Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие
.pdf
2.4. Описание физических величин: Эйлеровы и Лагранжевы формы
вещества (обычно используемое в механике твердого тела) и пространственное описание (обычно используемое в механике жидкости). Оба описания существенно различаются по типу аргумента (вещественные координаты или пространственные координаты), который появляется в математических функциях, описывающих свойства сплошной среды.
Учет различных описаний (вещественных и пространственных) свойств сплошной среды приводит к различным определениям производных по времени этих свойств.
Из вышесказанного следует, что сплошная среда представляет собой непрерывную совокупность точек. Поэтому, чтобы описать закономерности движения сплошной среды, знания движения объема сплошной среды как целого вообще недостаточно. Необходимо определенно знать закономерности движения каждой ее точки как по отдельности, так и совокупно.
Чтобы определить точки сплошной среды, мы должны пометить отдельные точки, например, задавать значениями их начальных координат. Такой подход обеспечивает удобный способ обозначения отдельных материальных точек.
Основная причина такого подхода заключается в том, что мы можем изучить геометрические характеристики положения сплошной среды изучая геометрические свойства точек, занимающих область в пространстве. Этого вполне достаточно для моделирования вещественных сред, таких как многие жидкости. Однако при описании большинства твердых тел часто необходимо знать изменения геометрических характеристик между одним и другим положением. Например, изменение длины, изменение угла и т.д. Чтобы описать изменение геометрической величины, необходимо обязательно рассмотреть (как минимум) два положения тела: положение, которое нужно проанализировать, и положение, относительно ко-
торого должны измеряться изменения.
21
2. Основные понятия и определения механики сплошной среды
Обычно основываются на представлении, которое непосредственно касается абстрактных точек как описания сплошной среды.
В таком представлении, координаты точек в начальный момент времени можно обозначить двояко: или а координаты точек в любой момент времени
Для любой точки, положение которой определяется координатами можно написать закон движения. В математическое
описание закона движения входят функции уже не одной, как в случае движения точки, а четырех переменных, которые включают начальные координаты и время Пространственное описа-
ние движения сплошной среды может быть описано системой уравнений в виде (2.3):
} |
|
Если в выражении (2.3) координаты точек |
будут фикси- |
рованными, а время – переменным, то решение системы уравнений (2.3) дает уравнение траектории или траектории движения точ-
ки, которое называют законом движения одной фиксированной точки.
Если в выражении (2.3) координаты точек будут пере-
менными, а время – фиксированным, то решение системы уравнений (2.3) будет представлять собой распределение точек в про-
странстве в данный момент времени.
Если переменными будут и координаты точек и время то эти функции (2.3) – являются формулами, определяющими дви-
жение сплошной среды.
Функции (2.3) называются законом движения континуума.
Координаты |
или |
и время t называются пере- |
менными Лагранжа. |
|
|
22
2.5. Система отчета
Основная задача механики сплошной среды заключается в определении функций (2.3), т.е. закона движения.
Достаточным (но не обязательным) условием для того, чтобы функция была обратимой (т.е. для существования ее обратного уравнения движения), является то, что определитель якобиана функции не равен нулю. Кроме того, поскольку якобиан положителен, движение имеет физический смысл.
Поэтому предположим, что функции, входящие в закон движения, непрерывны и имеют непрерывные частные производные по всем аргументам. Это довольно общее допущение, но вместе с тем сильно ограничивает класс допустимых для изучения явлений.
Например, воду можно разбрызгивать. При этом находящиеся близко частицы в последующие моменты времени не будут близки друг к другу. Описать такое явление в предположении о непрерывности закона движения нельзя.
Существуют различные альтернативы при выборе координаты, которая характеризует точку, хотя наиболее часто используется опция использования ее материальных координат. Когда уравнение движения записывается в виде материальных координат, это называется уравнением движения в канонической форме.
2.5. Система отчета
Как было показано выше, положение сплошной среды во времени определяется как местоположение позиций, занимаемых в пространстве материальными точками (частицами) сплошной среды в данный момент времени. Движение материальных точек в пространстве определяется с помощью чисел (координат), определяемых в некоторой системе координат. Введем систему координат
– систему отсчета наблюдателя, в которой изучается движение континуума. Система координат может быть выбрана произвольно. На практике она часто связанна с Землей, но может быть
23
2. Основные понятия и определения механики сплошной среды
связана с Солнцем, вагоном и т.д. По смыслу введения она может быть подвижной или может считаться неподвижной. Очевидно, что
впространственном описании основное внимание уделяется точке
впространстве [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Чтобы определить координаты точки, которые выражают относительное положение точки, необходимо определить систему отсчета.
