будучи подобен исследуемому объекту, отображает и воспроизводит (например, в виде знаковых форм, формул, схем и т.п.) в более простом и огрубленном виде структуру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами данной системы. Ниже указанное обстоятельство уточняется в терминах так называемого системного подхода.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД

4.1. Векторная интерпретация системы X → S →Y по сути уже является её математической моделью «в первом приближении». Здесь Х – вектор входных воздействий, Y – вектор выходных величин (их называют также переменными), S – вектор, характеризующий саму систему, называемый также вектором параметров системы. Так, например, прибор, преобразующий некоторые сигналы, оперирует с вектором (набором числовых характеристик) Х входных сигналов, на выходе выдает вектор числовых характеристик преобразованного сигнала, но и сам характеризуется некоторым набором (вектором) S параметров.

4.2. Типы систем. Размерности векторов Х и Y входных воздействий и выходных переменных определяют размерность самой системы, а размерность п вектора параметров системы называют порядком системы. В соответствии с этим, система одномерна, если Х и Y оба одномерны, и многомерна – в противном случае. Вообще говоря, размерности векторов Х и Y могут быть различными; в качестве примера можно при-

вести систему управления толщиной проката в различных пролетах прокатного стана с помощью управления скоростью вращения и степенью поджатия валков: здесь вектор входных (управляющих) воздействий двумерен, а вектор выходной величины (толщина листа металла) одномерен. В случае же, когда размерности векторов Х и Y одинаковы и равны некоторому т, значение т и будем называть размерностью системы.

Система называется динамической, если её переменные (компоненты вектора выходных переменных) претерпевают изменения с определенной скоростью, и статической – в противном случае.

В качестве примера можно привести экспертные системы (ЭС). ЭС есть компьютерная система, способная частично заменить специали- ста-эксперта в разрешении проблемной ситуации. Эти системы подразделяются на статические и динамические. Статические ЭС используются в тех приложениях, где можно не учитывать изменения параметров окружающего мира, происходящие за время решения задачи. В динамической ЭС, напротив, эти изменения учитываются, что, в свою очередь, определяет динамику выходных параметров.

Понятия динамических и статических систем связаны с вектором выходных переменных, тогда как вектор параметров самой системы может быть постоянным (стационарная система) или меняться со временем

17

( S = S(t) – вектор-функция времени); в последнем случае систему назы-

вают нестационарной. Примером стационарной системы могут служить тонометр, характеристики которого не меняются со временем, не зависят от входных воздействий (измеряемые пульс, давление и др.). Примеры нестационарных систем – это системы, где процессы, например, старения являются на данном интервале времени существенными (таковыми являются, например, параметры двигателя внутреннего сгорания, меняющиеся в процессе его старения).

Системы также классифицируются по признакам дискретности и непрерывности, открытости и замкнутости.

Примером непрерывной системы может служить любая электрическая схема. Выходные значения переменных (например, значение силы тока), очевидно, могут быть любыми (в некоторых границах).

Системы автоматического управления, в которых передача, обработка и преобразование информации осуществляются только в определенные моменты времени, является дискретной. Выходные сигналы являются при этом некоторой последовательностью импульсов.

Заметим, что возможны системы смешанного типа. Эта возможность связана, например, с существованием числовых величин, которые на каком-то интервале своих значений ведут себя как дискретные, а на другом – как непрерывные. Например, это могут быть системы обмена информацией, которые в течение рабочего дня функционируют постоянно, а остальное время фиксируют поступление информации лишь в определенные (заданные) моменты.

Детерминированными называются системы, в которых параметры и структура определены однозначно. Стохастические системы – это системы, чьи параметры и структура могут принимать, соответственно, случайные значения или случайный вид.

Примером стохастической системы может служить энергосистема, влияние на которую различных пользователей непредсказуемо. При случайных воздействиях состояние системы (в частности, значения переменных) может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью.

