Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие
.pdf
11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости
Ранее было показано, что уравнение Эйлера может быть записано в виде
|
|
|
|
|
(11.1) |
|
где |
тензор плотности потока импульса |
|||||
|
||||||
|
|
|
|
|
(11.2) |
|
где |
единичный тензор, |
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
|||
|
Поток импульса, определяемый этим выражением, представ- |
|||||
ляет собой чисто обратимый перенос импульса, связанный просто с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое.
Вязкость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.
Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к «идеальному» потоку импульса
|
дополнительный член |
определяющий необратимый |
«вязкий» перенос импульса в жидкости. |
||
|
Таким образом, плотность потока импульса в вязкой жидкости |
|
будем писать в виде |
|
|
|
|
(11.4) |
|
Тензор |
|
|
|
(11.5) |
называют тензором напряжений, а |
вязким тензором напряже- |
|
ний. |
определяет ту часть потока импульса, которая не связана с |
|
непосредственным переносом импульса вместе с массой передвигающейся жидкости.
Установим общий вид тензора . Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различ-
111
11. Уравнение движения вязкой жидкости
ные участки жидкости движутся с различной скоростью. Имеет место движение частей жидкости относительно друг друга. Поэтому должно зависеть от производных от скоростей по координатам.
Общим видом тензора( второго ранга) является
(11.6)
Величины и называют коэффициентами вязкости (причем называют второй вязкостью) или коэффициент объемной вязкости, а коэффициент сдвиговой вязкости. Оба они положитель-
ные
Теперь с учетом вязкого напряжения уравнение движения Эй-
( |
) |
|
|
{ |
( |
)} |
(11.7) |
|
лера запишется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это наиболее общий вид |
уравнений движения вязкой жидко- |
|||||||
( |
|
) |
|
|
|
|||
сти. Величины и вообще являются функциями температуры и давления. В большинстве случаев, однако, изменение коэффициентов вязкости вдоль жидкости незначительно и поэтому можно считать их постоянными.
Тогда[ уравнение] можно представить( в векторном) виде
(11.8)
Это уравнение Новье – Стокса. Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать несжимаемой. Тогда и последний член справа исчезает.
Рассматривая вязкую жидкость, будем фактически всегда считать ее несжимаемой и соответственно этому пользоваться уравнением движения в виде
112
11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости
(11.9)
Тензор напряжения в несжимаемой жидкости тоже принимает
простой вид |
( |
) |
|
|
(11.10) |
Как видим, в несжимаемой жидкости вязкость описывается всего одним коэффициентом. Поскольку очень часто жидкость можно считать несжимаемой, то обычно играет роль именно этот
коэффициент вязкости . Отношение |
|
называют кинематиче- |
|
ской вязкостью. Тогда о говорят как о динамической вязкости.
Граничные условия к уравнению движения вязкой жидкости
Между поверхностью твердого тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы молекулярного сцепления. Они приводят к тому, что прилипающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней.
Поэтому граничное условие к уравнению движения вязкой жидкости состоит из требования обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях:
(11.11)
Здесь требуется исчезновение как нормальной, так и тангенциальной компонент скорости. А граничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют обращения в нуль только
В общем случае движущейся поверхности должна быть равна скорости движения поверхности. Запишем выражение для силы, действующей на соприкасающуюся с жидкостью твердую поверхность.
Сила, действующая на некоторый элемент поверхности, – есть
поток импульса через этот элемент. Поток импульса через элемент поверхности есть
113
11. Уравнение движения вязкой жидкости
|
|
|
|
|
(11.12) |
Запишем |
в виде |
где |
единичный вектор |
||
нормали к поверхности. |
|
|
|
|
|
Учитывая, что для твердой поверхности |
|
|
находим силу, |
||
|
|||||
действующую на единицу площади поверхности: |
|
||||
|
|
|
|
|
(11.13) |
Первый член есть обычное давление жидкости, а второй представляет собой действующую на поверхность силу трения, обусловленную вязкостью ( единичный вектор нормали, внешний по отношению к поверхности жидкости, т.е. внутренний по отношению к твердой поверхностью).
Если имеем границу двух несмешивающихся жидкостей (или жидкости и газа), то условия на этой поверхности гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны, а силы, с которыми
они действуют друг на друга, должны быть одинаковы по величине и противоположны по направлению.
Второе из этих условий записывается в виде
|
|
|
(11.14) |
|
где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям. |
||||
Векторы нормали |
|
и |
|
имеют взаимно противоположные |
|
|
|||
направления:
(11.15)
так, что можно написать
(11.16)
на свободной поверхности жидкости должно выполняться условие
(11.17)
Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходящей в конце концов в тепло. Вычисления диссипируемой энергии просто привести для несжимаемой жидкости.
114
11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости
Пример 1. Задан тензор напряжений [5, 8–11, 13–15] |
|
( |
) |
Найти его главные напряжения.
