Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие
.pdfВ результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 9, а должно быть m + n −1 = 9 . Следовательно, опорный план является невырож-
денным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F (x) = 12 31 + 9 9 + 15 22 + 2 8 + 21 3 + 26 14 + 16 8 + 8 15 +
+0 3 = 1474.
2.Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.
План начинается заполняться с верхнего левого угла. Искомый элемент равен 12.
Для этого элемента запасы равны 40, потребности 34. Поскольку минимальным является 34, то вычитаем его.
x11 = min(40,34) = 34.
12 |
15 |
9 |
19 |
22 |
40 - 34 = 6 |
|
|
|
|
|
|
x |
15 |
11 |
2 |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
7 |
16 |
25 |
|
|
|
|
|
|
x |
24 |
8 |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
34 - 34 = 0 |
39 |
24 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 15.
Для этого элемента запасы равны 6, потребности 39. Поскольку минимальным является 6, то вычитаем его:
x12 = min(6,39) = 6.
12 |
15 |
x |
x |
x |
6 - 6 = 0 |
x |
15 |
11 |
2 |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
7 |
16 |
25 |
|
|
|
|
|
|
x |
24 |
8 |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
39 - 6 = 33 |
24 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
141
Искомый элемент равен 15.
Для этого элемента запасы равны 30, потребности 33. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его:
x22 = min(30,33) = 30.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
x |
15 |
x |
x |
x |
30 - 30 = 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
7 |
16 |
25 |
|
|
|
|
|
|
x |
24 |
8 |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
33 - 30 = 3 |
24 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 26.
Для этого элемента запасы равны 25, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его:
x32 = min(25,3) = 3.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
7 |
16 |
25 - 3 = 22 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
8 |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 - 3 = 0 |
24 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 23.
Для этого элемента запасы равны 22, потребности 24. Поскольку минимальным является 22, то вычитаем его:
x33 = min(22,24) = 22.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
x |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
x |
x |
22 - 22 = 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
8 |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
24 - 22 = 2 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 8.
142
Для этого элемента запасы равны 15, потребности 2. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его:
x43 = min(15,2) = 2.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
x |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
8 |
3 |
29 |
15 - 2 = 13 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 - 2 = 0 |
8 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 3.
Для этого элемента запасы равны 13, потребности 8. Поскольку минимальным является 8, то вычитаем его:
x44 = min(13,8) = 8.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
x |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
8 |
3 |
29 |
13 - 8 = 5 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
x |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
8 - 8 = 0 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 29.
Для этого элемента запасы равны 5, потребности 8. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его:
x45 = min(5,8) = 5.
12 |
15 |
x |
x |
x |
0 |
x |
15 |
x |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
26 |
23 |
x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
8 |
3 |
29 |
5 - 5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
x |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
8 - 5 = 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Искомый элемент равен 0.
143
Для этого элемента запасы равны 3, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его:
x55 = min(3,3) = 3.
|
12 |
|
15 |
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
15 |
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
26 |
|
23 |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
8 |
|
|
3 |
|
|
29 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
3 - 3 = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
3 - 3 = 0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
Запасы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
12[34] |
15[6] |
9 |
|
19 |
|
|
22 |
|
40 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
20 |
15[30] |
11 |
|
2 |
|
|
19 |
|
30 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
21 |
26[3] |
23[22] |
|
7 |
|
|
16 |
|
25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
11 |
24 |
8[2] |
|
3[8] |
|
|
29[5] |
|
15 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0[3] |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Потребности |
34 |
39 |
24 |
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 9, а должно быть m + n −1 = 9 . Следовательно, опорный план является невырож-
денным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F (x) = 12 34 + 15 6 + 15 30 + 26 3 + 23 22 + 8 2 + + 3 8 + 29 5 + 0 3 = 1717.
