в точке xk = 0,5 (вычисления производить с точностью до 0.001). Разбить отрезок [x0 ; xk ] на n = 5 частей.

Затем находим значения приближённого решения в узлах:

1)y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) =1 + 0,1 (02 +12 ) =1,1;

2)y2 = y1 + hf (x1, y1) =1,1 + 0,1 (0,12 +1,12 ) =1,222;

3)y3 = y2 + hf (x2 , y2 ) =1,222 + 0,1 (0,22 +1,2222 ) =1,375;

4)y4 = y3 + hf (x3, y3 ) =1,375 + 0,1 (0,32 +1,3752 ) =1,573;

5)y5 = y4 + hf (x4 , y4 ) =1,573 + 0,1 (0,42 +1,5732 ) =1,837.

Таким образом, получили, что приближённое решение y(xk ) =1,837.

2.3.Погрешность приближённого решения в точке xk равна разности между точным значением искомой функции y(xk ) и значением сеточной функции yk . Чем больше число n отрезков, на которые разбивается исходный отрезок [x0; xk ] , тем более точным является полученное по методу Эйлера решение.

3.ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ПРИБЛИЖЁННОМУ РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1.Типовое задание с решением. Используя метод Эйлера, определить приближённым образом состояние процесса, смоделированного

ввиде задачи Коши

y′ = cos(xy) + y / 5y(0) =1

в момент x = 0,5 . Отрезок [x0 ; x] разбить на n1 = 5 равных частей. Вычисления проводить с точностью до 0,001.

Теперь находим значения приближённого решения в узлах:

103

1) x1 = x0 + h = 0,1;

y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) =1+ 0,1 (cos(0 1) +1/ 5) =1,12;

2) x2 = x1 + h = 0,2;

y2 = y1 + hf (x1, y1) =1,12 + 0,1 (cos(0,1 1,12) +1/1,12) =1,242;

3) x3 = x2 + h = 0,3;

y3 = y2 + hf (x2 , y2 ) =1,242 + 0,1 (cos(0,2 1,242) +1/1,242) =1,364;

4) x4 = x3 + h = 0,4;

y4 = y3 + hf (x3, y3 ) =1,364 + 0,1 (cos(0,3 1,364) +1/1,364) =1,483;

5) x5 = x4 + h = 0,5;

y5 = y4 + hf (x4 , y4 ) =1,483 +0,1 (cos(0,4 1,483) +1/1,483) =1,595.

Следовательно, приближённое решение найдено: у(х) = y5 =1,595.

3.2. Задания для самостоятельного решения.

Задание 1. Найти три первых отличных от нуля члена разложения по формуле Маклорена решения y = y(x) следующей задачи Коши

104

В следующих задачах для самостоятельного решения число N от 1 до 20 задаётся преподавателем.

Задание 2. Найти приближённое решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

y′ = f (x, y)

y(x0 ) = y0

в точке x = xk с помощью метода Эйлера. Использовать разбиение отрезка [x0; x1] на n1 = 5 и n2 =10 равных частей.

105

106

Продолжение табл.

107