Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

УДК 519.85(075.8)

Б46 22.18я73

Б460

Б460 Модели оптимизации. Математическое программирование, ис-

следование операций: учебно-методическое пособие / Сост. Т.А. Бенгина, В.Г. Саркисов, Л.Н. Смирнова, – 2- е издание (переработанное и дополненное). – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2018. – 156 с.

Работа составлена в соответствии с рабочей программой по курсу математики для специалистов, бакалавров и магистрантов инженерно-экономических специальностей СамГТУ и входит в цикл практических и лекционных занятий.

Предложены варианты индивидуальных заданий и методические указания по темам «Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методами», «Транспортная задача», «Целочисленное программирование», «Задачи оптимизации и задачи теории игр».

Задания предназначены для студентов, обучающихся по экономическим специальностям, а также для преподавателей математических и экономических дисциплин университета.

Р е ц е н з е н т ы:

канд. физ.-мат. наук А.Н. Маляров канд. физ.-мат. наук С.Н. Кубышкин

УДК 519.85(075.8)

Б46 22.18я73

Б460

© Т.А. Бенгина, В.Г. Саркисов, Л.Н. Смирнова, составление, 2018

© Самарский государственный технический университет, 2018

2

ВВЕДЕНИЕ

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами. Целью исследования операций является количественное обоснование принимаемых решений по организации управления и прогноз планов развития.

Линейное программирование – раздел исследования операций, в котором рассматриваются экстремальные задачи, характеризующиеся линейными зависимостями между переменными.

Типовой расчет по данному разделу содержит 6 задач:

∙задача 1 решается графическим методом;

∙задача 2 решается при помощи симплексных таблиц; составляется двойственная задача и решается;

∙задача 3 – транспортная задача;

∙задача 4 – задача целочисленного программирования;

∙задача 5 – задача оптимизации;

∙задача 6 – задача теории игр.

Графический метод решения задач линейного программирования в его непосредственной форме применяется только в случае двух переменных. Однако реальные задачи линейного программирования содержат, как правило, большое число неизвестных, следовательно, графическим методом решить такие задачи невозможно. Наиболее часто используют симплексный метод, который является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования.

Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, которая стремиться минимизировать затраты на поставки товаров от нескольких поставщиков к нескольким потребителям. При решении транспортной задачи на практике применяются два метода: метод потенциалов и метод максимального потока в сети.

3

Задача целочисленного программирования относится к задачам линейного программирования, требующим целочисленного решения. Такими задачами являются задачи с переменными, определяющими количество единиц неделимой продукции, например задачи распределения турбин для гидроэлектростанции, автомобилей по маршрутам, самолетов по рейсам. Наиболее распространенными методами решения задач целочисленного программирования являются метод Гомори и метод ветвей и границ.

Задачи оптимизации – задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции нескольких переменных, так называемой целевой функции на множестве допустимых решений.

Теория игр – это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.

Профессиональный уровень экономиста во многом зависит от освоения современного математического аппарата и умения использовать его при анализе сложных экономических процессов. Наряду с моделированием экономистам необходимо изучать теорию оптимизации, которая представлена математическими методами исследования операций.

В данном учебном пособии изложен материал, позволяющий получить достаточно полное представление о возможностях практического использования методов исследования операций при решении оптимизационных задач.

Наличие большого количества примеров и изложение материала в доступной для понимания студентов форме, позволяет получить представление о решении экономических задач математическими методами.

4

1. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ВАРИАНТ № 1

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для изготовления изделий N и M предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия N и M, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.

Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03 % и с долей зольных примесей не более 3,25 %. Завод закупает три сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену? Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в таблице.

5

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 4x1 + x2 → max ,

Задача 4. Используя метод потенциалов, составьте оптимальный план транспортной задачи.

Имеются два склада готовой продукции: А1 и А2 с запасами однородного груза 200 и 300 т. Этот груз необходимо доставить трем потребителям В1, В2 и В3 в количестве 100, 150 и 250 т соответственно.

д. ед. соответственно. Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = −4x1 + x12 + x22 + 4,

x1 − x2 = 2;

2x1 + 3x2 = 8.

Задача 6. Найдите оптимальные стратегии первого игрока исходя из различных критериев в статистической игре, заданной следующей платежной матрицей

6

ВАРИАНТ № 2

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Содержание витаминов А и С в 1 кг фруктов задано таблицей. Сколько граммов вишни и абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось не менее 6 мг витамина А и не менее 75 мг витамина С при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 2,5 д. ед., а 1 кг абрикосов – 3 д. ед.?

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500 г = 0,5 кг.

Для того чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов.

В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать: не менее 0,8 % кальция, не менее 22 % белка, не более 5 % клетчатки от общего веса смеси.

Требуется определить количество (в кг) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

7

Задача 4. В области имеются два цементных завода и три потребителя их продукции – домостроительные фирмы. В таблице указаны суточные объемы производства цемента, суточные потребности в нем фирм и стоимость перевозки 1 т цемента от каждого завода к каждой фирме.

Составьте план суточных перевозок цемента с целью минимизации транспортных расходов.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x12 + x22 ;

8

Задача 6. Найдите оптимальные стратегии первого игрока исходя из различных критериев в статистической игре, заданной следующей платежной матрицей

ВАРИАНТ № 3

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен

всутки потреблять белков не менее 120 усл. ед., жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице

продуктов П1 и П2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 – 2 руб., П2 –3 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей: Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.- ч. в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение,

всоответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 шт.

9

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 $, а от производства одной детали типа Y – 40 $?

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Составьте оптимальное распределение специалистов четырех профилей, имеющихся в количествах 60, 30, 45, 25 между пятью видами работ, потребности в специалистах для каждого вида работ соответственно равны 20, 40. 25. 45, 30, а матрица А – характеризует эффективность использования специалиста на данной работе

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

10