Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Рис. 2.5

Задачу (2.75) в приложении к построенному графику можно сформулировать следующим образом: найти точку с максимальным значением v, находящуюся не выше каждой из прямых. На рис. 2.5 видно, что эта точка определяется пересечением прямых v =2+4x2 и v =4–2 x2. Решая совместно эту пару уравнений, найдём x2=1/3, v=10/3. Соответственно, x1=1–1/3=2/3.

Найдём аналогичным образом смешанную стратегию второго игрока. При составлении системы сразу учтём, что v=10/3.

Так как в левой части неравенств (2.76) стоят проигрыши второго игрока, он стремится их минимизировать, то есть обеспечить выполнение равенства. Заменив «³» на «=», получим систему линейных алгебраических уравнений. Эта система недоопределена. Найдём ее общее решение методом Гаусса:

111

Из первого уравнения полученной системы видно, что y1 и y4 имеют противоположные знаки. С другой стороны, y1 и y4 являются вероятностями и не могут быть отрицательными. Единственный вариант, удовлетворяющий одновременно обоим требованиям: y1=y4 = 0. Из остальных уравнений получим: y2=1/3, y3=2/3.

Аналогичным образом можно найти равновесие в смешанных стратегиях в любой матричной игре размерности 2×n. Игру n×2 можно свести к 2×n, поменяв местами игроков. При этом матрицу необходимо транспонировать и поменять знаки всех ее элементов на противоположные.

В матричных играх размерностей 3×n и n×3 подобные построения также допустимы, но требуют более трудоемких и менее наглядных трехмерных рисунков. Для больших размерностей графическая интерпретация отсутствует. Методы решения задач линейного программирования вида (2.74) были рассмотрены выше.

2.7.2. Статистическая игра

Как уже было сказано выше, статистическая игра является особым случаем антагонистической игры, в которой лишь один из игроков является разумным, а второй («природа») выбирает стратегию случайным образом. Отсутствие у второго игрока стратегического поведения делает бессмысленным использование рассмотренных

112

выше методов, нацеленных на нахождение (или искусственное формирование) седловой точки, от которой такой игрок может легко уйти в невыгодную для себя сторону.

Для статистических игр разработано множество критериев, позволяющих сравнить между собой стратегии разумного игрока. Рассмотрим критерии, являющиеся базовыми.

∙ Критерий Вальда (критерий максимального пессимизма) оценивает каждую стратегию по наименьшему возможному выигрышу. Лучшей считается та стратегия, в которой минимально возможный выигрыш максимален. Выбранная стратегия направлена на избежание слишком плохих результатов при максимальном невезении, то есть в том случае, когда природа случайно сыграла точно так же, как сыграл бы на ее месте разумный противник. Такой подход можно ассоциировать с минимизацией риска.

∙ Критерий максимального оптимизма оценивает каждую стратегию по наибольшему возможному значению выигрыша:

∙ Критерий Гурвица1 оценивает каждую стратегию линейной комбинацией двух предыдущих критериев. Коэффициент α [0; 1] в этой линейной комбинации характеризуют степень оптимизма:

∙ Критерий Сэвиджа (наименьшего сожаления) предполагает два этапа. Каждому элементу платежной матрицы ставится в соответствие «сожаление», показывающее, насколько этот элемент хуже, чем наилучший ответ на ту же стратегию противника. Стратегия оценивается наихудшим сожалением.

1 Критерий с аналогичным названием существует в теории автоматического управления. При поиске в сети Интернет целесообразно явно указывать, о каком именно из критериев Гурвица идёт речь.

113

∙ Критерий Байеса оценивает каждую стратегию средним значением выигрыша:

Задача. Необходимо выбрать наилучшую стратегию первого игрока в статистической игре по каждому из приведенных выше критериев (в критерии Гурвица принять α=0,2). Игра задана платежной матрицей (эта матрица совпадает с (2.65)):

Решение

Исключим доминируемые стратегии первого игрока. Первая стратегия доминируется второй, третья – четвертой. Исключаем первую и третью строки и получаем следующую матрицу:

Второй игрок («природа») может использовать любую стратегию. Таким образом, в отличие от игры с разумным противником, доминируемые стратегии второго игрока исключать нельзя.

Оценим оставшиеся стратегии первого игрока по каждому из критериев. Для оценки по критерию Вальда выбираем в каждой строке минимальный выигрыш:

Наилучшей по критерию Вальда является вторая стратегия.

114

По критерию максимального оптимизма:

ценными.

По критерию Гурвица с a=0,2:

По критерию Гурвица лучшей является вторая стратегия.

При нахождении значений критерия Сэвиджа в каждом столбце необходимо выделить наибольшее значение (наилучший ответ на действия «природы») и вычесть это значение из всех элементов столбца. Полученные числа будут отражать «сожаление». Каждая стратегия описывается наихудшим из сожалений:

115

3. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ВАРИАНТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим и симплекс методом.

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры можно вырезать заготовки трех видов в количествах соответственно равных 24, 31 и 18. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество заготовок, получаемых при данном способе раскроя, указанно в таблице. В ней же указана величина отходов, получающихся при данном раскрое листа фанеры.

Условия производства заготовок

Определите сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше необходимого количества заготовок при минимальных расходах.

Составим математическую модель задачи.

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 12x1 + 16x2 → min , при системе ограничений:

116

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (рис. 3.1, полуплоскости обозначены штрихом).

Рис. 3.1

Обозначим границы области многоугольника решений (рис. 3.2).

117

119

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла вводим базисную переменную x3 со знаком минус. В 2-м неравенстве вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве вводим базисную переменную x5 со знаком минус.

Поскольку задача решается на минимум и элементы единичной матрицы отрицательны, сведем задачу к нахождению максимума. Для этого умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.

Выразим базисные переменные < x3 , x4 , x5 > через свободные.

Среди свободных членов в системе уравнений есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный.

120