3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

3.1. Понятие системы. Математическое моделирование лежит в основе так называемого системного подхода. Принцип системности – это философский принцип, выполняющий как мировоззренческие, так и методологические функции. Этот принцип рассматривает объект любой природы как совокупность элементов, находящихся в определенном взаимодействии между собой и с окружающим миром.

Все моделируемые объекты можно объединить одним абстрактным понятием системы. Проанализируем наиболее употребимые в литературе определения [5, с. 11 – 16].

Система – в «первом приближении» – есть совокупность взаимодействующих, взаимосвязанных элементов.

Дальнейшее расширение понятия: система понимается как общенаучная категория для обозначения явлений естественного или искусственного мира, имеющих внутреннюю целостность, завершенную структуру и функцинальное назначение.

Указанные формулировки могут быть уточнены в следующем виде.

Системой называют совокупность элементов, взаимосвязанных между собой таким образом, что возникает определенная целостность, един-

ство; добавим, что указанная целостность обладает новыми интегратив-

ными свойствами, отсутствующими у каждого из элементов (эмерджентные свойства).

Интеграция – здесь и в дальнейшем – рассматривается как процесс и результат создания неразрывно связанного, единого, цельного. Интеграция во времени, в соответствии с концепцией В. А. Энгельгардта (изложенной, напр., в [5, с. 11–12]), сопряжена со следующими тремя стадиями:

а) возникновение системы связей между частями; б) утрата (возможно неполная) частями некоторых своих первона-

чальных идентификационных качеств при вхождении в состав целого; в) появление у возникающей целостности новых свойств, обуслов-

ленных как свойствами частей, так и возникновением новых систем межчастных связей.

Понятие интеграции, согласно мнению большинства исследователей, шире, чем понятие синтеза, по охвату объединительных процессов и имеет отношение не только к самому процессу развития, но и к средствам его организации; синтез же есть лишь завершающая форма, результат интегративного процесса. Если синтез означает слияние взаимодействующих систем в однородную целостность, то интеграция есть единство многообразного, компоненты которого сохраняют в этом единстве свои индивидуальные черты.

Наличие эмерджентных свойств именуется также синергией. Синергия есть то, что отличает систему от простого соединения (синтеза) неко-

12

торых элементов. В синергии проявляется суммирующий эффект взаимодействия нескольких факторов, характеризующийся тем, что их действие существенно превосходит эффект каждого отдельного компонента в виде их простой суммы.

Наиболее наглядно синергия проявляется в жизнедеятельности живых организмов, которая сама возможно лишь в результате взаимодействия процессов и явлений, протекающих в организме. Примером синергии в физике является соединение двух и более частей радиоактивного материала, которое, с превышением критической массы, порождает выделение энергии в количестве, превышающем суммарное излучение энергии отдельных частей. В общественной жизни знания и усилия социума превосходит суммарные знания и усилия индивидов. В экономике эффектом слияния компаний может быть получение прибыли, превосходящей суммарную прибыль, имевшуюся до их слияния.

Категория цели вводится в понятие системы (и уточняет это понятие) следующим образом. Система – выделенное на основе определенных признаков упорядоченное множество взаимосвязанных элементов, объединенных общей целью функционирования и единства управления и выступающих во взаимодействии со средой как целостное явление. Понятие цели уточняется и развивается ниже.

3.2. Дальнейшие понятия теории систем. Приведём теперь другие основные понятия теории систем, используемые в настоящей работе.

Внутреннее устройство системы называют её структурой, а под организацией системы понимают изменение её структуры во времени. В частности, явление самоорганизации определяется как такое изменение системы, которое происходит вне каких-либо дополнительных влияний, благодаря наличию внутренних связей и (или), возможно, связей с внешней средой. В связи с этим различают открытые и закрытые (автономные) системы. Последние имеют четко очерченные границы и не взаимодействуют с внешней средой. Открытые же системы находятся в состоянии обмена с окружающей средой энергией, веществом, информацией. Примером закрытой системы являются обычные механические часы. Любая предпринимательская организация – это открытая система.

Система в целом характеризуется некоторыми своими показателями, которые могут быть как числовыми, так и нечисловыми. При математическом моделировании систем нечисловым показателям ставят в соответствие некоторые числовые, например: интеллект – коэффициент интеллекта (IQ), уровень знаний учащегося – оценка в баллах, отношение одного человека к другому – социологические индексы и т.п. В свою очередь, числовые показатели могут быть значениями дискретных или непрерывных величин.

Состояние системы можно определить в виде совокупности значений её показателей; будем в этом случае говорить о векторе показателей.

13

Все возможные состояния системы образуют её множество состояний. Говорят также о пространстве состояний, если в этом множестве определено понятие близости элементов (своего рода топология).

Под движением (поведением) системы понимается переход системы из одного состояния в другое. Если этот переход происходит скачкообразно (без прохождения каких-либо промежуточных состояний, так что вектор значений её показателей меняется дискретным образом), то система называется дискретной; если же изменение вектора показателей происходит «непрерывным» образом (т.е. переходы происходят с прохождением системой всех промежуточных состояний), то она называется непрерывной (динамической). Близким к понятию движения является понятие процесса – это понятие подчеркивает упорядоченность состояний системы; речь идет о последовательной смене её состояний; так, например, в отношении педагогических систем говорят о педагогическом процессе.