4.3. Системный подход. В широком смысле, речь идет о методологии научного познания, в основе которой лежит рассмотрение объекта как системы. Моделируя объект как систему, исследователь должен разложить его на определенное множество элементов, а также сформулировать определенное множество отношений между ними. При этом предполагается, что системная модель объекта А способна объяснить все его существенные свойства и отношения, а также интегральное поведение объекта А в целом, хорошо согласуясь при этом с эмпирическими данными о нем, полученными путем систематического наблюдения и эксперимента. Взгляд на изучаемый объект как систему предполагает принятие допущения о его относительной независимости от других объектов и самодоста-

18

точности с точки зрения его функционирования как целого по присущим ему внутренним законам. Другим важным следствием взгляда на исследуемый объект как систему является допущение о его целостности, что означает принятие гипотезы о наличии интегральных законов его поведения, не сводимых (не редуцируемых) к сумме законов функционирования его отдельных элементов [5, c. 18]. В узком смысле, суть этого подхода заключается в том, что вместо изучения реальных систем, во всем их раз-

нообразии, изучаются математические модели этих систем. В основе системного подхода лежит то обстоятельство, что процессы, протекающие в реальных системах, обычно могут быть описаны (с приемлемой для практики точностью) решениями некоторых математических задач (характер которых мы в общем случае не уточняем; например, это могут быть дифференциальные или конечно-разностные уравнения или их системы). Таким образом, реальной динамической (процессной) системе ставится в соответствие её математическая модель, как эквивалент данной системы. При этом характер решений задач в математической модели соответствуют, в некотором масштабе, характеру движений исследуемой системы. Поэтому характеристики решений, такие, как, например, как амплитуда и частота колебаний, время затухания и т.п. соответствуют аналогичным характеристикам движений реальной динамической системы. Число моделей невелико по сравнению с числом реальных объектов; следовательно, изучив свойства математических моделей и характер соответствующих решений, можно сделать выводы о свойствах целых классов реальных или еще только создаваемых динамических систем.

Процесс изучения и создания систем на основе системного подхода состоит в последовательном решении следующих задач.

1.Собственно моделирование (идентификация), т.е. формирование математической модели системы.

2.Анализ, т.е. изучение характера решений задач модели и зависимости их свойств от параметров и структуры системы.

3.Синтез, т.е. задача выбора структуры и параметров математической модели создаваемой системы так, чтобы её качество удовлетворяло заданным требованиям.

4.Реализация – переход от математической модели системы к реальным устройствам, которые бы описывались синтезированной моделью.

Следует заметить, что в основе системного подхода, наряду с понятием математической модели, лежит понятие информации, так как ма-

тематические модели учитывают и описывают лишь информационную сторону процессов, протекающих в исследуемых системах. Природу же этих переменных, конструктивные, энергетические и другие особенности элементов системы эти модели обычно учитывают лишь опосредованно,

аименно, в той мере, в какой они влияют на характер движений системы.

19

4.4. В соответствии с векторной интерпретацией системы, рассмот-

рим следующую общую схему представления модели:

X →W →Y .

Здесь X – вектор входных (экзогенных) переменных; Y – вектор выходных переменных (исходы модели); W – так называемый оператор модели; оператор модели обеспечивает преобразование входной информации в выходную в соответствии с задачей, решаемой на модели. Возможны следующие три варианта упомянутых задач:

1)Прямая задача: известны Х и W, необходимо найти Y.

2)Обратная задача 1: известны Y и W, необходимо найти X.

3)Обратная задача 2: известны X и Y, необходимо найти W.

Впоследней задаче возможны случаи «чёрного ящика» – оператор полностью неизвестен, и «серого ящика» – при известной структуре оператора не известны значения параметров.

5. ТРЕБОВАНИЯ К МОДЕЛЯМ

Процесс и результаты математического моделирования открывают исследователю ряд новых познавательных возможностей. В то же время к математической модели предъявляется ряд естественных требований, обусловливающих её свойства, и позволяющих, в рамках разумных усилий, получить максимально достоверную информацию об исследуемой системе.

5.1.Дескриптивная, прогностическая и нормативная функции моделей. Дескриптивная функция состоит в следующем. Абстрагирование, присущее именно математическим моделям, позволяет достаточно просто объяснить некоторые наблюдаемые процессы и явления. В этом случае модели становятся компонентами научных теорий и являются эффективным средством отражения их содержания.

Прогностическая функция моделирования отражает возможность предсказывать будущие свойства и состояния моделируемых систем.

