Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

4.1. Решение уравнения Эйлера

Таким образом, уравнение Эйлера имеет очень простую физическую интерпретацию: dv/dt представляет собой конвективную производную скорости, т.е. производную, движущуюся с жидкостью, что можно трактовать как ускорение «ощущаемое» жидкостью. Это ускорение обусловлено двумя причинами: силой тяжести, g и градиентом давления P.

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали процессов диссипации энергии в текущей жидкости из-за внут-

реннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками.

Поэтому все, о чем мы говорим, относится к такому движению

жидкости и газа, при котором несущественны процессы теплопроводности и вязкости. О таком движении говорят как о движении идеальной жидкости. Для идеальной жидкости необходимо также учитывать тот факт, что энтропия каждого элемента жидкости сохраняется, потому что нет механизма диссипации.

Отсутствие теплообмена означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении участка в про-

где полная производная по времени означает (как и в уравнении Эйлера) изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости.

Эту производную можно записать в виде

(4.12)

41

4. Уравнения движения Эйлера

Это общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости.

С помощью уравнения непрерывности его можно написать в

Обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если в начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она остается везде одинаковой и неизменной во времени при движении жидкости. В этих случаях можно писать уравнение адиабатичности в виде

(4.14)

Такое движение называют изоэнтропическим. Изоэнтропичностью движения можно воспользоваться, чтобы

представить уравнение движения в ином виде.

Воспользуемся известным термодинамическим соотношением

(4.15)

где – тепловая функция единицы массы жидкости;

(4.16)

Уравнение Эйлера, следовательно( ) , можно записать так:

(4.17)

42

4.2.Примеры и задачи для решения

Куравнениям движения надо добавить граничные условия. Они должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность.

Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в 0 нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости:

(4.19)

На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условия равенства давлений и условия равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей, причем каждая из скоростей равна скорости перемещения самой поверхности раздела.

4.2. Примеры и задачи для решения

Пример 1. Жидкость вращается вокруг оси z. Вращение рав-

номерное с угловой скоростью ω. Характер вращения как у твердого тела. Внешние силы отсутствуют. Найти градиент давления

[5, 8–11, 13–15].

Решение. Запишем стационарное уравнение Эйлера

Для цилиндрической системы координат левую часть уравнения Эйлера можно представить в виде

Учтем, что вращение происходит вокруг оси z:

43

4. Уравнения движения Эйлера

Пример 2. Цилиндрический сосуд вращается с угловой скоростью ω (рис. 4.1). Радиус основания – R, высота – h. Сосуд на ¾

заполнен жидкостью. Какой должна быть угловая скорость ω, чтобы жидкость выливалась из сосуда [5, 8–11, 13–15]?

Рис. 4.1. Цилиндрический сосуд

Решение. Запишем уравнения Эйлера:

(1)

44

4.2. Примеры и задачи для решения

Из уравнения (2) получим

(3)

Подставим уравнения (3) в уравнения (1)

Запишем уравнение полного дифференциала давления с учетом выражения (1):

Учтем

(6)

Запишем уравнение (5) с учетом уравнения (6)

[ ]

Проинтегрируем уравнение (7)

Из уравнения (8) выразим уравнения поверхностей:

Из уравнений (9) видно, что изобары (кривые постоянного давления) являются параболоидами вращения.

Вычислим Для этого найдем объем под свободной поверхностью

45

4.Уравнения движения Эйлера

∫∫ ( )

Проинтегрируем уравнение (10):

Запишем уравнение свободной границы

( )

Запишем условие, при котором жидкость начнет выливаться из сосуда

(13)

Тогда минимальная угловая скорость√ равна

Пример 3. Жидкость находится в равновесии в тележке, которая движется без скольжения по наклонной плоскости с углом Внешнее давление – Найти уравнения свободной поверхности жидкости и зависимости давления от глубины жидкости [5, 8–11,

13–15].

Решение. Жидкость покоится, система координат движется равноускоренно. Запишем уравнения Эйлера:

где – соответствует инерциальной составляющей проекции силы на ось .

Запишем уравнение изменения давления

46

4.2. Примеры и задачи для решения

где C – постоянная интегрирования. Видно, что давление меняется только вдоль оси .

Постоянная интегрирования зависит от граничных условий. Запишем эти условия:

при где расстояние между дном тележки и поверхностью жидкости.

В итоге запишем зависимость давления от глубины жидкости

Свободная поверхность жидкости в тележке параллельна поверхности наклонной плоскости. Тогда запишем уравнение свободной поверхности жидкости

Задачи

1.Жесткая сфера расширяется в неограниченной жидкости. Закон расширения: . Давление в невозмущенной жидкости

Найти давление на поверхности сферы.

2.Однородное тело находится на поверхности жидкости. Тело

ношение k глубины погружения тела с обращенной вверх верши-

ной к глубине погружения тела с обращенной вниз вершиной.

3. Цилиндрический сосуд вращается вместе вокруг вертикаль-

ной оси. В сосуд налита жидкость с плотностью . Дно сосуда плоское. Угловая скорость вращения равна . Жидкость занимает объем V. Расстояние по оси между дном сосуда и свободной поверхностью равно h. Давление атмосферы равно . Как изменяется

давление на дне сосуда в зависимости от расстояния до оси вращения r? Найти полную силу, действующую на дно.

47

4.Уравнения движения Эйлера

4.Задано уравнение Громеки[ – Лемба] :

Необходимо преобразовать его в уравнение Гельмгольца:

5.Имеется несжимаемая жидкость. В нее помещен шар переменного радиуса. Закон изменения радиуса Найти закон изменения давления жидкости на поверхности шара.

6.Все пространство заполнено жидкостью. Плотность жидко-

сти равна . Из пространства вырезали шар с радиусом . На бес-

конечности давление постоянно и равно . Внутри шара давление равно нулю. Образовавшийся объем начинает заполняться жидкостью. Начальная скорость заполнения равна нулю. Через какое время шар полностью заполнится жидкостью?

8.Доказать закон Архимеда.

9.Задано поле скоростей стационарного потока несжимаемой идеальной жидкости (цилиндрическая система координат):

Найти давление в потоке.

Контрольные вопросы

1.Теорема Остроградского – Гаусса. Общий вид.

2.Изоэнтропическое движение.

3.Адиабатичность движения идеальной жидкости.

4.Уравнение движения Эйлера. Вывод. Формы записи.

5.Граничные условия.

48