Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие
.pdf3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
3.1.Уравнение непрерывности (неразрывности)
Вмеханике сплошной среды понятие жидкости определяется как материал, который непрерывно деформируется при воздействии анизотропных состояний напряжения [1–4, 6, 7, 12, 16–20].
Анизотропное состояние напряжения в частице подразумевает наличие поверхностей, проходящих через частицу, подверженных сдвиговому напряжению. Поэтому жидкость будет постоянно деформироваться при воздействии сдвиговых напряжений. Жидкость может быть в состоянии покоя без дальнейшей деформации, только когда состояние деформации изотропно.
Всоответствие с этим определением, жидкость является частным случаем сплошной среды, которая характеризуется своим специфическим набором определяющих уравнений, поэтому общая задача механики жидкости определяется уравнениями гидродинамики идеальной жидкости.
Из-за больших смещений и хаотических движений частиц
жидкости, как правило, невозможно следить за движением отдельных частиц. Из-за этого физические свойства частиц наблюдаются
иописываются в фиксированных положениях в пространстве. Поэтому для жидкости мы будем использовать пространственное описание и координаты Эйлера.
Название уравнения непрерывности (неразрывности) связано с тем, что уравнение справедливо только в случае, если в среде не
образуется разрывов сплошности (например, как при кавитации). Уравнение непрерывности является математической формули-
ровкой закона сохранения массы вещества (рис. 3.1).
Рассмотрим некоторый объем пространства |
Он ограничен |
поверхностью проницаемой для жидкости. |
|
|
31 |
3. Общие уравнения гидродинамики идеальной жидкости
V |
V |
N |
|
|
f |
|
|
|
V |
|
|
|
Рис. 3.1. Закон сохранения массы |
|
|
Элемент объема |
содержит массу жидкости |
где |
||
– плотность жидкости. |
|
|
||
|
∫ |
|
|
равна инте- |
Масса жидкости, ограниченная поверхностью |
||||
гралу |
|
. Интегрирование производится по объему |
||
Изменение массы жидкости∫ в единицу∫ времени выражается:
(3.1)
В соответствии с законом неуничтожаемости массы, изменение массы в данном объеме должно компенсироваться массой жидкости, проникающей через поверхность.
Обозначим элемент поверхности , единичный вектор нормали к этому элементу, скорость потока жидкости через элемент
поверхности |
|
Количество жидкости, прошедшей через элемент |
|||
площади |
в единицу времени в направлении нормали |
опреде- |
|||
ляется формулой |
|
|
|
||
которая является |
математической формулировкой сохранения мас- |
||||
( |
) |
|
|||
сы вещества. |
Пусть некоторый объем пространства |
ограничен |
|||
поверхностью |
|
проницаемой для жидкости. Элемент объема |
|||
32
3.1. Уравнение непрерывности (неразрывности)
содержит массу жидкости |
|
|
. Масса жидкости, ограничен- |
||
ная поверхностью равна интегралу |
|
|
|
||
|
|
∫ |
. |
|
(3.2) |
|
|
∫ |
|
|
|
Изменение массы |
ж |
идкости в единицу времени |
|
||
∫ |
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
(3.3) |
Согласно закону неуничтожаемости массы, изменение массы в данном объеме должно компенсироваться массой жидкости, проникающей через поверхность, что иллюстрирует элемент объема
показанный на рис. 3.2
V
Рис. 3.2. Элемент объема |
|
|
Обозначим – элемент поверхности: |
|
|
|
|
(3.4) |
Полный поток жидкости через поверхность |
, охватывающую |
|
объем определяется интегралом по поверхности: |
||
|
|
(3.5) |
Сумма изменения массы в единицу времени (3.1) и полного потока массы через поверхность, ограничивающую данный объем (3.5) по закону неуничтожаемости∫ массы должна быть равна нулю:
(3.6)
33
3. Общие уравнения гидродинамики идеальной жидкости
Формула (3.6) выражает закон сохранения массы в интегральной форме. Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему, используя теорему Остроградского∫ ( -)Гаусса:
(3.7)
Таким образом, выражение∫ ( (3.6) запишется) :
(3.8)
Поскольку это равенство должно иметь место для любого объ-
ема, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, |
||||||
т.е.: |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
Это уравнение непрерывности. Правая часть равна нулю, если |
||||||
отсутствует источник массы. |
|
|
|
|
||
Уравнение непрерывности можно записать в виде |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
Раскрыв выражение |
это можно написать в виде |
(3.11) |
||||
Вектор |
|
называют |
плотностю потока жидкости. Его |
|||
|
|
|
|
|
||
направление |
совпадает с направлением движения жидкости, а аб- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
солютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.
Уравнение непрерывности показывает, что изменение массы в единицу времени связано с изменением массы в пространстве. Это уравнение скалярно и нелинейно.
– линейная величина,
34
3.2.Примеры и задачи для решения
3.2.Примеры и задачи для решения
Пример 1. Поток жидкости движется стационарно. Компоненты скорости течения жидкости заданы в декартовой системе координат:
, |
, |
. |
Вывести уравнения траекторий и линий тока [5, 8–11, 13–15].
Решение. Запишем общий вид уравнения для линий тока
Подставим в уравнение (1) компоненты скорости из условия и приведем его к виду
Проинтегрируем левую и правую часть уравнения (2)
где С – постоянная интегрирования.
Можно заметить, что уравнение (3) является уравнением окружности ( ). Приведем его к этому виду
Из уравнения (4) видно, что линии тока описывают окружно-
сти.
