdy( y) = f (x)dx .

Поскольку у = у(х) , то можно проинтегрировать по х обе части:

∫ gdy( y((хх))) = ∫ f (x)dx

или, возвращаясь к переменной у,

24

∫ gdy( y) = ∫ f (x)dx .

Последнее равенство представляет собою общее решение (5).

Частным случаем (5) является задача интегрирования y′ = f (x) ; общее решение здесь имеет вид

y= ∫ f (x)dx .

2.2.Уравнение допускает разделение переменных, если записано

виной, нежели (5), эквивалентной форме. Характерным признаком здесь является наличие произведений (частных) «блоков», зависящих лишь от х

илишь от у. Например, уравнение может быть записано в терминах дифференциалов:

P1(x)Q1( y)dx + P2 (x)Q2 ( y)dy = 0 .

Преимущество последней формы записи в том, что в качестве искомой функции может быть выбрана как x = x(y), так и y = y(x).

Замечания

1.Если обе части уравнения делим на переменную величину, то ограничиваемся случаем, когда она отлична от нуля.

2.Возникающая при интегрировании произвольная постоянная мо-

жет быть записана в виде kC или klnC , где k – произвольно выбранный множитель. Такая запись бывает удобна для упрощения ответа.

2.3. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти общее решение уравнения xy′ = (4 + y2 )ln x .

Данное уравнение допускает разделение переменных (см. отмеченный выше характерный признак). Преобразуем уравнение к виду

xdydx = (4 + y2 )ln x .

Умножим обе части на dx , после чего «лишними» окажутся в левой части множитель х, а в правой – (4 + y2 ). Поделим, следовательно, обе части на x(4 + y2 ). Последовательно получаем

xdy = (4 + y2 )ln xdx;

Имеем теперь уравнение с разделёнными переменными. Следовательно, возможен переход к интегралам:

25

∫22 dy+ y2 = ∫ln xd(ln x);

1arctg y = ln2 x + 1C.

22 2 2

Упрощаем общее решение:

arctg 2y = ln2 x +C .

Пример 2. Решить задачу Коши

Решение. В данном случае уравнение записано в терминах дифференциалов. Поскольку

x(2 y +1) dx = (x2 +1)dy ,

то видим возможность разделения переменных: следует поделить обе части на произведение (2y +1)(x2 +1). Последовательно получаем

Общее решение получено; произведём упрощения: ln(x2 +1)= ln(2 y +1)+ln C ,

ln(x2 +1)= lnC(2y +1); x2 +1 = C(2 y +1) .

Теперь выясним, при каком значении постоянной С будет выполнено указанное начальное условие. Подставляя x = 0, y = 12 , получим

26