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана (метод наименьшей стоимости). Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 12; 0 + v1 = 12; v1 = 12;
144
u3 + v1 = 21; 12 + u3 = 21; u3 = 9; u3 + v2 = 26; 9 + v2 = 26; v2 = 17; u2 + v2 = 15; 17 + u2 = 15; u2 = -2; u2 + v4 = 2; - 2 + v4 = 2; v4 = 4;
u5 + v2 = 0; 17 + u5 = 0; u5 = -17; u3 + v5 = 16; 9 + v5 = 16; v5 = 7; u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9;
u4 + v3 = 8; 9 + u4 = 8; u4 = -1.
|
v1=12 |
v2=17 |
v3=9 |
v4=4 |
v5=7 |
u1=0 |
12[31] |
15 |
9[9] |
19 |
22 |
u2=-2 |
20 |
15[22] |
11 |
2[8] |
19 |
u3=9 |
21[3] |
26[14] |
23 |
7 |
16[8] |
u4=-1 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
u5=-17 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij:
(1;2): 0 + 17 > 15; ∆12 = 0 + 17 - 15 = 2; (3;4): 9 + 4 > 7; ∆34 = 9 + 4 - 7 = 6; max(2,6) = 6.
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;4): 7.
Для этого в перспективную клетку (3;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12[31] |
15 |
9[9] |
19 |
22 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
20 |
15[22][+] |
11 |
2[8][-] |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
21[3] |
26[14][-] |
23 |
7[+] |
16[8] |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Потребности |
34 |
39 |
24 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Цикл приведен в таблице (3,4; 3,2; 2,2; 2,4).
145
Из грузов xij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. y = min(2, 4) = 8. Прибавляем 8 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 8 из X ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12[31] |
15 |
9[9] |
19 |
22 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
20 |
15[30] |
11 |
2 |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
21[3] |
26[6] |
23 |
7[8] |
16[8] |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Потребности |
34 |
39 |
24 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui , vi по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij , полагая, что u1 = 0 .
u1 + v1 = 12; 0 + v1 = 12; v1 = 12; u3 + v1 = 21; 12 + u3 = 21; u3 = 9; u3 + v2 = 26; 9 + v2 = 26; v2 = 17; u2 + v2 = 15; 17 + u2 = 15; u2 = -2; u5 + v2 = 0; 17 + u5 = 0; u5 = -17; u3 + v4 = 7; 9 + v4 = 7; v4 = -2;
u3 + v5 = 16; 9 + v5 = 16; v5 = 7; u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9; u4 + v3 = 8; 9 + u4 = 8; u4 = -1.
|
v1=12 |
v2=17 |
v3=9 |
v4=-2 |
v5=7 |
u1=0 |
12[31] |
15 |
9[9] |
19 |
22 |
u2=-2 |
20 |
15[30] |
11 |
2 |
19 |
u3=9 |
21[3] |
26[6] |
23 |
7[8] |
16[8] |
u4=-1 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
u5=-17 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
146
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi ≤ cij :
(1;2): 0 + 17 > 15; ∆12 = 0 + 17 - 15 = 2.
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 15. Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12[31][-] |
15[+] |
9[9] |
19 |
22 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
20 |
15[30] |
11 |
2 |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
21[3][+] |
26[6][-] |
23 |
7[8] |
16[8] |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Потребности |
34 |
39 |
24 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Цикл приведен в таблице (1,2; 1,1; 3,1; 3,2).
Из грузов xij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. y = min(3, 2) = 6 . Прибавляем 6 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 6 из X ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12[25] |
15[6] |
9[9] |
19 |
22 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
20 |
15[30] |
11 |
2 |
19 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
21[9] |
26 |
23 |
7[8] |
16[8] |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0[3] |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Потребности |
34 |
39 |
24 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui , vi по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi ≤ cij , полагая, что u1 = 0 .
