Модели оптимизации. Математическое программирование, исследование операций. Учебно-методическое пособие

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = 4x1 − x1 x2 + x12 + x22 ,

Задача 6. Найдите решение игры, предварительно упростив ее.

ВАРИАНТ № 24

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Предприятие производит продукцию двух видов П1 и П2. Объем сбыта продукции П1 составляет не менее 60 % общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции П1 и П2 используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расход сырья на единицу продукции П1 равен 2 кг, а на единицу продукции П2 – 4 кг. Цены продукций П1 и П2 – 20 и 40$ соответственно. Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно оптимальное распределение имеющегося в наличии сырья для изготовления такого количества продукции П1 и П2, при продажи которых будет получен максимальный доход.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Данные об организации перевозок следующие.

51

Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, чтобы перевезти наибольшее количество пассажиров?

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

Задача 4. Три завода выпускают грузовые автомобили, которые отправляются четырем потребителям. Первый завод поставляет 90 платформ грузовиков, второй – 30 платформ, третий – 40 платформ. Требуется поставить платформы следующим потребителям: первому

– 70 шт., втором – 30, третьем – 20, четвертому – 40 шт. Стоимость перевозки одной платформы от поставщика до потребителя указана в следующей таблице (д. ед.).

Составьте оптимальный план доставки грузовых автомобилей.

52

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции.

f (x) = 10x1 + 16x2 − x12 − x22 ,

Задача 6. Игру, заданную платежной матрицей, решить путем сведения к задаче линейного программирования.

ВАРИАНТ № 25

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Хозяину пекарни требуется решить задачу о максимизации прибыли. Для приготовления 1 кг печенья «Привет» необходимо 400 г муки, 200 г маргарина и 100 г сахара. Для 1 кг печенья «Шоколадное»

– 300 г муки, 50 г какао, 300 г маргарина и 150 г сахара. На складе имеется 50 кг сахара, 2 кг какао, 110 кг муки и 30 кг маргарина. Прибыль от изготовления 1 кг печенья «Привет» составляет 30 руб., а от 1 кг «Шоколадного» – 45 руб.

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти оптимальные объемы выпуска печений обоих видов из имеющихся на складе продуктов.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Из трех продуктов – I, II, III – составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 3 ед. химического вещества А, 4 ед. – вещества В и не менее 6 ед. вещества С. Структура продуктов приведена в следующей таблице.

53

Составьте наиболее дешевую смесь.

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 7x1 + 2x2 → max ,

Задача 4. Имеются три пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В каждом из пунктов A1; A2; A3 находится по 100 ед. груза. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 30; 60; 80; 80; 20 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x1x23 − 2x2 ;

при ограничении x12 + x12 ≤ 16 .

54

Задача 6. Найдите оптимальные по критериям Вальда и Байеса стратегии первого игрока в статистической игре, заданной матрицей:

ВАРИАНТ № 26

Задача 1. Решите задачу графическим методом.

В производстве продукции двух видов (A и B) используются три вида сырья (I, II и III). В таблице представлены необходимое количество сырья для производства продукции каждого вида, объем запасов каждого вида сырья и цена за единицу продукции каждого вида.

Определите объем производства изделий каждого вида, максимизирующий стоимость выпускаемой из данного сырья продукции.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Администрация выделила фермерскому хозяйству три земельных массива при условии, что будет произведено не менее 2000 центнеров ржи, 3000 центнеров пшеницы и 3000 центнеров кукурузы. Участки имеют размер 50, 80 и 90 га. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице. На 1 центнер ржи фермер планирует получить прибыль 2 д. ед., на 1 центнер пшеницы – 3 д. ед., за 1 центнер кукурузы – 2 д. ед. Сколько гектаров и на каких

55

массивах фермер должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную прибыль?

