Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 ;

2x1 + 3x2 = 5;

+ =

x2 x3 2.

Задача 6. Решить графическим методом игру, заданную платежной матрицей.

ВАРИАНТ № 14

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Имеются корма двух видов: сено и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве соответственно не более 50 и 85 кг. Постройте модель, на основе которой можно составить кормовой рацион минимальной стоимости, в котором содержится не менее 30 кормовых единиц, не менее 1 кг перевариваемого протеина, не менее 100 г кальция, не менее 80 г фосфора. Данные о питательности кормов и их стоимости в расчете на 1 кг приведены в таблице.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

31

Из листового проката необходимо вырезать заготовки двух видов А и В для производства 60 шт. изделий. Для одного изделия требуется три заготовки типа А и восемь заготовок типа В. Размеры листа, а также размеры и конфигурация заготовок позволяют выбрать четыре рациональных варианта раскроя листа.

Постройте модель задачи раскроя, обеспечивающую минимум отходов.

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = x1 + 2x2 → max ,

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 150; 250; 200 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 120; 80; 140; 160; 100 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

32

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 ;

x1 + x2 = 0;

x2 + x2 = 1.

1 1

Задача 6. Два игрока играют в следующую игру: каждый игрок делает ставку – одну монету 5 или 2 руб. Если сумма ставок оказывается нечетным числом, то обе монеты забирает себе первый игрок, если нечетным – второй. Составьте платежную матрицу игры, найдите равновесия Нэша в чистых (если есть) и смешанных стратегиях.

ВАРИАНТ № 15

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Технологическому отделу завода нужно решить задачу о приготовлении не менее 5 т сплава для производства деталей. Сплав приготовляется из чистой стали и отходов цветных металлов. Отношение массы цветных металлов к массе стали в сплаве не должно быть больше, чем 7:8. Расход чистой стали не должен превышать 4 т, а цветных металлов – 6 т. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч., при этом на 1 т стали уходит 4,5 ч., а на 1 т цветных металлов – 2 ч. производственного времени. Стоимость 1 т стали – 3 руб., цветных металлов – 5 руб.

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти состав сплава при условии минимизации его стоимости.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

33

Из трех продуктов – I, II, III – составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице.

Составьте наиболее дешевую смесь.

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 250; 150; 100 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 70; 110; 90; 130; 100 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

34

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 ;

x1 + x2 = 5;x12 + x22 = 17.

Задача 6. Два игрока играют в следующую игру: каждый игрок делает ставку – одну монету. Если сумма ставок кратна трём рублям, то обе монеты забирает себе второй игрок, в противном случае обе забирает первый. У первого игрока есть монеты достоинством 1, 2 и 5 руб., у второго – только 1 и 2 руб. Составьте платежную матрицу игры, найдите равновесия Нэша в чистых (если есть) и смешанных стратегиях.

ВАРИАНТ № 16

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Для изготовления изделий F и G предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия F и G, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.

Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

35

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000 и 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице. За 1 центнер ржи совхоз получает 2 д. ед., за 1 центнер пшеницы – 2,8 д. ед., за 1 центнер кукурузы – 1,4 д. ед. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 т ржи, 158 000 т пшеницы и 30 000 т кукурузы?

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 + 2x2 → max ,

Задача 4. Завод имеет три цеха – А, В, С – и четыре склада – 1; 2; 3; 4. Цех А производит 30 тыс. шт. изделий, цех В – 40; цех С – 20 тыс. шт. изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад 1 – 20 тыс. шт. изделий; склад 2 – 30; склад 3 – 30 и склад 4 – 10 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки 1 тыс. шт. изделий из цеха А на склады 1, 2, 3, 4 –

36

соответственно (д. ед.): 20, 30, 40, 40; из цеха В – соответственно 30, 20, 50, 10; а из цеха С – соответственно 40, 30, 20, 60.

Составьте такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку 90 тыс. шт. изделий были бы наименьшими.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = (x1 − 2)2 + (x2 − 4)2 ; 2x1 + x2 = 14 .

Задача 6. Два игрока играют в следующую игру: каждый игрок делает ставку – одну монету. Если сумма ставок кратна трём рублям, то обе монеты забирает себе первый игрок, в противном случае обе забирает второй. У обоих игроков есть монеты достоинством 1 и 5 руб. Составьте платежную матрицу игры, найдите равновесия Нэша в чистых (если есть) и смешанных стратегиях.

ВАРИАНТ № 17

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

В швейном цехе имеется 84 м ткани. На пошив одной юбки нужно 4 м, а на одни брюки – 3 м. Сколько следует изготовить юбок и брюк для получения наибольшей прибыли от их реализации, если юбка стоит 6 д. ед., а брюки – 3 д. ед.? При этом юбок можно изготовить не более 15, а брюк не более 20 шт.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Бригада приняла заказ на изготовление 50 шт. продукции П1, 30 шт. продукции П2 и 45 шт. продукции П3. Продукция производится на станках А и В. Для изготовления на станке А единицы продукции П1 требуется 4 мин., единицы продукции П2 – 40 мин., единицы продукции П3 – 10 мин. На станке В – соответственно 6, 8 и 20 мин. Сколько

37

продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен за минимальное время?

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 20; 22; 20; 20 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 18; 20; 19; 19; 9 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x13 + x2 , 3x1 + 4x2 = 1.

38

Задача 6. Решить графическим методом игру, заданную платежной матрицей

6 3

ВАРИАНТ № 18

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

На мебельной фабрике требуется раскроить 5000 прямоугольных листов фанеры размером 4x5 м каждый, с тем чтобы получить два вида прямоугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2x2 м, деталь Б – размер 1x3 м. Необходимо, чтобы деталей А оказалось не меньше, чем деталей Б. Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить минимальное (по площади) количество отходов?

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равны 30, 22 и 136$. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.

Определите, какие объемы выпуска молочной продукции должен производить завод, чтобы получить наибольшую прибыль.

39

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 24; 20; 20; 24 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 19; 25; 20; 13; 13 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = (x1 -1)2 + (x2 - 3)2 , x1 + x2 = 9 .

Задача 6. Магазин может завезти в различных пропорциях товары А. Их реализация и прибыль магазина зависит от вида товара и спроса. Предполагается, что спрос может иметь состояние В и не прогнозируется. Определите оптимальные пропорции в закупке товаров

40