Для случая движения сплошной среды нужно ввести еще и со-
путствующую систему координат. |
|
|
Наряду с координатами |
лагранжевы координаты ин- |
|
дивидуальных точек |
можно рассматривать как другие ко- |
|
ординаты тех же точек пространства. |
|
|
Соответствующая система координат |
в том же про- |
|
странстве образует подвижную деформируемую криволинейную систему координат, которая называется сопутствующей системой координат.
Таким образом, если рассматривать систему координат свя-
занную с частицами сплошной среды, то она с течением времени будет изменяться. Выбор такой системы в данный момент времени в нашей власти, но в следующие моменты времени она неподвластна нам, так как как бы «вморожена» в среду и деформируется вместе с ней.
Такая «вмороженная» система и определена как сопутствую-
щая.
Все точки сплошной среды всегда покоятся относительно сопутствующей системы координат, так как их координаты не меняются. Но сама система движется, растягивается, сжимается…
Когда мы говорим о движении сплошной среды, необходимо индивидуализировать точки, и, следовательно, пользоваться лагранжевыми координатами. Поэтому всегда при рассмотрении движения сплошной среды подразумевается наличие системы от-
24
2.6. Метод Эйлера
счета , относительно которой рассматривается движение, и сопутствующей системы координат.
Использование в качестве независимых переменных и составляет точку зрения Лагранжа на изучение движения
сплошной среды, которая опирается на описание истории движения каждой точки сплошной среды в отдельности.
Ввиду того, что в момент лагранжевы координаты являются криволинейными и следящими во времени за физическими частицами, они приводят к довольно сложным выражениям и уравнениям, но зато дают исчерпывающую информацию о поведении связанных с фиксированными частицами параметров.
В теории напряжений и малых деформаций метод Лагранжа приводит к простым и наглядным результатам.
2.6. Метод Эйлера
Законы Ньютона о движении массовой частицы не могут быть в строгом смысле логически перенесены для применения к телу непрерывно распределенной материи. Результат, называемый законом сил и законом моментов, затем применяется для применения к континууму. Считается, что, либо континуум представляет собой систему большого числа элементарных частиц, либо систему бесконечно многих бесконечно малых частиц. Однако этот метод рассмотрения не работает на том основании, что элементарные частицы не подчиняются ньютоновской механике. Здесь затрагиваются вопросы квантовой механики, и переход из микромира в макромир должен включать статистическую механику [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Механика сплошной среды постулирует две аксиомы: Первая аксиома Эйлера, которая соответствует Второму закону Ньютона и закону сил для системы материальных частиц, и Вторая аксиома Эйлера, которая базируется на законах моментов для системы ма-
25
2. Основные понятия и определения механики сплошной среды
териальных частиц. В таком случае, закон действия и реакции сил, т.е. Третий закон Ньютона, согласно которому два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, теперь может быть трактован, как следствие эйлеровых аксиом.
Независимость от времени пространственного описания (стационарности) предполагает, что для одной и той же точки пространства рассматриваемое свойство не изменяется во времени. Это не означает, что для одной и той же материальной точки такое свойство не изменяется во времени.
Из континуума в момент времени t теперь можно рассматривать тело, имеющее массу, объем и поверхность. Предполагается, что на тело действуют два типа сил: сила тела на единицу массы и сила контакта на единицу площади по поверхности тела.
Силы тела – это внешние силы, исходящие из источников вне тела, и они представляют действия на расстоянии от окружающей среды. По практическим причинам все силы тела считаются заданными на единицу массы. Гравитация, центробежные силы, электростатические и магнитные воздействия являются примерами сил тела.
Наиболее типичной силой тела является гравитационная сила g в параллельном постоянном поле гравитации с ее стандартным значением g=9,81 Н / кг. Обычно предполагается, что силы тела не
зависят от состояния тела, но в целом силы тела зависят от положения в пространстве частицы, на которую они действуют.
Например, если скорость v (x; t) является стационарной, то материальное описание скорости зависит от времени. В случае стационарной плотности, для двух частиц, обозначенных х1 и х2, которые
имеют различные плотности по времени, когда они занимают одну
иту же пространственную точку x в два разных момента времени t1
иt2, их значения плотности будут совпадать.
26
2.6.Метод Эйлера
Вкачестве примера можно рассматривать движение воды в реке. Этот процесс можно изучать с двух точек зрения. Точка зрения Лагранжа предполагает наблюдение за движением каждой материальной частицы воды от верховьев реки до его устья (это будет точка зрения Лагранжа). Точка зрения Эйлера будет основана на наблюдении изменения течения воды в определенных местах реки.