u1 + v1 = 12; 0 + v1 = 12; v1 = 12, u3 + v1 = 21; 12 + u3 = 21; u3 = 9,
147
u3 + v4 = 7; 9 + v4 = 7; v4 = -2, |
|
|
|
|||
u3 + v5 = 16; 9 |
+ v5 = 16; v5 = 7, |
|
|
|
||
u1 + v2 = 15; 0 |
+ v2 = 15; v2 = 15, |
|
|
|
||
u2 + v2 = 15; 15 + u2 = 15; u2 = 0, |
|
|
|
|||
u5 + v2 = 0; 15 |
+ u5 = 0; u5 = -15, |
|
|
|
||
u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9, |
|
|
|
|||
u4 + v3 = 8; 9 + u4 = 8; u4 = -1. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
v1=12 |
v2=15 |
v3=9 |
v4=-2 |
v5=7 |
|
u1=0 |
12[25] |
15[6] |
9[9] |
19 |
22 |
|
u2=0 |
20 |
15[30] |
11 |
2 |
19 |
|
u3=9 |
21[9] |
26 |
23 |
7[8] |
16[8] |
|
u4=-1 |
11 |
24 |
8[15] |
3 |
29 |
|
u5=-15 |
0 |
|
0[3] |
0 |
0 |
0 |
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi ≤ cij .
Минимальные затраты составят
F (x) = 12 × 25 + 15 × 6 + 9 × 9 + 15 × 30 + 21× 9 + 7 × 8 + + 16 × 8 + 8 ×15 + 0 × 3 = 1414.
Задача 5. Используя метод множителей Лагранжа, найдите экстремальное значение целевой функции.
|
|
|
|
|
F (x) = 4x |
2 |
− x1 |
− 3x2 |
+ 2x x |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 4x2 = 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Составим функцию Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L = 4x |
2 |
− x1 |
− 3x2 |
+ 2x x |
2 |
+ λ (3x + 4x |
2 |
−12) + λ (x + x |
2 |
− 4). |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|||||||
Вычислим частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂L |
|
= −2x + 2x + 3λ + λ ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂L |
= 4 − 6x + 2x + 4λ + λ ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
148
|
∂L |
|
= 3x + 4x −12; |
||
|
|
||||
|
∂λ1 |
|
2 |
||
1 |
|
||||
|
∂L |
= x + x |
|
− 4. |
|
|
|
|
|||
|
∂λ2 |
2 |
|
||
1 |
|
||||
Составим и решим систему уравнений |
|||||
|
− 2x1 + 2x2 + 3λ1 + λ2 = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − 6x2 + 2x1 + 4λ1 + λ2 = 0 |
||||||||||
|
|
|
+ 4x2 −12 = 0 |
|
|
|
|
||||
|
3x1 |
|
|
|
|
||||||
|
x + x |
2 |
− 4 = 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 4x1 + 8x2 − λ1 = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
+ 4x2 −12 = 0 |
|
|
|
|
||||
|
3x1 |
|
|
|
|
||||||
|
x + x |
2 |
− 4 = 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 4x1 + 8x2 − λ1 = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x1 + 4 = 0. |
|
|
|
|
||||||
|
x1 = 4; x2 = 0, λ1 = −16; λ2 |
= 56. |
|
||||||||
Найдем точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (4;0); |
f ( A ) = 4 0 − 42 |
− 3 02 + 2 4 0 = −16. |
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (5;1); |
f ( A ) = 4 1 − 52 |
− 3 12 + 2 5 1 = −14. |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f ( A1 ) < f ( A2 ) |
|
|
|||
в т. A1 функция имеет минимум. |
|
|
|
|
|||||||
Задача 6. Решить игру, заданную платежной матрицей, графиче- |
|||||||||||
ским методом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Игроки |
|
|
|
|
B1 |
|
B2 |
|
a = min(Ai) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
5 |
|
|
A2 |
|
|
|
|
7 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = max(Bi) |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
Решение
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai ) = 5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1 .
Верхняя цена игры b = min(bj ) = 6.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ¹ b , тогда цена игры находится в пределах 5 y ≤ 6 . Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы (рис. 3.4).
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка x = 0) соответствует стратегии A1 , правый – стратегии A2 ( x = 1).
Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = ( p1 , p2 ).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1 . На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2 .
Решение игры (2 ´ n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2 B2 , для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 5 + (7 − 5) p2 ; y = 6 + (4 − 6) p2 .
Откуда
p1 = 3 ; p2 = 1 . 4 4
150