Решение. Запишем характеристическое уравнение тензора |
||
| |
| | |
| |
Раскроем определитель уравнения (1)
Из уравнения (2) запишем
Пример 2. В точке P с координатами (0,0,0) задан тензор
напряжений [5, 8–11, 13–15]: ( |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
Найти вектор напряжений |
на поверхности, проходящей че- |
|||||||||||||
рез точку P. Поверхность параллельна плоскости ABC. Плоскость |
||||||||||||||
ABC описана уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Запишем уравнение нормали к поверхности |
||||||||||||||
Запишем направляющие косинусы: |
||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим |
направляющие косинусы в уравнение (1) |
|||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
115
11. Уравнение движения вязкой жидкости |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем компоненты вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
напряжений |
|
||||||||||||||||||||
Запишем уравнение (3) в матричной форме |
|
||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
) ( |
|
|
|
) ( |
|
|
|
|
|
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из уравнения (4) запишем вектор напряжений |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 3. Состояние упругого тела описано тензором напря- |
|||||||||||||||||||||
жений [5, 8–11, 13–15]: |
( |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказать, что если условие равновесия выполняется, то объемные силы равны нулю.
Решение. Запишем уравнение, описывающее условие равнове-
сия при отсутствии объёмных сил
Подставим компоненты тензора в уравнение (1)
Из уравнений (2) – (4) видно, что условие равновесия выполняется. Также было учтено
116
11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости
Пример 4. Тензором напряжений имеет вид [5, 8–11, 13–15]: |
|
( |
) |
Среда находится в равновесии. Как будут выглядеть компоненты объёмной силы?
Решение. Запишем уравнения для компонент объемной силы:
Подставим компоненты тензора в уравнение (1) |
||||
( |
|
|
|
) ) |
( |
|
|||
где учтено, что |
( |
) |
||
Задачи
1. Задан тензор напряжений:
( )
Рассчитать его инварианты , , и главные напряжения.
Доказать, что в главных осях они совпадают. 2. Задан тензор напряжений:
117
11. Уравнение движения вязкой жидкости
( )
где a, b, c – константы; – значение напряжения.
Также задана октаэдрическая поверхность с единичной норма-
лью
√
Найти константы при условии, что вектор напряжения на этой поверхности равен нулю.
3. Задан тензор, описывающий состояние упругого тела в рав-
новесии: |
( |
) |
|
|
|
||
Найти компоненты объемных сил. |
|
|
|
4. Заданы тензоры напряженных состояний: |
) |
||
( |
) |
( |
|
Найти максимальное касательное напряжение для них. 5. Задан тензор поля напряжений. Среда сплошная.
Найти |
компоненты объемных сил. |
) |
( |
6. Заданы тензор напряженного состояния среды: |
|
( |
) |
118
11.2. Вывод уравнения движения вязкой жидкости
точка с координатой |
|
|
|
|
√ |
и цилиндрическая по- |
||
верхность |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Найти вектор напряжения в точке на плоскости, касательной в |
||||||||
этой точке к поверхности. |
|
|
|
|
|
|
||
7. Задан тензор напряжений: |
) |
|
||||||
|
|
|
( |
|
|
|||
Вектор напряжений |
на поверхности в этой точке равен нулю. |
|||||||
Найти величину |
и единичную нормаль к этой поверхности. |
|||||||
8. Задан тензор напряжений: |
) |
|
||||||
и поверхность с нормалью |
( |
|
|
|||||
Найти вектор напряжения |
в точке на поверхности, его нор- |
|||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
мальную |
и касательную |
компоненты, его модуль |
и угол |
|||||
между ним и нормалью к поверхности. |
|
|
||||||
9. Задан тензор напряжений в точке |
) |
|
||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
и поверхность с нормалью
Найти вектор напряжения в этой точке на поверхности.
10. Задан тензор напряжений в точке
( )
119
11. Уравнение движения вязкой жидкости
Найти максимальное касательное напряжение в точке. Доказать, что касательное напряжение находится в плоскости, разделяет угол между поверхностями с максимальным и минимальным нор-
мальным напряжением на два равных угла. |
|
|
|
11. Заданы тензоры напряжений: |
( |
) |
|
( |
) |
||
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
Найти главные напряжения. |
|
|
|
|
|||||
12. Задан тензор напряжений в точке |
|
||||||||
и плоскость ABC |
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
на поверхности, через точку и па- |
|||||||
Найти вектор |
напряжений |
||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||
раллельной плоскости ABC. |
|
|
|
|
|
|
|||
13. Задан тензор, описывающий напряженное состояние упру- |
|||||||||
гого тела: |
( |
|
|
|
|
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
и точка с координатами (4; – 4; 7). |
|
||||||||
Задана плоскость |
|
|
|
|
|
и сфера |
|||
Найти вектор напряжения |
в точке на сфере и на плоскости. |
||||||||
120