Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

из условий максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли:

ВАРИАНТ № 9

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Фабрика производит два вида лака – для внутренних и наружных работ. Для производства лаков используется два исходных продукта – нефть и кислота. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов определяются емкостями их хранения и равны 6 и 8 т соответственно. Для производства 1 т лака для внутренних работ расходуется 1 т нефти и 2 т кислоты, а для производства 1 т лака для наружных работ расходуется 2 т нефти и 2 т кислоты. Суточный спрос на лак для наружных работ не превышает 2 т. Спрос на лак для внутренних работ неограничен. Доход от реализации 1 т лака для внутренних работ равен 3 млн руб., а доход от реализации 1 т лака для наружных работ – 2 млн руб. Определите, какое количество лака каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от его реализации был максимальным.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

В металлургический цех в качестве сырья поступает латунь (сплав меди с цинком) четырех типов с содержанием цинка 10, 20. 25 и 40 % по цене 10, 30, 40 и 60 ед. за 1 кг соответственно. В каких пропорциях следует переплавлять это сырье в цехе, чтобы получить сплав (латунь), содержащий 30 % цинка и при этом самый дешевый?

21

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 100; 250; 150 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 60; 140; 130; 80; 90 соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 − x3 ,

x12 + x22 + x32 = 1.

Задача 6. Определите нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и оптимальные решения игры, заданной платежной матрицей:

22

ВАРИАНТ № 10

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Фирма «Игрушки» производит два вида деревянных игрушек: А и B. Игрушка вида А продается за 27 у.е. и требует материалов стоимости 10 у.е. и нематериальных расходов на сумму 14 у.е. Корова стоит 21 у.е., требует материалов на 9 у.е. и нематериальных расходов в размере 10 у.е.

Производство игрушек включает 2 типа работ: резьбу и окраску. На изготовление игрушки вида А требуется 1 ч. резьбы и 2 ч. окраски. Изделие вида В требует 1 ч. резьбы и 1 ч. окраски. Каждую неделю фирма получает все требуемые материалы, но может использовать не более 80 ч. для резьбы и не более 100 ч. для окраски. Заказы на игрушки вида А не превосходят 40 шт. в неделю, а заказы на игрушки вида В неограниченны. Фирма желает максимизировать недельный доход (стоимость проданных игрушек минус расходы).

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Служба снабжения завода получила от поставщиков 500 стальных прутков длиной 5 м. Их необходимо разрезать на детали А и В длиной соответственно 2 и 1,5 м, из которых затем составляются комплекты. В каждый комплект входят 3 детали А и 2 детали В. Характеристики возможных вариантов раскроя прутков представлены в таблице.

23

Постройте математическую модель задачи, позволяющую найти план раскроя прутков, гарантирующий получение максимального количества комплектов.

Примечание: в целевую функцию могут входить не все переменные задачи.

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 19x1 + 2x2 → min ,

Задача 4. Автомобили перевозятся на трайлерах из трех центров распределения пяти продавцам. Стоимость перевозки в расчете на 1 км пути, пройденного трайлером, равна 60 д. ед. Один трайлер может перевозить 15 автомобилей. Стоимость перевозок не зависит от того, насколько полно загружается трайлер. В приведенной ниже таблице указаны расстояния между центрами распределения и продавцами, а также величины, характеризующие ежемесячный спрос и объемы поставок, исчисляемые количеством автомобилей.

Определите минимальные затраты на доставку автомобилей.

24

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 + x2 + x1 x2 ,

2x1 + 3x2 = 12 .

Задача 6. В магазин могут завезти в различных пропорциях товары А. Их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и спроса. Предполагается, что спрос может иметь состояние В и не прогнозируется. Определите оптимальные пропорции в закупке товаров из условий максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли:

ВАРИАНТ № 11

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д. ед., второго – 6 д. ед. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

25

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Выполнить заказ по производству 32 изделий И1 и 4 изделий И2 взялись бригады Б1 и Б2. Производительность бригады Б1 по производству изделий И1 и И2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б2 – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б1 равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б2 – 15 и 30 руб. Найдите оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 + 2x2 − 4x3 → min ,

Задача 4. Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны соответственно 100, 700, 980 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, потребность в ремонте равна соответственно 90, 180, 150, 120, 80 двигателей в год. Затраты на перевозку одного двигателя из районов к мастерским следующие.

