Решая систему, получаем:

Вычисляя с точностью до двух знаков после запятой, получаем

C1 ≈ 0,16C2 ≈ −31,94.

Окончательно,

у(t) ≈e−t (0,16cos3t −31,94sin 3t) −0,16cos3t +0,03sin 3t

искомое отклонение в любой момент времени t.

Ответ: у(t) ≈e−t (0,16cos3t −31,94sin 3t) −0,16cos3t + 0,03sin 3t .

2.СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1.Пусть заданы функции Φ и Ψ переменных t, x и y . Нор-

мальной системой двух дифференциальных уравнений первого порядка называется система вида

dx = Φ(t, x, y)dt

dy = Ψ(t, x, y).dt

Пара функций x = x(t), y = y(t) называется решением системы диф-

ференциальных уравнений вида, если при подстановке в каждое из уравнений эти функции x(t), y(t) обращают его в тождество.

Класс вида

x = x(t,C1,C2 )y = y(t,C1,C2 )

называется общим решением системы, если

1) при всех значениях произвольных постоянных C1, C2 соответствующая пара функций {x, y} является решением системы;

92

2) для заданных начальных условий

x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0

постоянные C1, C2 могут быть однозначным образом найдены так, что

соответствующее решение удовлетворит начальным условиям.

С точки зрения механики решить систему – значит восстановить за-

2.2. Ограничимся алгоритмом нахождения общего решения так называемой линейной однородной системы с постоянными коэффициентами, т.е. системы вида

Используем обозначения

x′ = dxdt , y′ = dydt ,

и будем считать для определенности p ≠ 0 . Выразим х из второго уравнения системы (22) в виде

Теперь второе уравнение в (22) продифференцируем по переменной t и подставим в него x′ = ax +by и х (из (23)). Последовательно получим

y′′ = px′+ qy′;

y = p(ax +by) + qy′;

y′ = a( y′−qy) + pby +qy′.

Тогда система принимает вид

93

Первое соотношение в (24) – это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Легко проверить, что его характеристическое уравнение может быть записано следующим образом:

В соответствии с характером корней λ1, λ2 найдём фундаментальную систему решений y1 и y2 , а значит и общее решение

y = C1y1(t) +C2 y2 (t) .

Затем из равенства (23) находим х. В результате будет найдено общее решение системы (22).

2.3. При решении конкретных систем вида (22) можно сразу поступать следующим образом:

а) составить характеристическое уравнение вида (25);

б) в соответствии с его корнями λ1, λ2 построить ФСР {y1(t), y2(t)} и общее решение

Пример. Найти общее решение системы

94

Далее, из второго уравнения системы

3. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Типовое задание с решением. Пусть движение материальной точки на плоскости описывается системой дифференциальных уравнений

x′ = 4x − yy′ = 5x +2y.

Здесь t – время, (x(t); y(t)) – координаты точки в момент t, (x′(t); y′(t)) –

скорость точки в момент t. Найти закон движения {x(t) и y(t)}.

Решение. Имеем систему линейных однородных уравнений первого порядка. Построим характеристическое уравнение

или (4 −λ)(2 −λ) +5 = 0 , так что λ2 −6λ+13 = 0 , откуда λ1,2 = 3 ±2i.. Следовательно,

y1 = e3t cos 2t; y2 = e3t sin 2t; y = e3t (C1 cos2t +C2 sin 2t) .

95

3.2. В следующих задачах для самостоятельного решения число N от 1 до 20 задаётся преподавателем.

Задание. Пусть движение материальной точки на плоскости описывается системой дифференциальных уравнений

x′ = a11x +a12 y

y′ = a21x +a22 y.

Здесь t – время, (x(t); y(t)) – координаты точки в {x(t) и y(t)} момент t, ((x′(t); y′(t)) – скорость точки в момент t. Найти закон движения.

96

97