Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

и из них выберем наименьшее:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

997 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый

опорный план:			X1 = (0,0,0,0,14,20).

	Базис	B		x1	x2	x3	x4	x5	x6

	x5	14		7	2	-1	0	1	0

	x6	20		4	5	0	-1	0	1

	F(X0)	34M		-3+11M	-2+7M	-1M	-1M	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация № 0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

Следовательно, 1-я строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min

x5	14	7	2	-1	0	1	0	2

x6	20	4	5	0	-1	0	1	5

F(X1)	34M	-3+11M	-2+7M	-1M	-1M	0	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6

x1	2	1	2/7	- 1/7	0	1/7	0
x6	12	0	36/7	4/7	-1	- 4/7	1

F(X1)	6+12M	0	-11/7+36/7M	-3/7+4/7M	-1M	3/7 -14/7M	0

131

Итерация № 1

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai 2

ииз них выберем наименьшее:

				2		12						1
			min		;						= 3		.
			min		;						= 3		.
				2		3	6					9
						3
			7				7
Следовательно, 2-я строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен 3								1		и находится на пересечении ве-
Разрешающий элемент равен 3										и находится на пересечении ве-
						9
дущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2						x3				x4	x5	x6	min

x	2	1	2/7			- 1/7						0		1/7	0	7
1
x6	12	0	36/7			4/7						-1		- 4/7	1	31/9
F(X2)	6+12M	0	-11/7+36/7M			-3/7+4/7M							-1M	3/7-14/7M	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6

x1	11/9	1	0	-5/27	2/27	5/27	-2/27
x 2	31/9	0	1	4/27	-7/27	-4/27	7/27
F(X2)	95/9	0	0	-7/27	-8/27	7/27-1M	8/27-1M

Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов – найден оптимальный план.

Окончательный вариант симплекс-таблицы.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	11/9	1	0	-5/27	2/27	5/27	-2/27
x 2	31/9	0	1	4/27	-7/27	-4/27	7/27

F(X3)	95/9	0	0	-7/27	-8/27	7/27-1M	8/27-1M

132

Оптимальный план можно записать так:

x = 1	1		; x			= 3	1		;
					2
1	9					9

F ( X ) = 3 ×1		1		+ 2 ×3				1	= 9	5	.

	9					9			9

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа. По третьему уравнению с переменной x, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью

5 , составляем дополнительное ограничение:

q3 - q31 × x1 - q32 × x2 - q33 × x3 - q34 × x4 - q35 × x5 - q36 × x6 £ 0 ;

q = b - [b ]					= 9			5	- 9 =					5		;
q = b - [b ]					= 9				- 9 =							;
3		3		3			9					9
							9					9
q31 = a31 - [a31 ] = 0 - 0 = 0 ;
q32 = a32 - [a32 ] = 0 - 0 = 0 ;
q = a - [a						]	= -			7		+1 =								20					;
q = a - [a						]	= -					+1 =													;
33		33		33			27												27
							27												27
q = a - [a						]	= -				8	+1 =									19				;
q = a - [a					34	]	= -					+1 =													;
34		34			34		27												27
							27												27
q	= a		- [a			]	= -19999										20					-19998 = -39997									20		;
q	= a		- [a			]	= -19999															-19998 = -39997											;
35		35		35								27																		27
												27																		27
q		= a		- [a			] = -19999												19					-19998 = -39997								19		.
q		= a		- [a			] = -19999																	-19998 = -39997										.
36		36			36														27											27
																			27											27
Дополнительное ограничение имеет вид:
													5		-			20					x			-	19	x		£ 0 .
												9			-								x			-		x		£ 0 .
												9							27						3	27			4

Преобразуем полученное неравенство в уравнение:

5 - 20 x3 - 19 x4 + x7 = 0 , 9 27 27

коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

133

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	11/9	1	0	-5/27	2/27	5/27	-2/27	0
x2	31/9	0	1	4/27	-7/27	-4/27	7/27	0
x7	-5/9	0	0	-20/27	-19/27	3999720/27	3999719/27	1
F(X0)	95/9	0	0	-7/27	-8/27	7/27-1M	8/27-1M	0

