Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие
.pdf
6.3. Поток импульса
Воспользуемся уравнением непрерывности, записав его в виде:
(6.19)
и уравнением Эйлера, записав его в виде
(6.20)
Тогда получим:
(6.21)
Первый член справа напишем в виде
|
|
|
|
|
|
(6.22) |
Окончательно находим: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.23) |
где тензор |
определяется как |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(6.24) |
Для выяснения смысла тензора |
∫ |
проинтегрируем уравне- |
||||
|
∫ |
|
|
|
||
ние (6.23) по некоторому объему: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
(6.25) |
Стоящий в правой стороне равенства интеграл преобразуем в интеграл по поверхности. Преобразование интеграла по поверхности в интеграл по объему осуществляется заменой элемента по-
верхности |
оператором |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.26) |
Слева стоит |
изменение в единицу времени i- |
||||
∫ |
|
|
й компоненты им- |
||
пульса в рассматриваемом объеме.
61
6. Уравнение Бернулли. Поток импульса
Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импульса, вытекающего в единицу времени через
ограничивающую объем поверхность. |
|
|
Следовательно, |
есть i-я компонента импульса, проте- |
|
кающая через элемент |
поверхности. |
|
Если написать |
в виде |
( – абсолютная величина |
элемента поверхности, |
единичный вектор внешней нормали к |
|
нему) то найдем, что |
есть поток i-й компоненты импульса, отне- |
|
сенный к единице площади поверхности. |
||
Так как |
, в векторной форме его можно |
|
записать в виде: |
|
|
|
|
(6.27) |
Таким образом, |
есть i-я компонента количества импульса, |
|
протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси .
Тензор называют тензором плотности потока импульса. Поток энергии, которая является скалярной величиной, опре-
деляется вектором.
Поток импульса, который сам есть вектор, определяется тен- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зором второго ранга. |
|
|
|
|
|
||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор |
|
|
|
определяет поток вектора импульса в |
|||||
направлении |
|
, т.е. |
через поверхность, перпендикулярную к . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частности, выбирая направление |
единичного |
вектора |
|
|||||
вдоль |
направления скорости жидкости, |
мы найдем, |
что в |
этом |
|||||
|
|
||||||||
направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем плотность ее потока равна
(6.28)
В направлении же, перпендикулярном скорости, переносится
лишь поперечная (по отношению к ) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто
62
6.4.Примеры и задачи для решения
6.4.Примеры и задачи для решения
Пример 1. По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. На трубе установлены две тонкие вертикальные трубки. Сечение трубы в месте установки первой трубки равно , в месте установки второй трубки – . Разность уровней воды в тонких
трубках равна |
. Какой объем воды |
|
|
протекает через сечение |
|||||||||||
трубы [5, 8–11, 13–15]? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Запишем уравнение неразрывности |
|
||||||||||||||
где |
скорость воды в сечении |
|
|
– скорость воды в сече- |
|||||||||||
нии . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнение Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
давление воды в сечении |
|
|
– давление воды в сече- |
|||||||||||
нии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем разность давлений в тонких трубках |
|
||||||||||||||
Из уравнения (1) выразим скорость воды в сечении |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим уравнения (3) и (4) в уравнение (2) |
|
||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Водохранилище наполнили водой на высоту |
. В |
||||||||||||||
плотине |
водохранилища сделали отверстие на расстоянии |
от |
|||||||||||||
уровня воды. Из отверстия бьет струя воды (рис. 6.1). На каком
63
6. Уравнение Бернулли. Поток импульса
расстоянии от плотины падает струя? На какой глубине необходимо сделать отверстия, чтобы расстояние было максимально
[5, 8–11, 13–15]?
Рис. 6.1. Плотина водохранилища с отверстием
Решение. Запишем уравнение Бернулли:
где – скорость изменения уровня воды в водохранилище; – скорость вытекания воды из отверстия; – атмосферное давление.
Примем уровень жидкости в водохранилище постоянным, т.е. |
|||
Подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выразим скорость |
|||
вытекания воды из отверстия |
√ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (3) видно, что вода в горизонтальном направлении движется с постоянной скоростью. В вертикальном направлении вода движется равноускорено с ускорением . Тогда можно записать
Из уравнений (4) можно получить√
64
6.4. Примеры и задачи для решения
Максимальное значение l найдем из условия
В итоге видно, что l максимально если |
|
и равно |
|
Пример 3. Цилиндрический сосуд заполнен жидкостью. Высота сосуда равна h. Площадь основания сосуда равна S. В дне сосуда сделали отверстие. Площадь отверстия равна s. У жидкости
вязкость отсутствует. Через какое время вся жидкость вытечет из сосуда [5, 8–11, 13–15]?
Решение. Запишем уравнения неразрывности
где |
скорость изменения уровня жидкости в сосуде; – |
скорость вытекания жидкости из отверстия. Запишем уравнения Бернулли
где – атмосферное давление; x – текущее значение уровня жид-
кости.
Из уравнения (1) выразим скорость вытекания жидкости из от-
верстия |
( ) |
|
Подставим уравнение (3) в уравнение (2)
√( )
Проинтегрируем уравнение (4) |
|
∫ √ |
√( ) |
65
6. Уравнение Бернулли. Поток импульса
Запишем результат интегрирования уравнения (5) |
|||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
Пример |
4. |
[( |
|
) |
] |
|
|
|
|||||||
|
Широкий сосуд заполнен идеальной жидкостью. |
||||||
Плотность жидкости равна . Высота жидкости в сосуде равна h.