Задача 3. Методом ветвей и границ найдите оптимальное решение задачи:

F = 6x1 + 4x2 → max ,

Задача 4. Завод имеет три цеха – А, В, С – и три склада – № 1; № 2;

№3. Цех А производит 2000 шт.; цех В – 4000 шт.; цех С – 3000 шт. изделий. Пропускная способность складов за то же время характеризуется следующими показателями: склад № 1 – 2000; склад № 2 – 3000; склад

№3 – 5000 шт. изделий. Стоимость перевозки 1 тыс. шт. изделий из цеха А на склады 1, 2, 3 соответственно (д. ед.) 20, 30, 40; из цеха В соответственно 30, 20, 10; а из цеха С соответственно 40, 20, 60.

Составьте такой план перевозки изделий, при котором расходы на перевозку были бы наименьшими.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее и наименьшее значение целевой функции

f (x) = (x1 + 6)2 + (x2 − 4)2 ; 2x1 + x2 = 10 .

56

Задача 6. Найдите графическим методом равновесия Нэша в смешанных стратегиях для игры, заданной платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 27

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

В швейной мастерской имеется 120 м ткани. На пошив одной юбки расходуется 1 м ткани, а на одни брюки – 2 м. Сколько следует изготовить юбок и брюк для получения наибольшей прибыли от их реализации, если юбка стоит 20 д. ед., а брюки – 30 д. ед.? При этом юбок можно изготовить не более 50, а брюк не более 40 шт.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Бригада приняла заказ на изготовление 50 шт. продукции П1, 30 шт. продукции П2 и 45 шт. продукции П3. Продукция производится на станках А и В. Для изготовления на станке А единицы продукции П1 требуется 3 мин., единицы продукции П2 – 30 мин., единицы продукции П3 – 80 мин. На станке В соответственно 5, 10 и 12 мин. Сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен минимальное время?

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

57

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 20; 22; 25; 30 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 18; 20; 19; 19; 21 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее (наименьшее) значение целевой функции

f (x) = x13 − 2x2 ,

3x1 + 4x2 = 1.

Задача 6. Решить графическим методом игру, заданную платежной матрицей:

ВАРИАНТ № 28

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

На мебельной фабрике требуется раскроить 1000 листов фанеры размером 5x5 м каждый, с тем чтобы получить два вида прямоугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2x2 м, деталь Б – размер 1x3 м. Необходимо, чтобы деталей Б оказалось не меньше, чем деталей А. Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить минимальное (по площади) количество отходов?

58

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1300 и 4500 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 маши- но-часов. На расфасовке 1 т сметаны, заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равны 15, 18 и 120 д. ед. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.

Определите, какие объемы выпуска молочной продукции должен производить завод, чтобы получить наибольшую прибыль.

Задача 3. Методом Гомори найдите оптимальное решение задачи:

F = 5x1 + 2x2 → min ,

Задача 4. Имеются четыре пункта поставки однородного груза – А1; A2; A3; А4 – и пять пунктов потребления этого груза B1; B2; B3; B4; B5. В пунктах A1; A2; A3 находится груз 10; 20; 22; 18 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1; B2; B3; B4; B5 в количестве 12; 15; 18; 12; 13 соответственно. Стоимость перевозки в каждый из пунктов задана следующей матрицей

59

Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

Задача 5. Используя метод Лагранжа, найдите наибольшее и наименьшее значение целевой функции

f (x) = (x1 −1)2 + (x2 − 3)2 , x12 + x2 = 9 .

Задача 6. Исключите доминируемые стратегии и найдите графическим методом равновесия в игре, заданной матрицей:

ВАРИАНТ № 29

Задача 1. Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.

Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1500 т алкилата, 1000 т крекинг-бензина и 1600 т изопентола. В результате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1 т бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 ед.

Определите месячный план производства бензина сорта А и Б, максимизирующий стоимость выпущенной продукции.

Задача 2. Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц. Составьте двойственную задачу к исходной и решите ее.

С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице.

Постройте математическую модель задачи, на основании которой можно найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума.

60