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный -19/27.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	11/9	1	0	-5/27	2/27	5/27	-2/27	0
x2	31/9	0	1	4/27	-7/27	-4/27	7/27	0
x7	-5/9	0	0	-20/27	-19/27	3999720/27	3999719/27	1
F(X)	95/9	0	0	-7/27	-8/27	7/27-1M	8/27-1M	0
Θ	0	-	-	-7/27:(-20/27)	-8/27:(-9/27)	-	-	-

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жор- дано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	11/19	1	0	-5/19	0	42109/19	42104/19	2/19
x2	36/19	0	1	8/19	0	-147363/19	-1473514/19	-7/19
x4	15/19	0	0	11/19	1	-5683817/19	-5683816/19	-18/19
F(X0)	915/19	0	0	1/19	0	-1684017/19-1M	-1684016/19-1M	-8/19

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа. По третьему уравнению с переменной x4, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью

15/19, составляем дополнительное ограничение:

q3 - q31 × x1 - q32 × x2 - q33 × x3 - q34 × x4 - q35 × x5 - q36 × x6 - q37 × x7 £ 0 ;


q = b − [b ]			=		15	− 0 =			15	;
q = b − [b ]			=			− 0 =				;
3	3	3		19				19
				19				19
q31 = a31 − [a31 ] = 0 − 0 = 0 ;
q32	= a32 − [a32 ] = 0 − 0 = 0 ;
q = a − [a				] = 1			1	−1 =			1	;
q = a − [a			33	] = 1				−1 =				;
33		33	33	19				19
				19				19

134

q34	= a34 − [a34 ] = 1 −1 = 0 ;
q	= a		− [a		]	= −56838			17			− 56837 = −113675			17		;

35	35		35			19					19

q	= a		− [a		]	= −56838				16		− 56837 = −113675				16
		36
36			36			19					19

q = a − [a						] = −1	8	+ 0 = −1					8	.
				37
37		37				19					19

Дополнительное ограничение имеет вид:

15 − 1 x ≤ 0 .
19	19	3

Преобразуем полученное неравенство в уравнение:

15 − 1 x3 + x8 = 0, 19 19

коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x1	11/19	1	0	-5/19	0	42109/19	42104/19	2/19	0
x2	36/19	0	1	8/19	0	-147363/19	-1473514/19	-7/19	0
x4	15/19	0	0	11/19	1	-5683817/19	-5683816/19	-18/19	0
x8	-15/19	0	0	-1/19	0	11367517/19	11367516/19	18/19	1
F(X0)	915/19	0	0	1/19	0	-1684017/19-1M	-1684016/19-1M	-8/19	0

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный – 1/19.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x1	11/19	1	0	-5/19	0	42109/19	42104/19	2/19	0
x2	36/19	0	1	8/19	0	-147363/19	-1473514/19	-7/19	0
x4	15/19	0	0	11/19	1	-5683817/19	-5683816/19	-18/19	0
x8	-15/19	0	0	-1/19	0	11367517/19	11367516/19	18/19	1
F(X)	915/19	0	0	1/19	0	-1684017/19-1M	-1684016/19-1M	-8/19	0
Θ	0	-	-	1/19: (-1/19)	-	-	-	-	-

135

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жор- дано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x1	5	1	0	0	0	-564169	-564169	-7	-5
x2	-3	0	1	0	0	894671	894671	11	8
x4	-15	0	0	0	1	2216679	2216678	27	20

x3	15	0	0	1	0	-2159842	-2159841	-27	-19
F(X0)	9	0	0	0	0	96835-1M	96835-1M	1	1

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.

Оптимальный целочисленный план можно записать так: x1 = 5; x2 = −3; x3 = 15; x4 = −15.

F ( X ) = 9.

Задача 4. Имеются четыре пункта однородного груза – A1 , A2 , A3 , A4 – и есть пять пунктов потребления этого груза B1 , B2 , B3 , B4 , B5 . В пунктах A1 , A2 , A3 , A4 находится груз 40, 30, 25, 15 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1 , B2 , B3 , B4 , B5 .

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

Стоимость доставки единицы груза

	1	2	3	4	5	Запасы

1	12	15	9	19	22	40

2	20	15	11	2	19	30

3	21	26	23	7	16	25

4	11	24	8	3	29	15

Потребности	34	39	24	8	8

Требуется найти оптимальный план.

