Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

11.2.Вывод уравнения движения вязкой жидкости

14.Найти октаэдрические нормальные и октаэдрические касательные напряжения.

Считать, что среда в равновесии, объемные силы отсутствуют.

Задан тензор напряжений в точке

16. ( )

и поверхность с нормалью

Найти вектор напряжений в точке.

Контрольные вопросы

1.Уравнение движения вязкой жидкости.

2.Вязкий тензор напряжения.

3.Уравнение движения Навье – Стокса.

4.Вязкость. Кинематическая и динамическая вязкость.

5.Граничные условия к уравнению движения вязкой жидко-

сти.

121

12. Кинетическая энергия несжимаемой жидкости

Таким образом, находим окончательно следующую формулу для диссипации энергии в несжимаемой∫ ( ж)идкости:

(12.9)

нии является величиной всегда положительной. Отсюда можем заключить, что коэффициент вязкости положительный.

12.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости

Будучи сильно нелинейными из-за конвективных членов уско-

рения, уравнения Навье – Стокса трудно обрабатывать в физической ситуации. Более того, нет общих аналитических схем для ре-

124

12.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости

шения нелинейных уравнений в частных производных. Тем не менее существует несколько приложений, в которых конвективное ускорение исчезает из-за характера геометрии системы потока. Таким образом, точные решения часто возможны [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Поскольку уравнения Навье – Стокса применимы к ламинарным и турбулентным потокам, усложнение снова возникает из-за

флуктуаций компонент скорости для турбулентного потока. Таким образом, эти точные решения относятся к ламинарным потокам, для которых скорость не зависит от времени (устойчивый поток) или зависит от времени (нестационарный поток) хорошо определенным образом. Решения для этих категорий поля потока могут быть применены к внутренним и внешним потокам. Потоки, ограниченные стенками, называются внутренними потоками, тогда как внешние потоки не ограничены и могут свободно расширяться. Классическим примером внутреннего потока является поток в трубе, в то время как поток над плоской пластиной рассматривается как внешний поток.

Ранее было показано, что поток жидкости в канале может иметь три характеристики, обозначаемые как ламинарные, турбулентные и переходные.

Первоначально поток может начинаться с ламинарного при небольшом значении числа Рейнольдса. С увеличением числа Рейнольдса упорядоченная структура потока теряется, и флуктуации становятся более преобладающими. Когда число Рейнольдса превышает некоторое предельное значение, поток характеризуется как турбулентный. Момент такого изменения называется переходом к турбулентности. Кроме того, если число Рейнольдса уменьшается, то поток может вернуться из турбулентной области в ламинарное состояние. Это явление известно как реламинаризация.

Полностью развитый устойчивый поток в трубе может быть вызван силами силы тяжести или давления. Если труба удержива-

125

12. Кинетическая энергия несжимаемой жидкости

ется в горизонтальном положении, гравитация не оказывает влияния, за исключением изменения гидростатического давления. Разница давлений между двумя секциями трубы, по существу, приводит в движение поток, в то время как вязкие эффекты обеспечивают сдерживающую силу, которая точно уравновешивает силы давления. Это приводит к тому, что жидкость движется с постоянной скоростью (без ускорения) по трубе. Если вязкие силы от-

сутствуют, то давление будет оставаться постоянным повсюду, кроме гидростатических колебаний.

Рассмотрим двумерное несжимаемое вязкое ламинарное течение между двумя параллельными пластинами, разделенными определенным расстоянием 2h, как показано на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Несжимаемый вязкий поток между параллельными пластинами

Пластины движутся друг относительно друга с постоянной скоростью . Предполагается, что пластины очень широкие и длинные, так что течение по существу осевое, т.е. скорость жидкости направлена везде по оси x. Кроме того, поток считается далеко

вниз по течению от входа, так что он может рассматриваться как полностью развитый.

Плоскость выберем в одной из них. Ось направим по направлению скорости

126

12.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости

Все величины зависят только от координаты y, а скорость жидкости направлена везде по оси x. Из уравнения Навье – Стокса

для несжимаемой жидкости для стационарного движения

между плоскостями) должно быть соответственно

(12.12)

Отсюда находим

(12.13)

Таким образом, распространение скорости в жидкости линей-

но. Средняя скорость жидкости∫

(12.14)

Из выражения для силы P, действующей на единицу площади поверхности:

(12.15)

Находим, что нормальная компонента, действующая на плоскость силы, равна просто P (как и должно быть), а тангенциальная сила трения (на плоскость y=0) равна

(12.16)

(на плоскость y=h она имеет обратный знак).

2. Рассмотрим двумерное несжимаемое вязкое ламинарное течение между двумя параллельными пластинами, разделенными определенным расстоянием 2h, как показано на рис.12.3.

Здесь обе пластины зафиксированы, но давление изменяется в направлении х. Предполагается, что пластины очень широкие

127

12.Кинетическая энергия несжимаемой жидкости

идлинные, так что течение по существу осевое, т.е. скорость жидкости направлена везде по оси x. Кроме того, поток считается дале-

ко вниз по течению от входа, так что он может рассматриваться как полностью развитый.

Координаты выбираем как в предыдущем случае. Ось х направлена по направлению движения жидкости.

Рис. 12.3. Несжимаемый вязкий поток между параллельными пластинами с градиентом давления

Дифференциальная форма согласно уравнению движения для вязкой жидкости принимает дифференциальную форму, которая называется уравнением Навье – Стокса. Для рассматриваемого случая в уравнении Навье – Стокса скорость зависит только от координаты у:

(12.17)

Второе уравнение показывает, что давление не зависит от у,

т.е. оно постоянное вдоль толщины слоя жидкости между плоскостями.

Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от х, а слева – только от у. Такое уравнение может выполняться, только если его левая и правая части являются постоянными величинами.

128

12.3. Закон подобия в гидродинамике

Таким образом,

(12.18)

т.е. давление является линейной функцией координаты х вдоль направления потока жидкости.

Для скорости получаем

Таким образом скорость меняется вдоль толщины слоя жидкости по параболическому закону, достигая наибольшей величины посредине слоя.

Для среднего по толщине̃ жидкости слоя скорость равна

(12.21)

Сила трения, действующая на неподвижную стенку:

(12.22)

Поскольку поток должен преодолевать напряжение сдвига стенки и давление должно уменьшаться в направлении потока, константа должна быть отрицательной величиной. Этот тип потока, управляемого давлением, называется потоком Пуазейля, который очень распространен в гидравлических системах.

12.3. Закон подобия в гидродинамике

При изучении движения вязких жидкостей можно получить ряд существенных результатов из простых соображений, связанных с размерностью разных физических величин [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

129

12. Кинетическая энергия несжимаемой жидкости

Рассмотрим какой-нибудь определенный тип движения.

Например, движение тела определенной формы через жидкость. Будем называть телами одинаковой формы тела геометрически

подобные, т.е. такие, которые могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз.

Поэтому, если форма тела задана, то для полного определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь один из его линей-

ных размеров (радиус шара или цилиндра, полуось эллипсоида). Будем рассматривать стационарные движения. Если жидкость

обтекает твердое тело, то скорость натекающего потока жидкости постоянна. Жидкость будем предполагать несжимаемой.

Из параметров, характеризующих саму жидкость, в гидродинамические уравнения (уравнения Навье – Стокса) входит только

кинематическая вязкость

Неизвестными функциями являются: - скорость

- отношение ; – давление, – постоянная.

Течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров тела и от его скорости.

Так как форма тела считается заданной, то геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным раз-

Из этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, а именно

130