Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

9.2. Вывод уравнения движения для гравитационных волн

(9.2)

Ось направлена вертикально вверх. В качестве плоскости выбираем плоскую равновесную поверхность жидкости.

Обозначим координату точек поверхности жидкости через является функцией координат и времени В равновесии , так что есть вертикальное смещение жидкой поверхности

при ее колебаниях.

Пусть на поверхность жидкости действует постоянное давле-

ние

циала ).

Тогда условие на поверхность жидкости имеет вид

(9.4)

Начальные условия

Малость амплитуды означает, что смещение мало. Поэтому вертикальная компонента скорости движения точек поверхности

Таким образом, получаем окончательную следующую систему

уравнений, определяющих движение в гравитационной волне:

(9.6)

93

Физически: волны обусловлены действием силы тяжести. Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, считая

эту поверхность неограниченной. Считаем, что длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости: тогда жидкость можно рассматривать как бесконечно глубокую. Поэтому не пишем граничных условий на боковых стенках и для жидкости.

Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси и однородную вдоль оси

Будем искать решение в виде простой периодической функции времени и координаты

Найдем связь между частотой и волновым вектором (закон дисперсии волн):

дисперсия – зависимость скорости от длины волны.

94

9.2. Вывод уравнения движения для гравитационных волн

Распределение скоростей в жидкости получается дифференцированием потенциала по координатам:

(9.12)

(9.13)

т.е. у колебательной скорости есть две компоненты одна – по x, другая – по y.

Видно, что скорость экспоненциально падает по направлению

вглубь жидкости.

Вкаждой заданной точке пространства (т.е. при заданных х, z) вектор скорости равномерно вращается в плоскости x, z, оставаясь

постоянным по своей величине.

Определим еще траекторию частиц жидкости в волне. Обозначим временно посредством x, z координаты движущейся частицы

жидкости (а не координаты неподвижной точки в пространстве).

(9.14)

(9.15)

с радиусом экспоненциально убывающим по направлению вглубь жидкости.

Скорость распространения волны равна (как увидим позже):

95

9. Гравитационные волны

Скорость распространения волны при увеличении длины волны, например цунами. Мы рассмотрели гравитационные волны,

длина которых мала по сравнению с глубиной жидкости.

Можно рассмотреть волны противоположные по сравнению с глубиной жидкости. Такие волны называют длинными. Рассматривают распространение длинных волн в канале. Выводить не будем.

Получается уравнение вида: Уравнение такого

вида называют волновым. Скорость распространения длинных волн в канале равна

ниченном в двух измерениях) при плоском горизонтальном дне

96

9.3.Примеры и задачи для решения

9.3.Примеры и задачи для решения

Пример 1. С какой скоростью распространяются гравитационные волны на поверхности воды. Глубина водоема равна h, поверхность – неограниченна [5, 8–11, 13–15].

Решение. Примем, что направление распространения гравитационной волны совпадает с направлением оси x. В то же время ось z направлена вертикально вверх, т.е. обратно действию силы тяже-

сти. Запишем уравнение Лапласа

Запишем нормальную составляющую скорости на дне водоема

Из уравнения (2) следует

На основании граничного условия (3) найдем отношение между константами A и B. Тогда можно записать

97

9.3. Примеры и задачи для решения

Решение. Примем, что оси x и y совпадают с двумя боковым

сторонам водоема. Запишем уравнение стоячей волны

Для запишем уравнение

Запишем граничное условие для свободной поверхности воды

( )

На основании уравнения (3) запишем дисперсионное уравне-

ние

Запишем решение уравнения (2) для

На боковых сторонах водоема выполняются граничные усло-

вия:

(6)

Тогда можно записать

где – целые числа.

Подставим уравнения (7) в уравнение (5)

( )

99

9. Гравитационные волны

Задачи

1. Гравитационная волна распространяется в водоеме. Глубина водоема . Амплитуда смещений свободной поверхности водоема равна A. Найти кинетическую и потенциальную энер-

гии гравитационной волны.

2.По неограниченной водной поверхности движется судно.

Скорость движения . На судно набегают волны длиной λ. Фронтволны перпендикулярен направлению движения. С какой частотой

волны бьют о судно?

3.Две жидкости соприкасаются друг с другом. Верхняя жидкость ограничена сверху неподвижной плоскостью, а нижняя жидкость ограничена снизу неподвижной плоскостью. Плотность

верхней жидкости равна , плотность второй жидкости равна .

Глубина слоя верхней жидкости равна , глубина слоя второй жидкости равна . Будем считать, что давление на границе раздела двух сред непрерывно, а скорости жидкостей одинаковы. Найти связь между длиной волны и частотой гравитационных волн на границе раздела двух жидких сред.

4. На поверхности воды находится поплавок. В это время по

поверхности бежит квазимонохроматический пакет гравитационных волн. В пакете содержится N максимумов и минимумов. Вы-

полняется соотношение . Какое количество колебаний «вверх-вниз» совершит поплавок под действием волнового пакета?

те, что учет капиллярности в приближенном законе дисперсии приводит только к поправке на величину .

6. Получите закон дисперсии гравитационно-капиллярных волн для условия .

100