Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие
.pdf
7.3. Понятие потенциальной функции
Функция может быть положена равной нулю за счёт неоднозначности в определении потенциала: поскольку скорость определяется производными от по координатам, можно прибавить к любую функцию времени.
При стационарном движении имеем (выбирая потенциал не зависящим от времени):
(7.19)
тогда уравнение (7.18) переходит в уравнение Бернулли:
(7.20)
7.3. Понятие потенциальной функции
Прежде чем перейти к понятию потенциальной функции, рас-
смотрим, что такое потенциал. Примерами потенциала могут быть потенциал скорости в идеальных потоках, акустический потенциал (градиент которого дает скорость частицы в звуковой волне). Известно, что потенциальные функции не зависят от пути, и в комплексной плоскости интегрирование вокруг контура также не зависит от пути. В этом случае интегрирование зависит только от конечных точек, следовательно, в замкнутой кривой, например, в области Z, если функция f аналитическая, то тогда интегрирование f
по Z равно 0 [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Физическое поле представляет собой пространство, в котором происходит какое-либо физическое явление.
Различают поля: 1) скалярное (направление температур); 2) векторные (направление сил, скоростей).
Поле какого-либо скаляра |
может быть представ- |
лено линиями (или поверхностями) |
. |
Например, поле температур |
можно представить линиями |
(или поверхностями) |
|
|
81 |
7.Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение
Вкачестве другого примера предположим, что у нас есть поток в атмосфере, который мы идеализируем как двухмерный и горизонтально не расходящийся. Тогда горизонтальная площадь любого пятна жидкости будет постоянной со временем. Если область скользит по поверхности сферы так, что, двигаясь к северу, она пронизана большим количеством линий завихренности, связанных
свращением Земли, то зона постоянной площади увеличится. Известно также, что ветровое напряжение, действующее на
поверхность океана, будет вызывать управляемый напряжением перенос в фрикционном пограничном слое, слое Экмана, вблизи верхней поверхности жидкости, и расхождение этого переноса приведет к вертикальной скорости у основания пограничного слоя.
Предположим, что мы будем рассматривать идеализированную модель циркуляции океана, в которой считается, что жидкость имеет постоянную плотность и плоское дно. Затем жидкость, откачиваемая (или вверх) из слоя Экмана, вызовет компенсирующее расхождение жидкости внизу и увеличит или уменьшит площадь поперечного сечения столбиков жидкости под пограничным слоем трения.
Оперировать векторным полем значительно сложнее, чем скалярным. Поэтому векторное поле заменяют скалярным. Пример векторного поля уклонов i земной поверхности показан на рис. 7.2. На рис. 7.4 приведен пример представления векторного поля скоростей.
При этом скалярное поле представляют линиями равного значения особой функции называемой потенциальной функцией или просто потенциалом (потенциалом 3-х векторов, поле которых
мы изучаем потенциал сил, потенциал скоростей и так далее). Скалярное поле отметок земной поверхности показано на рис. 7.3. На рис. 7.5 приведен пример представления скалярного поля потенциальной функции. является скалярной функцией.
82
7.3. Понятие потенциальной функции
Рис. 7.2. Векторное поле уклонов земной поверхности
Рис. 7.3. Скалярное поле отметок земной поверхности
Рис. 7.4. Векторное поле скоростей
83
7. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение
Рис. 7.5. Скалярное поле потенциальной функции, поле скоростей
Контрольные вопросы
1.Понятие циркуляции скорости.
2.Циркуляция скорости вдоль замкнутого контура.
3.Завихренность циркуляции скорости.
4.Закон сохранения циркуляции скорости. Следствие.
5.Потенциал движения жидкости.
6.Теорема Томсона. Общий вид.
7.Поверхностный ротор скорости.
8.Понятие пограничного слоя.
9.Потенциал скорости.
10.Понятие потенциала функции.
11.Примеры потенциала и потенциальных функций.
84
8.НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
8.1.Определение несжимаемой жидкости
Основой вычислительной гидродинамики являются фундаментальные общие уравнения гидродинамики – уравнения неразрывности, импульса и энергии. Эти уравнения описывают физику процесса и являются математическим базисом трех фундаментальных физических принципов, на которых основана вся динамика жидкости: закон сохранения массы, закон сохранения энергии и Второй закон Ньютона, как основной закон динамики [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Известно, что жидкости – это скопления молекул. Расстояние между молекулами очень велико по сравнению с молекулярным диаметром. Количество вовлеченных молекул огромно, и расстояние между ними обычно незначительно. В этих условиях жидкость может рассматриваться как континуум, и свойства в любой точке
могут рассматриваться как объемное поведение жидкостей.
В реальности нет несжимаемых жидкостей. Все жидкости являются сжимаемыми, но величина давления, необходимого для сжатия (чтобы вызвать изменение объема жидкости), зависит от рассматриваемой жидкости, поэтому для ряда задач сжимаемость жидкости часто может не приниматься во внимание.
Газы, которые относительно легко сжимаются, во многих практических случаях также могут быть смоделированы как несжимаемые среды. Например, воздух легко сжимается, но вода требует чрезвычайно высокого давления для сжатия. Обычно газы сжимаются легче, чем жидкости, из-за слабых межмолекулярных
сил сцепления. В аэродинамике сжимаемостью воздуха можно пренебречь только в том случае, когда скорость летающего тела меньше 1/3 скорости звука в воздухе.