26

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные расходы.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 + x2 x3 ;

Задача 6. Два игрока играют в следующую игру: каждый игрок делает ставку – монету 1 или 2 руб. Если сумма ставок оказывается нечетным числом, то обе монеты забирает себе первый игрок, если нечетным – второй. Составьте платежную матрицу игры, найдите равновесия Нэша в чистых (если есть) и смешанных стратегиях.

ВАРИАНТ № 12

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Предприятие производит сборку автомашин «Москвич» и «Жигули». Для суточного выпуска в наличие имеются следующие материалы: комплекты заготовок металлоконструкций в количестве 17 шт., необходимые для сборки автомашин в количестве 2 и 3 ед. соответственно; комплекты подшипников в количестве 11 шт. (соответственно 2 и 1 ед.); двигатели с арматурой и электрооборудованием в количестве 6 комплектов, необходимых по одному для каждой машины марки «Москвич»; двигатели с арматурой и электрооборудованием в количестве 5 комплектов, необходимых по одному для каждой машины марки «Жигули». Стоимость машин марки «Москвич» 7000 руб., а марки «Жигули» – 5000 руб. Суточный объем выпуска машин марки «Москвич» не должен превышать суточного объема выпуска машин марки «Жигули» более чем на 4 машины. Составьте план выпуска автомашин, доставляющего предприятию максимальную выручку.

27

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Проектировщикам автомобиля необходимо решить задачу: сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой металл, стекло и пластмассу. Общая поверхность кузова должна составить 14 м2, из них не менее 4 м2 и не более 5 м2 следует отвести под стекло. При этом масса кузова не должна превышать 150 кг. Основные характеристики материалов представлены в таблице.

Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект?

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 3x1 + 2x2 + 5x3 → max ,

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 150; 150; 200 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 100; 120; 60; 80; 140 соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы следующей матрицей

28

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1 x2 + x2 x3 ;

Задача 6. Два игрока играют в следующую игру: первый игрок делает ставку – от 1 до 3 руб. (целое число), второй игрок делает ставку 1 или 2 руб. Если сумма ставок оказывается кратной трём, то все ставки забирает себе второй игрок, в противном случае – первый. Составьте платежную матрицу игры, найдите равновесия Нэша в чистых (если есть) и смешанных стратегиях.

ВАРИАНТ № 13

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников. Каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй – 75. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, второй модели – 12. Наибольший суточный запас используемых элементов равен 800 ед. Прибыль от реализации одного радиоприемника второй модели не превышает 50 шт., а спрос на радиоприемники первой модели не бывает больше спроса на радиоприемники второй модели.

Определите суточные объемы производства радиоприемников первой и второй моделей, при продаже которых будет достигнут максимум прибыли.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

29

Предприятие должно производить три вида продукции, используя при этом различное оборудование на каждой из трех операций. Мощность оборудования на первой операции – 80 ч., на второй – 50 ч., на третьей – 210 ч. Технические коэффициенты использования оборудования на первой операции для единицы каждой продукции равны соответственно на Ι – 2; 5; 0; на ΙΙ – 3; 1; 1; на ΙΙΙ – 13; 4; 4. Прибыль предприятия от единицы продукции каждого вида равна соответственно 13; 8; 4 $. Определите, сколько продукции каждого вида должно выпустить предприятие, чтобы получить максимальную прибыль.

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Промышленный концерн имеет два завода и пять складов в различных регионах страны. Каждый месяц первый завод производит 40, а второй 70 ед. продукции. Вся продукция, производимая заводами, должна быть направлена на склады. Вместимость первого склада равна 20 ед. продукции; второго – 30; третьего – 15; четвертого – 27; пятого – 28 ед. Издержки транспортировки продукции от завода до склада указаны в таблице (ед.).

Распределите план перевозок из условия минимизации ежемесячных расходов на транспортировку.

30