Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

5.1. Гидростатика

что внутренняя энергия изолированной системы остается неизменной. Вначале рассмотрим жидкость, которая находится не только в механическом, но и в тепловом равновесии. Для такой жидкости, с учетом первого закона термодинамики, необходимо учитывать, что жидкость обладает энергией, энтропией, объемом, температурой, давлением и химическим потенциалом

В случае теплового равновесия температура одинакова во всех точках жидкости и уравнение механического равновесия

может быть представлено с учетом известного термодинамического соотношения , где – термодинамиче-

ский потенциал, отнесенный к единице массы жидкости. В результате получим

– потенциальная энергия единицы массы жидкости в поле тяжести. Это условие известно из статистической физики как условие термодинамического равновесия системы, находящейся во внешнем поле.

Отметим еще одно следствие из уравнения Если жидкость или газ находятся в механическом равновесии в

поле тяжести, то давление в них может быть функцией только от высоты Если бы на данной высоте давление было различно в различных местах, то возникло бы движение.

также является функцией, зависящей только от высоты Давление и плотность однозначно определяют температуру в

данной точке.

Следовательно, и температура является функцией от Таким образом, при механическом равновесии в поле

51

5. Гидростатика и отсутствие конвекции

тяжести распределение давления, плотности, температуры зависит только от высоты.

Рассмотрим уравнение равновесия очень большой массы жидкости, части которой удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Пусть – ньютоновский гравитационный потенциал, создаваемый жидкостью поля.

Он удовлетворяет дифференциальному уравнению:

Отметим, что здесь идет речь только о механическом равновесии. Существования полного теплового равновесия не предполагается.

5.2. Условие отсутствия конвекции

Условие постоянной температуры в общем случае выполняется только для полного механического и теплового равновесия. Однако могут также возникнуть ситуации, когда температура не постоянна, но тем не менее существует механическое равновесие в том смысле, что жидкость не движется макроскопически. При наличии градиента температуры и неисчезающей теплопроводности будут происходить микроскопические процессы теплопровод-

52

5.2. Условие отсутствия конвекции

ности, которые противодействуют градиенту температуры, например, радиационной теплопроводностью [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Уравнение , являющееся условием механического равновесия, может быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. Однако будет ли такое равновесие устойчивым?

Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия.

Жидкость с градиентом температуры, направленная против гравитационного ускорения, может быть нестабильной. Основная причина в том, что плотность обычно уменьшается при повышении температуры. Макроскопическое движение может быть результатом эффекта, который называется конвекцией.

Условием устойчивости механического равновесия является условие отсутствия конвекции.

Рассмотрим элемент жидкости, находящейся на высоте с удельным объемом, где и – равновесные давление и энтропия на этой высоте.

Предположим, что этот элемент жидкости подвергается адиабатическому смещению на малый отрезок вверх. Его удельный объем станет при этом , где – давление на высоте .

Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы возникающая при этом сила стремилась вернуть элемент в исходное положение.

Это значит, что рассматриваемый элемент должен оказаться более тяжелым, чем вытесненная в новое положение жидкость.

Используя термодинамические формулы, получим условие отсутствия конвекции в виде

53

5. Гидростатика и отсутствие конвекции

(5.9)

т.е. энтропия должна возрастать с высотой.

Отсюда легко найти условие, которому должен удовлетворять

Конвекция наступает при нарушении этих условий, т.е. если температура падает по направлению снизу вверх, причем ее градиент превышает по абсолютной величине указанные в последних двух формулах значения.

Контрольные вопросы

1.Уравнение покоящейся жидкости.

2.Потенциальная энергия единицы массы.

3.Условие термодинамического равновесия.

4.Распределение давления, плотности, температуры при меха-

ническом равновесии в поле тяжести.

5.Условие отсутствия конвекции.

54

6. Уравнение Бернулли. Поток импульса

Рассмотрим общий подход для анализа поведения жидкости с точки зрения Эйлера, а не Лагранжа.

Уравнения гидродинамики упрощаются для случая стационарного течения жидкости.

Под стационарным или установившимся понимается такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени.

Для устойчивого невязкого потока под действием внешних сил, который имеет постоянную во времени скорость течения, левая часть уравнения Эйлера сводится к форме, содержащей только

где – тепловая функция единицы массы жидкости.

Хотя предыдущие уравнения записаны в векторной записи, они чаще всего применяются одновременно только к одной направленной составляющей импульса.

Введем понятие линия тока – это линия, касательная к которой указывает направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Линии тока определяются системой дифференциальных уравнений:

(6.2)

При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.

При нестационарном течении такое совпадение не имеет места: касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в опре-

56

6.1. Вывод уравнения Бернулли

деленный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направление скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение (6.1) на единичный вектор касательной к

линии тока в каждой ее точке. Обозначим единичный вектор .

Как известно, проекция градиента на некоторое направление

тока:

(6.4)

Это уравнение называют уравнением Бернулли. Было уста-

новлено в 1738 г. швейцарским физиком, механиком и математиком Даниило Бернулли (Daniel Bernoulli).

Хотя при движении реальных жидкостей всегда есть некоторые потери на трение, во многих инженерных задачах предположение о движении без трения может дать удовлетворительные.

Важной особенностью уравнения Бернулли является возможность графического представления результатов на каждом участке.

Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (6.1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести

Выберем направление силы тяжести по направлению оси причем положительные значение будут отсчитываться вверх. То-

57

6.2. Поток энергии

некотором заданном объеме пространства.

Справа интеграл представляет собой (следовательно) количество энергии, вытекающей в единицу времени из рассматриваемого объема.

сы жидкости как бы переносит с собой при своем движении энергию

59