Во многих практических приложениях мы можем пренебречь касательными напряжениями в потоках жидкости. Например, при
85
8. Несжимаемая жидкость
анализе потока жидкости или газа, окружающего твердые тела, часто может быть достаточно учитывать вязкость жидкости только в относительно тонком слое, пограничном слое, вблизи твердых поверхностей. За пределами пограничного слоя сдвиговыми напряжениями можно пренебречь, и жидкость или газ можно моделировать как невязкую жидкость, т.е. жидкость без вязкости. Такая модель называется идеальной жидкостью или эйлеровой жидкостью.
Несжимаемый поток относится к потоку жидкости, в котором плотность жидкости постоянна. Чтобы плотность оставалась постоянной, контрольный объем должен оставаться постоянным. Даже если давление изменяется, плотность будет несжимаемой для несжимаемого потока. Несжимаемый поток означает, что поток с изменением плотности из-за изменений давления незначителен или
бесконечно мал.
8.2.Применение уравнений гидродинамики
кнесжимаемой жидкости
Можно предположить в качестве граничного условия для поля скорости реальной жидкости, что скорость относительно жесткой поверхности равна нулю, то есть жидкость прилипает к жесткой поверхности. Для идеальной жидкости только относительная составляющая скорости, нормальная к граничной поверхности, может быть принята равной нулю [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости.
Уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем за исключением того, что можно внести под знак гра-
диента:
(8.1)
86
8.2. Применение уравнений гидродинамики к несжимаемой жидкости
Уравнение непрерывности принимает при простой
вид
(8.2)
Поскольку плотность теперь не является неизвестной функцией, в качестве уравнения движения можно выбрать уравнение, содержащее только скорость:
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.3) |
Уравнение Бернулли тоже |
может быть записано для несжима- |
|||||||
[ |
] |
|
||||||
емой жидкости в более простой форме (заменив тепловую функцию отношением , как в уравнении Эйлера):
(8.4)
Приведенное выражение представляет собой так называемую теорему Бернулли (для несжимаемой идеальной жидкости под действием гравитационных сил и в установившемся режиме), которая устанавливает, что сумма высоты, напора и напора скорости постоянна в каждой точке, принадлежащей той же линии тока.
Для несжимаемой жидкости можно писать вместо также в выражении для потока энергии, (которое) принимает вид:
(8.5)
В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости.
Для несжимаемых жидкостей удельная упругая энергия явля- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
ется постоянной и для удобства может быть принята равной нулю. |
|||||||||||
Уравнение |
Эйлера |
|
|
|
удовлетворяется |
||||||
при |
|
|
тождественно. |
Уравнение |
непрерывности |
|
|
||||
|
|
||||||||||
при подстановке |
|
|
|
превращается в |
(8.6) |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
||
8. Несжимаемая жидкость
т.е. в уравнение Лапласа для потенциала Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было получено для этой величины уравнение вида получившее название уравнение Лапласа.
К этому уравнению должны быть добавлены граничные действия на поверхностях соприкосновения жидкости с твердыми телами.
На неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности компонента скорости жидкости должна быть равна нулю. А в общем случае – равна проекции скорости тела на направление нормали.
С другой стороны, скорость равна производной от потенциала
по направлению нормали: |
|
|
(8.7) |
В общем случае граничные условия гласят, что |
на границах |
являются заданной функцией времени и координат.
При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением
(8.8)
В случае несжимаемой жидкости в этом уравнении вместо
можно писать :
(8.9)
Остановимся на условиях, при выполнении которых жидкость
можно считать несжимаемой. |
|
|
|
При адиабатическом изменении давления на |
плотность |
||
жидкости изменится на |
( |
) |
|
|
(8.10) |
||
88 |
|
|
|
8.2. Применение уравнений гидродинамики к несжимаемой жидкости
Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в ста-
ционарно движущейся жидкости – порядка величины |
. |
|
Производная |
представляет собой квадрат |
скорости |
звука в жидкости. Таким образом, находим оценку |
. |
|
Жидкость можно считать несжимаемой, если |
. Видим, |
|
что для выполнения этого условия необходимым является условие малости скорости движения жидкости по сравнению со скоростью звука:
. |
(8.11) |
Это условие достаточно только при стационарном движении. При нестационарном движении необходимо выполнение еще
одного условия.
Пусть величина порядка промежутка времени, а порядка промежутка расстояния, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение.
Сравнив члены |
и в уравнении Эйлера |
|
|||||||||
|
, |
||||||||||
получим, по порядку величины |
|
|
или |
(8.12) |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а соответствующее изменение |
|
есть |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
Сравним теперь члены |
и |
|
|
|
|
в уравнении непрерывно- |
|||||
|
|
|
|
||||||||
сти. Производной |
можно |
пренебречь, т.е. считать, |
что |
||||||||
в случае, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.13)
Выполнение обоих условий:
(8.14)
89
8. Несжимаемая жидкость
|
. |
(8.15) |
|
достаточно для того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой.
Условие имеет наглядный смысл. Оно означает, что время в течении которого звуковой сигнал пройдет расстояние
мало по сравнению со временем в течение которого заметно изменяется движение жидкости и дает возможность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.
Контрольные вопросы
1.Движение несжимаемой жидкости.
2.Условие несжимаемости жидкости при стационарном дви-
жении.
3.Условие несжимаемости жидкости при нестационарном движении.
90