Нормативная функция моделирования заключается в возможности построения нормативного образа системы, желательного с точки зрения субъекта, интересы и предпочтения которого отражены в критериях эффективности функционирования системы. Нормативная функция моделирования тесно связана с решением задач управления, т.е., с ответом на вопрос «как добиться желаемого (состояния, свойств системы и т.д.)?».

5.2.Адекватность и простота. Адекватность модели – требование воспроизведения моделью с достаточной полнотой и точностью всех свойств системы, существенных для целей данного исследования. Речь идет об определенном соответствии моделируемым системам, о качественном описании рассматриваемых свойств объекта, а также о точности

20

модели, которая оценивается по степени совпадения значений выходных параметров (переменных) системы и значений тех же параметров, получаемых на основе моделирования. Естественно, что требование адекватности распространяется на те исследуемые свойства, которые принимаются за основные.

Другим важнейшим требованием к модели является её простота. Сложность модели не должна превосходить некоторого предела, определяемого как степенью необходимых уточнений, так и возможностями математического аппарата, которым располагает исследователь. Модель считается достаточно простой, если вычислительные средства и другие методы исследования дают возможность провести в приемлемые сроки и экономично по затратам, но возможно большей точностью анализ исследуемых свойств и осмыслить полученный результат. Здесь учитываются такие критерии как среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к математической модели; размерность систем уравнений, используемых в математической модели и др., а также возможности вычислительной техники при численной реализации модели. При этом следует говорить о необходимом балансе между степенью адекватности и степенью сложности модели: среди возможных адекватных моделей выбирать наиболее самую простую.

5.3. Универсальность и оснащенность. Свойство универсальности

математических моделей проявляется в возможности применения одной и той же модели к объектам (системам) принципиально различной природы, подчиняющимся разным фундаментальным законам. Универсальность математических моделей объясняется, с одной стороны, как единством проявления физических свойств окружающего мира, так и абстрактностью математических теорий, их отвлеченностью от объекта исследования с другой стороны.

Примером простейшей универсальной математической модели является функциональная зависимость у = k х . При соответствующем «наполнении» данное уравнение может описывать совершенно разные закономерности (закон равномерного прямолинейного движения при постоянной скорости, размер уплачиваемого налога при постоянном проценте отчисления и др.)

Другим примером служит линейное дифференциальное уравнение

второго порядка x′′ = −λ2 x с постоянным коэффициентом −λ2 , описывающее процесс (процессную систему) свободных механических колебаний и электромагнитных колебаний. В приведенных и других примерах универсальных математических моделей одним и тем же символам следует дать соответствующую данной системе интерпретацию. Таким обра-

зом, в универсальности математических моделей проявляется интегрирующая роль математики и её методов.

21

Требование оснащенности математических моделей состоит в том, что модель должна обеспечить принципиальную возможность с помощью математических методов получить интересующую нас информацию о системе. В частности, при моделировании процессов с помощью дифференциальных уравнений должны быть заданы начальные и граничные условия и другие входные данные.

При этом важно, чтобы исходные данные проще поддавались измерению, чем получаемые величины, иначе теряет смысл исследование модели.

5.4. Продуктивность и устойчивость. Продуктивность математи-

ческих моделей предполагает возможность получения новых знаний об исследуемой системе, не ограниченных только лишь рамками решаемой задачи.

Устойчивость математической модели проявляется в том, что малые поправки (малые изменения параметров) не меняют кардинально её поведение. Понятие устойчивости можно рассмотреть, как минимум, в двух аспектах. Устойчивость модели по отношению к изменениям её параметров означает сохранение аппарата моделирования, основных связей между переменными, типов ограничений в некотором интервале значений её параметров.

Другим аспектом устойчивости является устойчивость решения задачи (результатов) моделирования (обнаруженных свойств, сценариев, траекторий, состояний) по отношению к изменениям параметров модели или начальных условий. Если зависимость от параметров и начальных условий является регулярной (непрерывной), то малые ошибки в исходных данных приведут к небольшим изменениям результата. Тогда, решая, например, задачу выбора по приближённым данным, можно обоснованно говорить о нахождении приближённого решения.

22