Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

938 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Контрольные вопросы

7. Заданы три волновых уравнения:

Какие у них будут дисперсионные характеристики?
	[	]
8. Заданы компоненты скорости гравитационной волны:
Какая будет траектория частиц	жидкости в
	[	] гравитационной

волне?

9. Какой будет закон дисперсии капиллярных волн при усло-

вии

10. Заданы дисперсионные уравнения сред:

Определите фазовые и групповые скорости для волн в этих средах.

11. Доказать, что на гребне гравитационной волны ускорение направлено вертикально вниз и равно g/2.

Контрольные вопросы

1.Гравитационные волны. Система уравнений, определяющих движение в гравитационной волне.

2.Условия возникновения гравитационных волн.

3.Дисперсионное уравнение для гравитационных волн. Скорость гравитационных волн.

4.Понятие длинных гравитационных волн.

5.Скорость распространения длинных волн

101

10.ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ

ВНЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

10.1.Общие понятия и свойства внутренних волн

Своеобразные гравитационные волны могут распространяться внутри несжимаемой жидкости [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Их происхождение связано с неоднородностью жидкости: её давления (а с ним и энтропия) будет меняться с высотой.

Поэтому всякое смещение какого-либо участка жидкости по

высоте приводит к нарушению механического равновесия, а поэтому к возникновению колебательного движения.

Действительно, ввиду адиабатичности движения этот участок

перенесёт с собой в новое место своё значение энтропии	S , отлич-
ное от его равновесного значения в этом месте.

Мы будем считать, что длина распространяющейся в жидкости волны, мала по сравнению с расстояниями, на которых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности (существенное изме-

нение плотности происходит на расстоянии для воды

Саму жидкость мы будем рассматривать при этом как несжимаемую.

Это значит, что можно пренебречь изменением её плотности, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, пренебречь нельзя, так как именно оно определяет собой всё явление.

10.2. Вывод уравнения движения для внутренних волн

Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

102

10.2. Вывод уравнения движения для внутренних волн

Будем обозначать значения волн в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения этих значений –

штрихом (например,				).
	Тогда уравнение сохранения энтропии				пишется с
точностью до величины первого порядка малости в виде
					(10.1)
					(10.1)
где		является заданной функцией вертикальной координаты
		(	)
	В силу малости колебаний в уравнении Эйлера пренебрегаем
числом
	Учитывая, что равновесное распределение давлений определя-
ется уравнением				получим
					(10.2)

Поскольку изменение плотности связано только с изменением энтропии, но не давления, то(можно) записать

(10.3)

и получить уравнение Эйлера( в)виде

(10.4)

можно ввести под знак градиента, так как изменением равновесной плотности на расстояниях порядка длины волны, мы всё равно пренебрегаем.

Уравнение непрерывности, так как мы считаем плотность постоянной, сводится при этом к

(10.5)

Будем искать решение системы уравнений в виде плоской вол-

ны:

(10.6)

и аналогично для S и P .

103

10. Внутренние волны в несжимаемой жидкости

Подстановка в уравнение непрерывности даёт т. е. скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому вектору (поперечная волна).

Уравнения (10.3) и (10.4) дают:

(10.7)

(10.8)

Условие

применённое ко второму из этих равенств,

(

)

приводит к соотношению

(10.9)

Исключая из обоих

уравнений V и S

, получим искомый за-

(

)

кон дисперсии – соотношение между частотой

и волновым векто-

ром:

(10.10)

где

далее индекс нуль у равновесных значений термо-

Здесь(и

)

динамических величин опущен.

Ось z направлена вертикально вверх.

угол между осью

z и направлением k .

Положительность

последнего выражения обеспечивается

условием устойчивости равновесного распределения

(услови-

ем отсутствия конвекции

Видим, что частота, оказывается, зависит только от направления волнового вектора, но не от его величины. При получается

Это означает, что волны рассматриваемого типа с волновым вектором, направленным вертикально, вообще невозможны.

104

10.2. Вывод уравнения движения для внутренних волн

Если жидкость находится не только в механическом, но и в

полном термодинамическом равновесии, то её температура посто-

(

)

(

)

янна, и можно записать:

(10.11)

Воспользуемся известными термодинамическими соотноше-

ниями:

(

)

(

)

(

)

(

)

(10.12)

где

теплоёмкость единицы массы жидкости.

Получим

(10.13)

В частности,

для

термодинамически идеального газа эта фор-

√

)

мула даёт

(10.14)

Зависимость частоты от

направления волнового вектора при-

√

водит к тому, что скорость распространения волны

не сов-

падает по направлению с

√

(

)

в виде

Представим зависимость

(10.15)

где

единичный вектор в направлении вертикально вверх.

Продифференцируем

, получим:

{

}

(10.16)

Эта скорость перпендикулярна к вектору, а по величине равна

(10.17)

Её проекция на вертикаль

(10.18)

105

10. Внутренние волны в несжимаемой жидкости

Контрольные вопросы

1.Возникновение колебательного движения внутри жидкости.

2.Понятие поперечной волны.

3.Условие отсутствия конвекции.

4.Длина распространяющейся в жидкости волны по сравнению с расстояниями.

5.Понятие несжимаемой жидкости.

