Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

1.2.Методы изучения механики сплошных сред

1.2.Методы изучения механики сплошных сред

Изучение дисциплины механика сплошных сред базируется на математических методах исследования и моделирования движения тел с учетом их реальных свойств. Такие методы основаны на ряде постулатов, понятий, определений и гипотез [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

1.В дисциплине «Механика сплошных сред» вводится ряд понятий, которые однозначно определяют параметры как самих сред, так и характеристик, применяемых для исследования и моделирования движения твердых, жидких и газообразных материальных тел. Примером таких понятий являются поля различной физической природы (поле температуры, давления, скорости и т.п.), понятие сплошной среды, понятия пространства и мерности пространства и целый ряд других.

2.Математический аппарат дисциплины «Механика сплошных сред» предполагает подход к изучению движения деформируемых сред, который заключается в переходе от реальных деформируемых сред к их идеализированному представлению и использует символьное описание при решении задач различного уровня сложности с целью определения числовых значений функций при помощи математических операций.

3.Определяющей целью дисциплины «Механика сплошных сред» является определение основных свойств и установление закономерностей движения деформируемых твердых, жидких и газообразных материальных тел. Основные законы дисциплины базируются на установлении связи между давлением и скоростью движения, между нагрузками и возникающими при этом деформациями.

4.Само решение конкретных задач дисциплины путем математических операций также обычно относится к механике сплошной среды. Это, в основном, связано с тем, что решения задачи механи-

11

1. Предмет, методы и гипотезы механики сплошной среды

ки сплошной среды традиционными математическими методами, как правило, являются трудными и неразрешимыми эффективно.

Поэтому на практике широко применяются упрощающие предположения, которые, с учетом видоизменения в постановке задач, позволяют получать приближенные решения, основанные на различных математических гипотезах.

5. Под влиянием дисциплины «Механика сплошных сред» ряд

отраслей математики получил большое развитие. Например, «Механика сплошных сред» оказала большое влияние на развитие теории функции комплексного переменного, краевых задач для уравнений с частными производными, интегральных уравнений.

1.3. Основные подходы к исследованиям в механике сплошных сред

Известно, что сплошная среда представляет собой физическую субстанцию, которая состоит из большого числа малых частиц. Совокупность частиц непрерывно, сплошным образом заполняет область пространства, относящуюся к твердому, жидкому или газообразному материальному телу, независимо от его агрегатного состояния. При этом сами физические тела могут быть не только твердыми, жидкими или газообразными материальными телами, но и ионизированными субстанциями, которые состоят из элементарных частиц, таких как электроны, ионы и нейтральные частицы

[1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Данные об элементарных частицах известны из курса общей физики. А количественные параметры элементарных частиц и их характеристики широко представлены в справочниках.

Сравнение размеров, массы, объемов элементарных частиц и твердого, жидкого или газообразного тела, независимо от его агрегатного состояния, показывает объем, занимаемый материальным

12

1.3. Основные подходы к исследованиям в механике сплошных сред

телом, значительно превышает объем, в котором сосредоточено вещество.

В природе зачастую в ограниченном объеме пространства содержится значительное число материальных частиц, которые при этом постоянно находятся в хаотическом движении, и которым присущи определенные взаимодействия. Особенностью газовых сред является то, что в них взаимодействие материальных частиц обусловлено только столкновениями. В твердых и жидких средах, в отличие от разряженных газовых сред, материальные частицы расположены значительно ближе, и для них свойственны значительные силовые взаимодействия. Известно, что силовые взаимодействия определяют упругость и прочность тел. Эти силы имеют электрическую природу, физическая модель которых основана на силах кулона и взаимодействии элементарных магнитов.

Существует два основных подхода к исследованиям поведения материальных сред:

1)статистический;

2)феноменологический.

Статистический подход, основывающийся на физических закономерностях движения твердых, жидких и газообразных материальных тел, базируется на методах статистической механики. В основу статистического подхода положены вероятностные методы, в которых в качестве параметров математических моделей применяются средние характеристики по большому ансамблю материальных частиц. В статистическом подходе для упрощения описания математических моделей вводятся гипотезы, которые учитывают свойства молекул и особенности их взаимодействия друг с другом.

Реальные материальные частицы имеют достаточно сложное строение молекул. Поэтому для большинства задач в механике сплошной среды применение статистических методов затруднено,

13

1.Предмет, методы и гипотезы механики сплошной среды

асамо решение задач статистическим методом чрезвычайно затруднительно из-за сложных уравнений.

Другим методом является построение феноменологической макроскопической теории, основанной на общих, полученных из опытов закономерностях и гипотезах. В основу феноменологического подхода положено понятие сплошной среды или материального континуума и гипотеза сплошности. Еще одна из основных гипотез механики сплошной среды связана с понятием пространства. В этой гипотезе под пространством понимается бесконечная совокупность точек, положение которых определяется относительно начала координат.

Вдальнейшем мы будем развивать феноменологическую теорию материальной среды.

Контрольные вопросы

1.Определение и задачи механики сплошной среды.

2.Предмет исследования механики сплошной среды.

3.Основные методы механики сплошной среды и их характеристики.

4.Значимые проблемы механики сплошных сред.

5.Основные подходы к исследованиям поведения материальных сред.

6.Что является особенностью взаимодействия материальных частиц в газовых средах?

7.Что является особенностью взаимодействия материальных частиц в жидких средах и твердых телах?

8.На чем основан статистический подход исследования механики сплошной среды?

9.На чем основан феноменологический подход исследования механики сплошной среды?

10.Назовите основные гипотезы механики сплошной среды.

14

2. Основные понятия и определения механики сплошной среды

ское описание этой среды и ее свойств можно описать непрерывными функциями.