Процессная система обычно понимается как совокупность входа, выхода, процесса, ограничений и управления. Здесь:

–вход системы определяется совокупностью элементов, благодаря интеграции которых протекает процесс, и которые в этом процессе претерпевают изменения;

–выходом называется результат (продукт) процесса;

–управление – это такое входное воздействие (сигнал), в результате которого система ведет себя заданным образом.

Управление имеет определённую цель; цель в общенаучном понимании есть образ требуемого результата, определяющий отбор действий, ведущих к его достижению. Одно из определений цели (в кибернетике): цель – такая характеристика процесса, на основе которой осуществляется обратная связь: система работает, сравнивая реальные результаты с запланированными целями.

Функция системы (от лат. functio – исполнение, совершение) представляет собой способ действия системы при контакте с внешней средой, её поведение в некоторой среде. Функция, с одной стороны, определяется внутренним строением (структурой) системы, с другой стороны – внешней средой и является проявлением свойств, качеств системы во взаимодействии с другими (внешними) объектами. Функцию системы можно понимать в узком смысле как подчиненный заданной цели способ реализации соответствия между её входом и выходом.

В количественном аспекте проявление свойств системы может быть представлено в форме зависимости исследуемого показателя от входных воздействий на систему, или её состояния; такая зависимость называется целевой функцией (в случае нескольких показателей говорим о целевой вектор-функции).

14

Часто цель может быть достигнута через прохождение нескольких этапов, на каждом из которых имеется своя локальная цель (не совпадающая с главной целью), которая иначе называется задачей управления.

Системообразующий фактор определяется как заданный, полезный результат деятельности системы.

Подводя итог сказанному, во-первых, заметим, что, по нашему мнению, понятие системы, (как и вышеприведенное понятие модели), следует отнести к начальным (неопределяемым), и во-вторых, выделим следующие общие признаки, по которым рассматриваемый объект следует признать системой (примем совокупность этих признаков за рабочее определение системы).

1)Состав (наличие элементов, совокупность которых вместе с их взаимодействием и образует систему) и целостность (система воспринимается окружающей средой как единый элемент этой среды).

2)Интегративные качества (т.е. свойства, обеспечивающие целостность, которые есть у системы, но нет у элементов, составляющих систему; иначе говоря, эмерджентные свойства).

3)Связи (отношения): наличие взаимодействия с другими системами, которые для нее являются внешней средой или же его отсутствие (закрытость, автономность).

4)Структура и организация.

5)Функция.

3.3. Формализация понятия системы. Мы будем использовать следующее обозначение системы:

∑={G;{М, R}; F} .

Здесь М – множество элементов системы; R – множество связей и отношений между ними; F – функция системы; G – её системообразующий фактор (включающий цель Р, либо «вектор» целей). О компонентах (паре) {M, R} будем говорить как внутрисистемных; компоненты G, P, F естест-

венно назвать метасистемными, поскольку для реализации заранее заданной цели Р (заданного результата G ) и создается (либо самоорганизуется) некоторая система с, возможно, уже заранее заданными свойствами, т.е. функцией F .

Дальнейшая «математизация» понятия системы может быть следующей. Пусть задано некоторое множество М = { μi : i I }, где I – набор

индексов.

В общем случае система есть некоторое нерефлексивное отноше-

ние R на собственном подмножестве декартового произведения М ×М ;

здесь отношение понимается как правило, устанавливающее взаимосвязь между элементами μi M и μj M , i ≠ j . Система, в частности, может

15

быть задана перечислением всех допустимых пар (μi ,μ j ) , где между μi M и μj M устанавливается связь r = rij R . Множество М есте-

ственно назвать носителем системы, а множество R – её сигнатурой. Будем называть компонент (элемент) μ j M в определении систе-

мы избыточным, если он

а) допускает некоторую декомпозицию μ j ={μ(j1) , μ(j2) , ...} ; б) существует другой компонент μl , такой что μ j ∩μl ≠ .

Именно избыточность может являться одним из источников тех самых новых свойств системы, которые отсутствуют у её компонентов. Кроме того, на основе избыточности, как известно, обеспечиваются определенные полезные качества на уровне системы: надежность системы, созданной из не вполне надежных элементов, возможность выделения нужной информации из потока, содержащего «шумы» и «помехи», стабильность функционирования в нестабильной внешней среде.

Собственно, этим и исчерпываются возможности формализации понятия системы в общем случае. Для каждой системы (или некоторого класса систем) существует своя специфика отношений между элементами, и в зависимости от характера этих отношений строится её (его) математическая модель.

3.4. Понятие процессной системы, связанное с изменением её состояний во времени, допускает следующую формализацию:

Σ(t) ={G(t); {M (t), R(t)}; F(t)} ,

где t – время протекания процесса, t [t0, t*] ; при этом вектор целей Р

может иметь как инвариантные (заранее определенные, «стратегические»), так и меняющиеся с течением времени , вариативные («тактические») координаты, так что системообразующий фактор G , вообще говоря, может меняться во времени.

ной системы оказывается, таким образом, упорядоченным: состояние системы Σ(t2 ) следует за состоянием Σ(t1) , если t2 > t1.

Теперь можно уточнить понятия дискретной и непрерывной систем: в первом случае рассматривается последовательность состояний в момен-

ты t0 ,t1, ..., tn (n ≥1, tn = t* ) , во втором случае время t рассматривается

как параметр, непрерывно изменяющийся в [t0 , t* ] .

Возвращаясь к вопросу моделирования систем, отметим, что модель, в применении к системам, есть искусственно созданный объект, который,

16