136

Решение

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 40 + 30 + 25 + 15 = 110,

∑b = 34 + 39 + 24 + 8 + 8 = 113.

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равным 3 (113–110). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы

1	12	15	9	19	22	40

2	20	15	11	2	19	30

3	21	26	23	7	16	25

4	11	24	8	3	29	15

5	0	0	0	0	0	3

Потребности	34	39	24	8	8

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

137

Искомый элемент равен 2.

Для этого элемента запасы равны 30, потребности 8. Поскольку минимальным является 8, то вычитаем его:

x24 = min(30,8) = 8.

12	15	9	x	22	40
20	15	11	2	19	30 - 8 = 22

21	26	23	x	16	25

11	24	8	x	29	15

0	0	0	x	0	3

34	39	24	8 - 8 = 0	8	0

Искомый элемент равен 8.

Для этого элемента запасы равны 15, потребности 24. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его:

x43 = min(15,24) = 15.

12	15	9	x	22	40
20	15	11	2	19	22

21	26	23	x	16	25

x	x	8	x	x	15 - 15 = 0

0	0	0	x	0	3

34	39	24 - 15 = 9	0	8	0

Искомый элемент равен 9.

Для этого элемента запасы равны 40, потребности 9. Поскольку минимальным является 9, то вычитаем его:

x13 = min(40,9) = 9.

12	15	9	x	22	40 - 9 = 31
20	15	x	2	19	22

21	26	x	x	16	25

x	x	8	x	x	0

0	0	x	x	0	3

34	39	9 - 9 = 0	0	8	0

138

Искомый элемент равен 12. Для этого элемента запасы равны 31, потребности 34. Поскольку минимальным является 31, то вычитаем его:

x11 = min(31,34) = 31.

12	x	9	x	x	31 - 31 = 0
20	15	x	2	19	22

21	26	x	x	16	25

x	x	8	x	x	0

0	0	x	x	0	3

34 - 31 = 3	39	0	0	8	0

Искомый элемент равен 15. Для этого элемента запасы равны 22, потребности 39. Поскольку минимальным является 22, то вычитаем его:

x22 = min(22,39) = 22.

12	x	9	x	x	0

x	15	x	2	x	22 - 22 = 0

21	26	x	x	16	25

x	x	8	x	x	0

0	0	x	x	0	3

3	39 - 22 = 17	0	0	8	0

Искомый элемент равен 16. Для этого элемента запасы равны 25, потребности 8. Поскольку минимальным является 8, то вычитаем его:

x35 = min(25,8) = 8.

12	x	9	x	x	0
x	15	x	2	x	0

21	26	x	x	16	25 - 8 = 17

x	x	8	x	x	0

0	0	x	x	x	3

3	17	0	0	8 - 8 = 0	0

Искомый элемент равен 21.

Для этого элемента запасы равны 17, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его:

x31 = min(17,3) = 3.

139

12	x	9	x	x	0
x	15	x	2	x	0

21	26	x	x	16	17 - 3 = 14

x	x	8	x	x	0

x	0	x	x	x	3

3 - 3 = 0	17	0	0	0	0

Искомый элемент равен 26.

Для этого элемента запасы равны 14, потребности 17. Поскольку минимальным является 14, то вычитаем его:

x32 = min(14,17) = 14.

12	x	9	x	x	0
x	15	x	2	x	0

21	26	x	x	16	14 - 14 = 0

x	x	8	x	x	0

x	0	x	x	x	3

0	17 - 14 = 3	0	0	0	0

Искомый элемент равен 0.

Для этого элемента запасы равны 3, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его:

x52 = min(3,3) = 3.

12			x		9		x			x		0
	x		15		x		2			x		0

21			26		x		x		16			0

	x		x		8		x			x		0

	x		0		x		x			x		3 - 3 = 0

0		3 - 3 = 0			0		0		0			0


				1	2	3	4	5			Запасы

	1			12[31]	15	9[9]	19	22			40

	2			20	15[22]	11	2[8]	19			30

	3			21[3]	26[14]	23	7	16[8]			25

	4			11	24	8[15]	3	29			15

	5			0	0[3]	0	0	0			3

	Потребности			34	39	24	8	8

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]