Геометрические координаты пространства и время t
носят название переменных Эйлера. Таким образом, положение материальной частицы в эталонной конфигурации может быть задано тремя декартовыми координатами или вектором положения. Движение материальной частицы, с точки зрения Эйлера, считается известным, если скорость, ускорение, температура и другие ве-
личины заданы как функции координат |
|
и времени . |
|
Функции |
|
|
и т.д. при |
фиксированных |
и переменной |
|
определяют изменения |
со временем скорости, ускорения и т.д. в данной точке пространства для разных приходящих в эту точку частиц.
При фиксированном и переменных эти функции дают распределение характеристик движения в пространстве в данный момент времени при переменных и – распределение характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.
Следуя терминологии, принятой в механике сплошной среды, лагранжевы координаты принято называть материальными координатами, а эйлеровы координаты – пространственными координатами.
Из вышесказанного следует, что математически точка зрения Эйлера отличается от точки зрения Лагранжа только тем, что в
первой переменными являются координаты точек |
пространства |
и время а во второй – параметры |
, определяю- |
щие положение точки сплошной среды, и время |
|
27
2. Основные понятия и определения механики сплошной среды
Аксиомы Эйлера, т.е. законы баланса линейного импульса и углового момента, являются уравнениями движения для тела из сплошного материала. Из этих двух фундаментальных законов могут быть выведены уравнения поля движения, которые представляют собой баланс линейного и углового моментов частиц в континууме. Вывод уравнения движения может быть выполнен двумя различными способами: для дифференциального элемента объема относительно частицы или для конечного объема общей формы.
В общем случае закон движения сплошной среды имеет вид
|
(2.4) |
где |
– параметры, определяющие положение точки сплош- |
ной среды; t – время.
В рассматриваемом выражении для закона движения как параметры, определяющие положение точки сплошной среды, так и время, являются переменными Лагранжа.
Решение уравнения для закона движения относительно позволяет осуществить переход к переменным Эйлера,
который имеет вид
(2.5)
Таким образом, если движение с точки зрения Лагранжа известно и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для этого
требуется |
только |
разрешить |
закон |
движения |
(2.4) |
но |
т.е. записать его в виде (2.5). |
|
|
||
Предположим, что с точки зрения Эйлера заданы распределения скоростей в пространстве. При этом ставится задача определения закона движения с точки зрения Лагранжа.
Например, примем, что для трехмерной системы координат известны компоненты скорости по соответствующим коор-
динатам:
(2.6)
28
2.6. Метод Эйлера
Компоненты скорости |
являются производными от соот- |
||
ветствующих координат |
по времени при постоянных пара- |
||
метрах |
индивидуализирующих точку сплошной среды. |
||
Поэтому, если |
заданы как функции переменных Эйлера |
||
по координатам |
|
по времени то производные по времени: |
|
|
|
|
(2.7) |
представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно
Решив эту систему, найдем |
как функции и трех произ- |
|
вольных постоянных |
которые определяются по значениям |
|
в данный момент времени |
и поэтому являются параметра- |
|
ми индивидуализирующими точку – переменными Лагранжа. Таким образом, в результате решения этой системы
дифференциальных уравнений находится закон движения с помощью которого можно перейти от пере-
менных Эйлера к переменным Лагранжа.
Вклассической механике уравнение Эйлера представляет собой векторное квазилинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее движение твердого тела, используя вращающуюся систему отсчета, оси которой прикреплены к телу и параллельны главным осям инерции тела.
Вописании, с точки зрения Лагранжа, внимание сосредоточе-
но на том, что происходит с отдельными частицами во время движения, тогда как с точки зрения Эйлера в описании движения акцент делается на события, происходящие в определенных точках пространства.
Вмеханике сплошной среды, как было показано выше, движение с точки зрения Лагранжа и движение с точки зрения Эйлера взаимосвязаны.
29
2. Основные понятия и определения механики сплошной среды
Контрольные вопросы
1.Теория сплошности, пространство, время.
2.Система отсчета.
3.Закон движения.
4.Метод Лангража в изучении движения сплошной среды.
5.Метод Эйлера в изучении движения сплошной среды.
6.Поясните, что понимается сплошной средой.
7.Какие тела могут рассматриваться в теории сплошности под понятием сплошная среда?
8.Поясните, что понимается под метрикой пространства.
9.Поясните гипотезу абсолютного времени.
10.Что называют законом движения одной фиксированной точки?
30