Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Задача 4. На складах А, В, С находится сортовое зерно 1000, 1500, 500 т, которое нужно доставить в четыре пункта. Пункту 1 необходимо поставить 500 т, пункту 2 – 1000, пункту 3 – 1200, пункту 4 – 300 т сортового зерна. Стоимость доставки 1 т зерна со склада А в указанные пункты соответственно равна (д. ед.) 8, 3, 7, 1; со склада В

– 4, 2, 8, 7; со склада С – 1, 7, 6, 3.

Составьте оптимальный план перевозки зерна из условия минимума стоимости перевозки.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее и наименьшее значение целевой функции

f (x) = x2 ,

x12 + x22 − 3x1 x2 = 0 .

61

Задача 6. Решить (предварительно исключив доминируемые стратегии) графическим методом игру, заданную следующей платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 30

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для изготовления изделий F и G предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия F и G, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице. Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

В новом плановом году городские власти решили перейти к сооружению домов четырех типов Д1, Д2, Д3 и Д4. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 1000, 1100, 600 и 300 квартир указанных типов. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, а также их плановая себестоимость приведены в таблице.

62

Исходя из необходимости выполнения плана ввода квартир (возможно перевыполнения по всем показателям) необходимо построить модель, на основании которой можно определить объемы жилищного строительства на плановый год.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 25; 15; 10; 20 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 20; 10; 15; 15; 10 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

63

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x22 , x12 + x22 + x32 + 3x1 − x2 = 0 .

Задача 6. Игру, заданную платежной матрицей, решить путем сведения к задаче линейного программирования.

64

2.МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2.1.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Задача. Определите наибольшее и наименьшее значение функции f (x, y) = x + y в области:

- x - y £ -1;

x ³ 0; y ³ 0.

Решение

Сначала определим, что именно представляет собой рассматриваемая область. Описание (2.1) содержит множество линейных ограничений вида нестрогих неравенств, в левой части которых находится линейная комбинация переменных x и y. Целевая функция f(x,y) является функцией этих же переменных. Все дальнейшие построения производятся в плоскости xOy. В случае трёх переменных рассматривалось бы трехмерное пространство.

Границы области определяются ограничениями из (2.1), в которых нестрогое неравенство заменено равенством. Равенства имеют вид ax+by=с и задают прямую на рассматриваемой плоскости. При желании это уравнение прямой можно привести к привычному из школьного курса математики виду y=k1x+k2, перенеся ax в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на b. Получим

y = − a x + c . b b

Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них (включая прямую) соответствует неравенству ax+by£с, а другая (также включая эту прямую) – неравенству ax+by³с.

Далее необходимо определить, какая именно из полуплоскостей, полученных после построения прямой, соответствует неравенству из

65

(2.1). Для этого можно вывести общее правило, учитывающее знаки a и b, но на практике обычно намного проще выбрать некоторую контрольную точку вне прямой ax+by=с и подставить ее координаты в проверяемое неравенство. Если неравенство окажется верным, то контрольная точка лежит в полуплоскости, соответствующей этому неравенству (неравенство выполняется во всех точках этой полуплоскости). Если же неравенство оказалось неверным, то верному неравенству соответствует вторая полуплоскость.

Если прямая не проходит через начало координат (с¹0), то в качестве контрольной точки удобно выбрать само начало координат.

Проанализировав подобным образом все ограничения из условия задачи, получим набор полуплоскостей на координатной плоскости.

Далее возможны три варианта.

1.Система ограничений определяет пустое множество, то есть на плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам одновременно. В этом случае рассматриваемая задача не имеет решения.

2.Система ограничений определяет замкнутый выпуклый многоугольник [3]. Если целевая функция является непрерывной на этом многоугольнике, то решение задачи всегда существует. Если целевая функция линейно возрастает или убывает относительно x и y, то максимальное и минимальное значения целевой функции достигаются в вершинах многоугольника. Если значения в двух соседних вершинах при этом совпадают, то это же значение достигается и на всей стороне многоугольника, соединяющей эти вершины.

3.Система ограничений определяет некоторую открытую область. В этом случае линейно возрастающая (или убывающая) целевая функция может достигать своих минимального и максимального значений или неограниченно возрастать, или убывать. В практических задачах такая ситуация часто (но не всегда) указывает, что некоторые существенные ограничения остались неучтенными. Часто такие ограничения представляются постановщику задачи настолько самоочевидными, что он не видит смысла в их формализации. Ярким примером является игнорирование очевидного требования неотрица-

66

тельности количества выпускаемой продукции. В результате формально правильное решение предполагает получение дополнительного сырья для продукции одного вида из отсутствующей в наличии готовой продукции другого вида. При учете всех ограничений такие задачи обычно сводятся к одному из двух предыдущих случаев.

Далее будем рассматривать второй случай, как практически наиболее важный. Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих всем ограничениям задачи.

Рис. 2.1

На рис. 2.1 заштрихована область допустимых решений, т.е. точек плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам рассматриваемой задачи.

Так как в рассматриваемой задаче линейного программирования область допустимых решений ограничена, то оптимальное решение может быть получено путем параллельного перемещения параметрического семейства прямых (линии уровня целевой функции)

67

f (x, y) = x + y = c до пересечения с областью допустимых решений задачи. Здесь с – параметр, который принимает любые произвольные значения.

При этом полезно помнить, что f (x, y) наиболее быстро возрастает в направлении градиента:

Вектор градиента направлен по нормали к линиям уровня. Координаты точек (x0 , y0 ) находятся графически или путем пере-

сечения прямых 3x + 5 y = 15 и 10x + 7 y = 35 . Для этого решим систе-

Максимальное значение целевой функции достигается в найден-

ной точке А(70/29, 45/29) и равно 115/29.

Сдвигая линию уровня в сторону уменьшения целевой функции, найдем ее минимальное значение. Оно равно 1 и достигается в точках B(1; 0) и С(0; 1) и на всём соединяющем их отрезке BC.

2.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ

Симплексный метод три основных этапа [1].

1.Выбор базисного решения задачи.

2.Целенаправленный перебор допустимых решений с последовательным улучшением.

3.Проверка оптимальности решения.

68

Решение

Такая модель задачи называется канонической: есть все ограничения вида равенств, кроме ограничений на неотрицательность всех переменных.

Исключив ограничения на неотрицательность переменных, решим систему (2.4) методом Гаусса:

В решении (2.5) базисными являются переменные x1, x2 и x3, а свободными – x4 и x5. Приравняв свободные переменные к нулю, получим исходное опорное решение Х1=(3, 1, 1, 0, 0), f(X1)= –5.

Проверим это решение на оптимальность. Вычисление проводим в симплексной таблице.

69