Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

ВАРИАНТ № 4

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Предприятие производит продукцию двух видов П1 и П2. Объем сбыта продукции П1 составляет не менее 60 % общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции П1 и П2 используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расход сырья на единицу продукции П1 равен 2 кг, а на единицу продукции П2 – 4 кг. Цены продукций П1 и П2 – 20 и 40 $ соответственно. Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно оптимальное распределение имеющегося в наличии сырья для изготовления такого количества продукции П1 и П2, при продажи которых будет получен максимальный доход.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Рассматривается пять проектов, которые могут быть реализованы в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых капиталовложений по годам (в тыс. руб.) приводятся в таблице.

Требуется выбрать совокупность проектов. Которой соответствует максимум суммарной прибыли.

11

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 90 т горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 т горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна соответственно 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т соответственно. Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 5

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для дворца культуры было заказано двум ателье пошить 30 мужских и 36 женских концертных костюма. Производительность перво-

12

го ателье по пошиву мужских и женских костюмов составляет соответственно 3 и 4,5 шт. /день, а второго ателье – 2 и 4 шт. /день. Фонд рабочего времени первой мастерской составляет 15 дней, а второй мастерской – 12 дней. Цены первого ателье за 1 женский и мужской костюм составляет 200 и 290 руб./шт., цены второго ателье составляют соответственно 210 и 270 руб./шт. Составьте математическую модель задачи, позволяющую руководству дворца культуры оптимально распределить заказ между ателье, с целью минимизировать затраты на пошив костюмов.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Определите, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

13

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 2,5x1 + 4x2 + 3x3 → max ,

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – A1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 200; 450; 450 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 100; 125; 325; 250; 100 соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = 4x12 + 6x22 + 20x2 ,

x1 + x2 = 200.

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

14

ВАРИАНТ № 6

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит бензин 60 % 1-го сорта и 40 % 2-го сорта; смесь В – 80 % 1- го сорта и 20 % 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А – 10 д. ед., а смеси В – 12 д. ед.

Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензин 50 т 1-го сорта и 30 т второго сорта.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Участник экспедиции укладывает рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм3 объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мяса (по массе) было больше муки, по крайней мере, в два раза, муки не меньше молока, а молока, по крайней мере, в восемь раз больше чем сахара.

Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 2x1 + 3x2 → max ,

x2 ³

Î Z

x1, x2 .0;

15

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 18; 12; 20; 18 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 14; 11; 17; 15; 14 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x12 + x22 + 2x1 x2 ,

4x12 + 6x22 = 9.

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 7

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом

При изготовлении изделий И1 и И2 используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется 300 и 200

16

станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.

Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 6 руб. и от единицы изделия И2 – 16 руб. Постройте математическую модель задачи, чтобы прибыль от реализации изделий была наибольшей.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления листов фанеры по 100 м2 требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100 м2 фанеры – 600 руб.

Постройте математическую модель для нахождения плана производства, максимизирующего доход. При построении модели следует учесть тот факт, что пиломатериалы могут быть реализованы только в виде неделимого комплекта размером 2,5 м3, а фанера – в виде неделимых листов по 100 м2.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

17

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 200; 200; 100 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 120; 80; 60; 130; 110 соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x12 + x22 , (x1 −1)2 + (x2 −1)2 = 8.

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 8

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов и амортизация оборудования за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства дан в таблице (в д. ед.).

18

При первом способе производства предприятие выпускает 3000 изделий за один месяц, при втором – 4000 изделий. Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Малое предприятие выпускает детали А и В. Для этого оно использует литье, подвергаемое токарной обработке, сверлению и шлифованию. Производительность станочного парка предприятия по обработке деталей А и В приведена в таблице.

Предполагая, что спрос на любую комбинацию деталей А и В обеспечен, постройте математическую модель для нахождения плана их выпуска, максимизирующего прибыль.

19

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Решите задачу распределения станков четырех различных типов по шести типам работ.

Пусть имеются 30, 45, 25 и 20 станков соответствующих типов. Шесть типов работ характеризуются 30, 20, 10, 40, 10 и 10 операциями соответственно. На станке 3 не может выполняться операция 6. Исходя из коэффициентов стоимости операции, представленных в следующей таблице, постройте модель и выполните оптимальное распределение станков по работам.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = 1 - (x12 + x22 ),

(x1 -1)2 + (x2 -1)2 =1.

Задача 6. В магазин могут завезти в различных пропорциях товары А. Их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и спроса. Предполагается, что спрос может иметь состояние В и не прогнозируется. Определите оптимальные пропорции в закупке товаров

20