Согласно условию задачи, движение жидкости стационарно, т.е. компоненты скорости не зависят от времени. Поэтому траектории также будут представлять собой окружности. Запишем компоненты скорости:
35
3. Общие уравнения гидродинамики идеальной жидкости
Продифференцируем по времени уравнения (5) и выразим первые производные через соответствующие компоненты скорости:
Решаем уравнения (6):
Уравнения (7) являются параметрическими уравнениями окружности. Возведем в квадрат и сложим уравнения (7):
Из уравнения (8) видно, что траекториями движения частиц жидкости являются окружности с радиусом А.
Пример 2. Поток несжимаемой ( ) жидкости движет-
ся стационарно. Компоненты скорости течения жидкости заданы в
цилиндрической |
системе |
координат: |
|
, |
|
,. Доказать, что течение удовлетворяет
уравнению неразрывности [5, 8–11, 13–15].
Решение. Запишем уравнение неразрывности
Подставим в уравнение (1) компоненты скорости из условия:
Подставим уравнения (2) – (4) в уравнение (1)
( )
36
3.2. Примеры и задачи для решения
|
Задачи |
|
|
1. Заданы |
компоненты поля скоростей: |
, |
, |
, |
. Вывести уравнения траекторий и ли- |
||
ний тока.
2. Заданы компоненты поля скоростей:
Вывести уравнения траекторий. |
), |
|
3. Задано поле скоростей: |
( |
|
где и – константы. |
||
Вывести уравнения траекторий и доказать, что линии тока являются гиперболами.
4. Заданы компоненты поля скоростей:
.
Доказать, что линии тока являются окружностями.
5. Заданы компоненты поля скоростей несжимаемой жидкости:
Доказать, что поле удовлетворяет уравнению неразрывности. 6. Заданы компоненты поля скоростей:
Вывести уравнения траекторий и линий тока. 7. Задано поле скоростей:
где a, b и c – константы. Доказать, что уравнения траекторий явля-
ются окружностями.
37
3.Общие уравнения гидродинамики идеальной жидкости
8.Заданы компоненты поля скоростей:
Вывести уравнения траекторий и линий тока. |
( |
) |
|
( |
) |
||
9. Заданы компоненты поля скоростей: |
|
|
|
Доказать, что поле скоростей описывает винтовое движение жидкости.
10. Задано поле скоростей:
где a, b и c – константы.
Доказать, что траектории частиц плоские.
Контрольные вопросы
1.Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
2.Что подразумевает анизотропное состояние напряжения в частице?
3.Понятие жидкости в механике сплошной среды.
4.Закон сохранения массы вещества. Общий вид.
5.Закон неуничтожаемости массы.
6.Чем должно компенсироваться изменение массы в объеме?
7.Математической формулировкой какого закона является уравнение непрерывности?
8.Для каких условий справедливо уравнение непрерывности?
38
4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЙЛЕРА
4.1. Решение уравнения Эйлера
Уравнение Эйлера представляет собой закон Ньютона для сплошной среды. Это уравнение движения частиц под действием
сил упругости среды [1–4, 6, 7, 12, 16–20]. |
|
Выделим в жидкости некоторый объем |
ограниченный по- |
верхностью Плотность частиц среды – постоянна (так как частица среды мала).
Масса частицы будет .
Считаем, что частица движется как единое тело. В этом случае ее ускорение равно .
Силы, действующие на частицу со стороны окружающей среды, – это нормальные силы давления. Предполагаем, что касатель-
ные силы отсутствуют, т.е. среда не обладает вязкостью. Сила дав-
ления |
на элемент поверхности |
|
с единичным вектором нор- |
|||
мали |
.равна |
|
|
|
|
|
ность |
|
где |
– внешнее давление на поверх- |
|||
Результирующая сила давления составит: |
||||||
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
На основании |
теоремы Остроградского – Гаусса этот интеграл |
|||||
|
|
|
|
|||
преобразуется в объемный: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
Величина, |
стоящая под знаком интеграла представляет собой |
|||||
|
|
|
∫ |
|
||
силу, действующую на жидкость, заключенную в элементе объема
.
Таким образом, в применении к частице среды, находящейся под действием только сил давления, второй закон Ньютона имеет
вид: |
|
∫ |
39 |
|
|
||
|
|
(4.3) |
4. Уравнения движения Эйлера
где – градиент давления. Но при непрерывности всех характери-
стик среды градиент давления на протяжении малой частицы можно считать постоянным. Поэтому∫
(4.4)
Тогда выражение (4.3) запишется: |
||
|
|
(4.5) |
Сокращая на получаем уравнение Эйлера: |
||
|
|
(4.6) |
Это нелинейное, векторное уравнение первого порядка относи- |
||
тельно характеристик среды |
|
. |
Так как скорость частиц |
зависит и от времени и от координат, |
|
|
|
|
то ее производную по времени следует брать с учетом того, что координаты частиц сами зависят от времени.
Ускорение выражается через частные производные, скорости
по времени и по координатам следующим образом: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
Используя (1.2.9) уравнение Эйлера можно |
записать |
в виде: |
|||||||||||
|
( |
) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
Это уравнение |
установлено Эйлером в 1775 г.: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если жидкость |
находится в поле тяжести, то на каждую еди- |
||||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ницу объема действует еще сила |
|
, где – есть ускорение силы |
|||||||||||
тяжести. |
|
|
|
|
Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения, |
||
так что оно приобретает вид |
( ) |
|
|
40 |
|
(4.10) |
|