Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

из условий максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли:

ВАРИАНТ № 19

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг-бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 ед.

Определите месячный план производства бензина сорта А и Б, минимизирующий стоимость выпущенной продукции.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице.

41

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 50x1 + 40x2 → max ,

Задача 4. На складах А, В, С находится сортовое зерно 100, 150, 250 т, которое нужно доставить в четыре пункта. Пункту 1 необходимо поставить 50 т, пункту 2 – 100, пункту 3 – 200, пункту 4 – 150 т сортового зерна. Стоимость доставки 1 т зерна со склада А в указанные пункты соответственно равна (д. ед.) 80, 30, 50, 20; со склада В –

40, 10, 60, 70; со склада С – 10, 90, 40, 30.

Составьте оптимальный план перевозки зерна из условия минимума стоимости перевозки.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x2 ,

x13 + x23 - 3x1x2 = 0 .

Задача 6. Решить графическим методом игру, заданную платежной матрицей.

42

ВАРИАНТ № 20

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для изготовления изделий F и G предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия F и G, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице. Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

В новом плановом году городские власти решили перейти к сооружению домов четырех типов Д1, Д2, Д3 и Д4. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 1800, 1300, 2300 и 5000 квартир указанных типов. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, а также их плановая себестоимость приведены в таблице.

43

Исходя из необходимости выполнения плана ввода квартир (возможно перевыполнения по всем показателям) требуется построить модель, на основании которой можно определить объемы жилищного строительства на плановый год.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 28; 15; 15; 14 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 14; 15; 15; 15; 15 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 ,

x13 + x23 - 3x1x2 = 0 .

44

Задача 6. Игру, заданную платежной матрицей, решить путем сведения к задаче линейного программирования.

ВАРИАНТ № 21

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Пусть для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Известны затраты времени и других ресурсов на производство ед. изделия каждого вида.

Требуется определить, сколько изделий каждого вида необходимо изготовить, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

В школе проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному школьнику дано следующее поручение:

–купить акварельной краски по цене 30 д. ед. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д. ед. за коробку, линейки по цене 12 д. ед., блокноты по цене 10 д. ед.;

–красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов – столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки выделяется не менее 300 д. ед.

45

В каком количестве школьник должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов было наименьшим?

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 + x2 → max ,

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 12; 14; 14; 14 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 13; 5; 13; 12; 13 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = 4x1 + 2x1x2 - x12 - 3x22 ,

x1 + x2 = 2;

2x1 - 3x2 = 1.

46

Задача 6. Найдите решение игры, предварительно упростив ее. Платежная матрица имеет вид:

ВАРИАНТ № 22

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах 24, 31, 18 шт. соответственно. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя, а также величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры, приведены в таблице.

Определите, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции: П1, П2, П3 и П4. Организация производства характеризуется следующей таблицей.

47

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 − 2x2 → max ,

0 ≤ x2 ≤ 3;

Ζ

x1 , x2 .

Задача 4. Груз, хранящийся на трех складах и требующий для перевозки 60, 80, 106 автомашин соответственно, необходимо перевезти в четыре магазина. Первому магазину требуется 44 машины груза, второму – 70, третьему – 50 и четвертому – 82 машины. Стоимость пробега одной автомашины за 1 км составляет 10 д. ед. Расстояния от складов до магазинов указаны в следующей таблице.

Составьте оптимальный по стоимости план перевозки груза от складов до магазинов.

48

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = 4x1 + 2x1 x2 − x12 − 3x22 ,

Задача 6. Игру, заданную платежной матрицей, решить путем сведения к задаче линейного программирования.

ВАРИАНТ № 23

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 усл. ед., жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П1 и П2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 – 2 руб., П2 –3 руб. Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 т. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 т. Тарифы (в д. ед. за 1 т) указаны в следующей таблице.

49

Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 +3x2 →max,

Задача 4. Строительство магистральной дороги включает задачу заполнения имеющихся на трассе выбоин до уровня основной дороги и срезания в некоторых местах дороги выступов. Срезанным грунтом заполняются выбоины. Перевозка грунта осуществляется грузовиками одинаковой грузоподъемности. Расстояние в километрах от срезов до выбоин и объем работ указаны в следующей таблице.

Составьте план перевозок, минимизирующий общий пробег грузовиков.

50