106

11. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

11.1. Общие понятия потока жидкости

Рассмотрим в начале некоторые из общих понятий потока жидкости [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

1.Вязкий и невязкий поток. Поток жидкости, в котором эффекты трения становятся значимыми, рассматривается как вязкий поток. Когда два слоя жидкости движутся относительно друг друга, между ними возникает сила трения, которая количественно определяется свойством жидкости «вязкость». Потоки пограничного слоя являются примером вязкого потока. Пренебрегая вязкими членами в главном уравнении, поток можно рассматривать как невязкий поток.

2.Внутренний и внешний поток. Поток неограниченной жидкости по поверхности рассматривается как внешний поток, и если жидкость полностью ограничена поверхностью, то он называется внутренним потоком.

Например, поток через плоскую пластину рассматривается как внешний поток, а поток через трубу или воздуховод является внутренним потоком. Однако в особых случаях, если воздуховод частично заполнен и имеется свободная поверхность, он называется потоком открытого канала. Во внутренних потоках преобладает вязкость, тогда как вязкие эффекты ограничиваются пограничными слоями на твердой поверхности для внешних потоков.

3.Сжимаемый и несжимаемый поток. Говорят, что поток «несжимаемый», если плотность остается практически постоянной. Когда изменение плотности во время движения более 5 %, тогда он считается сжимаемым. Это соответствует числу Маха 0,3 при комнатной температуре.

4.Ламинарный и турбулентный поток. Высокоупорядоченное движение жидкости, характеризуемое гладкими слоями жидкости, называется ламинарным потоком.

107

11. Уравнение движения вязкой жидкости

Например, поток вязкой жидкости при малой скорости течения. Движение жидкости, которое обычно происходит при большой скорости течения, характеризуется колебаниями скорости, которые называются турбулентными. Поток, который чередуется между ламинарным и турбулентным, называется переходным. Безразмерное число, т.е. число Рейнольдса, является ключевым параметром, который определяет, является ли поток ламинарным или турбулентным.

5. Устойчивый и нестационарный поток: если в момент времени нет изменений в свойствах жидкости, это означает, что это постоянный поток. Однако свойство жидкости в точке также может изменяться со временем, что означает, что течение является нестационарным или переходным. Термин периодический поток относится к виду нестационарных течений, в которых поток колеблется вокруг устойчивого среднего.

5. Естественный и принудительный поток. В принудительном потоке жидкость вынуждена течь по поверхности с помощью внешних средств, таких как насос или вентилятор. В другом случае (естественный поток) разность плотностей является движущим фактором потока жидкости.

Например, более теплая жидкость поднимается в резервуаре из-за разницы плотности.

Рассмотрим поведение характеристики движения вязкой жидкости для основных видов потока.

Поток жидкости в канале может иметь три характеристики, обозначаемые как ламинарные, турбулентные и переходные.

Кривые, показанные на рис.11.1, представляют продольную компоненту скорости как функцию времени в некоторой точке в потоке вязкой жидкости.

108

11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости

Рис. 11.1. Зависимость скорости жидкости в точке от времени: 1 – турбулентная характеристика; 2 – переходная характеристика; 3 – ламинарная характеристика

Для ламинарного потока есть одна компонента скорости, а случайная компонента скорости, перпендикулярная оси, становится преобладающей для турбулентных течений. В ламинарном потоке иногда возникают помехи, которые быстро затухают.

11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости

Наблюдением за движением вязких жидкостей установлен факт, что у жидкостей возникает напряжение сдвига, когда они текут. Развивающиеся напряжения известны как вязкие напряжения. Однако большинство жидкостей текут довольно свободно. Например, чашка чая оказывает небольшое сопротивление перемешиванию, кроме инерции воды [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Можно подумать, что вязкие эффекты объясняют лишь незначительную поправку к описанию потока. Однако это не так. Несмотря на то, что многие жидкости ведут себя почти идеальным образом почти всегда и почти везде, влияние вязкости по-

прежнему имеет большое значение. Одна из основных причин это-

109

11. Уравнение движения вязкой жидкости

го заключается в том, что большинство потоков, с которыми мы сталкиваемся, касаются твердых тел, на поверхности которых скорость должна исчезать. Это приводит к образованию пограничных слоев, толщина которых контролируется силой вязких сил. Погра-

ничный слой может оказывать контролирующее влияние на объемный поток, что в последствие может привести к развитию турбулентности.

Наличие сдвиговых напряжений в текущей жидкости проявляется, когда мы наблюдаем поле скоростей вблизи жестких граничных поверхностей. Частицы жидкости замедляются в окрестности жесткой поверхности, и очень близко к поверхности относительная скорость практически равна нулю. Касательные напряжения присутствуют повсюду в потоке, но их влияние на поле скоростей обычно очень мало, за исключением пограничного слоя вблизи жесткой граничной поверхности. При анализе потока жидкости вокруг твердых тел обычно сначала моделируют жидкость как идеальную жидкость. Динамическая вязкость является температурно-

зависимым параметром жидкости. Поэтому мы должны дополнить уравнения гидродинамики таким образом, чтобы учесть вязкое напряжение.

Формальное развитие такого подхода подобно тому, что используется в теории упругости, в которой поле скорости заменяет поле смещения. Тензор градиента скорости в таком случае может быть разбит на тензорные части: скорость расширения, симметричную скорость тензора сдвига и антисимметричную скорость вращения.

Изучение потоков в геометриях, которые включают сложные препятствия, представляет интерес для различных отраслей техники. Особый случай, который находит применение в теплопередаче и экологическом проектировании, – это параллельный поток по легко проницаемой пористой среде.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]