На дне сосуда проделано отверстие радиуса . Над отверстием
подвешен полнотелый цилиндр радиуса |
(рис. 6.2). Выполняется |
|
соотношение |
. Оси цилиндра и сосуда совпадают. Расстоя- |
|
ние между цилиндром и дном сосуда |
очень мало. Определить |
|
статическое давление жидкости в зазоре между цилиндром и дном как функцию расстояния r от оси [5, 8–11, 13–15].
Рис. 6.2. Полнотелый цилиндр над отверстием
Решение. Так как расстояние между цилиндром и дном сосуда очень мало, то скорость жидкости в сосуде
Найдем скорость жидкости на выходе из зазора |
при |
. |
Запишем уравнение Бернулли: |
|
|
Из уравнения (2) выразим скорость√
66
6.4. Примеры и задачи для решения
Определим распределение давления в зазоре. Запишем уравнение Бернулли:
Из уравнения (4) выразим скорость |
|||||
Запишем уравнение неразрывности: |
|||||
|
|
|
√ |
в зазоре |
|
Из уравнения (6) выразим скорость |
|||||
|
|
|
|
|
|
Подставим уравнение (7) в уравнение (5))
( :
Задачи
1. Открытый конец изогнутой трубки погрузили в поток жидкости (рис. 6.3). Закрытый конец трубки возвышается над поверхностью потока на высоту . В закрытом конце проделано небольшое отверстие. Скорость потока жидкости равна v = 2,5 м/с. На какую высоту h будет бить фонтан жидкости из отверстия?
2. Высота уровня в верхнем сосуде песочных часов является показателем времени. Этот уровень изменяется равномерно с по-
стоянной скоростью |
Какую форму сосуда используют для во- |
дяных часов? |
|
3. По плоской трубе постоянного сечения течет поток идеальной жидкости. Поток стационарный. Труба лежит горизонтально, один ее конец загнут вверх (рис. 6.4). Одинаковы ли давления и скорости жидкости в точках 1 и 2? Какое уравнение описывает ли-
нии тока?
67
6. Уравнение Бернулли. Поток импульса
Рис. 6.3. Фонтан жидкости
Рис. 6.4. Поток идеальной жидкости
4.Доказать что для стационарного потока идеальной жидкости уравнения Эйлера и Бернулли совпадают:
5.Воронку конической формы до краев наполнили водой. Вы-
сота воронки равна h. Нижний радиус равен . Верхний радиус
равен . Выполняется соотношение |
. За какое время уровень |
воды в воронке уменьшится в два раза? |
|
68
6.4.Примеры и задачи для решения
6.Горизонтально расположенный цилиндр заполнен водой. С одной стороны цилиндра на воду давит поршень. С другой стороны цилиндра вода вытекает из небольшого отверстия (рис. 6.5). Плотность воды равна . Объем воды в цилиндре равен V. Площадь сечения отверстия равна s. Площадь основания цилиндра равна S.
Выполняется соотношение Трение и вязкость отсутствуют.
Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы выдавить всю воду из цилиндра за время t?
Рис. 6.5. Горизонтально расположенный цилиндр с поршнем
7. Сосуд цилиндрической формы заполнен жидкостью. В дне
цилиндра есть отверстие, из которого вытекает жидкость. Отношение площади сечения цилиндра к площади сечения отверстия равно n = 100. С каким ускорением изменяется уровень жидкости в сосу-
де?
8. Из горизонтальной трубы радиуса вертикально вниз течет
идеальная жидкость. Скорость потока жидкости на выходе из трубы равна . Какой будет радиус у струи жидкости на расстоянии h
ниже трубы?
9.Цилиндрический сосуд заполнен водой. Вязкость отсутствует. Высота сосуда равна h. Площадь основания сосуда равна S. В дне сосуда сделали отверстие. Площадь отверстия равна s. Через
какое время уровень воды уменьшится в два раза?
10.Коробка прямоугольной формы плавает на поверхности жидкости. Высота коробки равна H. Площадью основания равна S. Коробка погружена в воду на глубину h. В центре основания сде-
69
6. Уравнение Бернулли. Поток импульса
лали небольшое отверстие с площадью сечения s. Через сколько
времени утонет коробка?
11.Лежащий горизонтально цилиндрический резервуар заполнен водой. На воду действует атмосферное давление. Через боковое отверстие из резервуара вытекает жидкость. Радиус резервуара равен r. Высота резервуара равна l. Площадь сечения отверстия равна s. Площадь сечения воды в резервуаре равна S. Выполняется
соотношение . За какое время вся вода вытечет из резервуара?
12.Широкий сосуд заполнен керосином и водой. Толщина
слоя воды равна 30 см, толщина слоя керосина равна 20 см. Плотность воды , плотность керосина . В дне сосуда есть отверстие. Вязкость отсутствует. С какой скоростью вытекает вода?
13. Цилиндрический сосуд погрузили в идеальную жидкость.
Верхний конец открыт и находится вровень с уровнем жидкости. Высота сосуда равна h. Площадь сечения сосуда равна S. Нижний
конец сосуда закрыт и имеет небольшое отверстие. Площадь сечения отверстия равна s. Выполняется соотношение За какое
время сосуд заполнится полностью?
14. Цилиндрический сосуд наполнили жидкостью. Вязкость
отсутствует. В дне сосуда сделали отверстие. Высота сосуда равна h. Площадь сечения основания сосуда равна S. Площадь сечения отверстия равна s. Выполняется соотношение За какое время
вся жидкость вытечет из сосуда?
Контрольные вопросы
1.Стационарное движение жидкости.
2.Уравнение Бернулли.
3.Понятие линии тока.
4.Поток энергии. Плотность потока энергии.
5.Поток импульса.
70