Теория сплошности под понятием сплошная среда полагает не только твердые, жидкие и газообразные материальные тела, но и поля различной физической природы. Примерами физических полей могут служить такие, как электромагнитное поле, поле темпе-

ратуры, поле давления и т.п.

Такая идеализация объясняется тем, что в механике сплошной среды при рассмотрении закономерностей движения материальных тел применяется математический аппарат, базирующийся на применении непрерывных функций, методы дифференциального и интегрального исчисления.

2.2. Пространство

Особенность воздействия различных стимулов на движение материальных тел, такие как внешние силы, нагрева и т.п., приводит к тому, что в механике сплошной среды совокупность материальных точек занимает разные области пространства в разных условиях. Следует обратить внимание на различие между телом, конфигурацией тела и областью, которую тело занимает в этой конфигурации. Аналогичным образом необходимо обращать внимание на различие между материальной частицей и положением в пространстве, которое она занимает в некоторой конфигурации

[1–4, 6, 7, 12, 16–20].

В механике сплошной среды вводится метрика пространства, которая базируется на понятии длины вектора. Метрика пространства определяет способ определения длин в пространстве. Длину любого вектора можно выразить через его компоненты и скалярные произведения векторов базиса. Для определения длины вектора достаточно определить скалярные произведения базисных векторов.

16

2.3. Время

Размерность пространства, образованного совокупностью материальных точек, равна числу координат.

Рассмотрим основные метрики пространства. Для трехмерного пространства положение каждой произвольной точки в декартовой прямоугольной системе координат задается тремя координатами (xi, yi, zi). В этом случае расстояние между двумя точками с координатами (x1, y√1, z1) и (x2, y2, z2) определяется как

(2.1)

Для ряда задач в механике сплошной среды совокупность точек в пространстве может образовать сферическую поверхность. В таком случае положение произвольной точки однозначно задается двумя угловыми координатами θ (долгота) и ϕ (широта). Такое пространство также является двумерным.

Чтобы оценить разницу между конфигурацией материального тела и областью, занятой в этой конфигурации, рассмотрим следующий пример. Предположим, что тело в определенной конфигурации занимает круглую цилиндрическую область пространства. Если объект «крутится» вокруг своей оси, как при кручении, он продолжает занимать ту же самую круговую цилиндрическую область пространства. Таким образом, область, занимаемая телом, не изменилась, хотя можно сказать, что тело находится в другой конфигурации.

2.3. Время

Движение частиц сплошной среды можно описать эволюцией их пространственных координат (или вектора их положения) по времени [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Математически это требует определения функции, которая обеспечивает для каждой частицы (обозначенной ее меткой) ее пространственные координаты.

17

2.Основные понятия и определения механики сплошной среды

Вмеханике сплошной среды, согласно гипотезе абсолютного времени, полагают, что время течет одинаково вне зависимости от выбора системы отсчета, в которой рассматривается движение деформируемой среды. При этом могут рассматриваются два вида системы отсчета: система отсчета наблюдателя и сопутствующая система отсчета.

Гипотеза абсолютного времени представляет собой идеализацию, которая применяется при решении большинства практических задач в механике сплошной среды. Необходимо учитывать, что данная гипотеза адекватна рассматриваемым моделям для условий движения, при которых скорости движения тел не достигают таких значений, чтобы возникала необходимость учета эффектов теории относительности.

Основные понятия и определения показывают, что в дисциплине «Механика сплошных сред» рассматриваются условия движение как самой сплошной среды, так и совокупностей материальных точек в пространстве с использованием понятия абсолютного времени.

Физическая интерпретация этих условий состоит в том, что каждый дифференциальный объем всегда должен быть положительным, т.е., используя принцип сохранения массы, плотность частиц всегда должна быть положительной.

Три фундаментальные гипотезы, рассмотренные выше, фор-

мируют в механике сплошной среды базисную основу теории движения деформируемых тел.

2.4. Описание физических величин: Эйлеровы и Лагранжевы формы

Как было показано ранее, в дисциплине «Механика сплошных сред» движение как самой сплошной среды, так и совокупностей материальных точек определяется по отношению к системе отсче-

18

2.4. Описание физических величин: Эйлеровы и Лагранжевы формы

та. При этом могут рассматриваться два вида системы отсчета: система отсчета наблюдателя и сопутствующая система отсчета. С помощью систем отсчета устанавливается соответствие между числами (координатами) и точками пространства [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

В трехмерном пространстве точка движется относительно системы координат х1, х2, х3, если ее координаты меняются со време-

нем. В этом случае координатными линиями называют линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянные значе-

ния.

Если координатные линии х1, х2, х3 являются прямыми, то си-

стема координат является прямолинейной (рис. 2.2), если нет – система координат криволинейная (рис. 2.1).

В механике сплошной среды как обозначаются координаты относительно любой (в том числе и декартовой) системы координат, координаты относительно ортогональной декартовой системы координат обозначаются , а время – t.

x3

x 2

x1

Рис. 2.1. Криволинейная система координат

19

2. Основные понятия и определения механики сплошной среды

Рис. 2.2. Прямолинейная система координат

В таком случае можно полагать, что точка движется относительно системы координат , если ее координаты меняются со временем:

(2.2)

Определенное время t = t0 интересующего временного интер-

вала понимается как эталонное время, а положение тела в это время, как начальное или эталонное положение. Таким образом, движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется с разными точками пространства.

Считается, что движение точки известно, если известны функции fi, которые называют законом движения. Необходимо отме-

тить, что изучение движения сплошной среды как целого – недостаточно.

Математическое описание свойств частиц сплошной среды можно адресовать двумя альтернативными способами: описание

20