Механика сплошных сред. Жидкости и газы. Учебное пособие

7. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение

точке жидкости. Важно различать круговое движение, т.е. движение частицы жидкости по круговой орбите и вращение элемента. Завихренность определяется как локальное вращение или вращение элемента жидкости вокруг оси, проходящей через элемент.

Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем определять линию циркуляции по аналогии с линией течения, как линию в жидкости, в которой в каждой точке линии вектор циркуляции касается линии, т.е. линия течения в каждой точке параллельна вектору циркуляции.

При решении этой задачи необходимо определить, что происходит при этом с циркуляцией скорости вдоль контура. Такая постановка задачи может быть сведена к вычислению производной по

водной по времени. Это связано с тем, что в процессе решения необходимо найти циркуляцию вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в пространстве.

Для удобства временно обозначим дифференцирование по ко-

иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур

72

7.1. Циркуляция и уравнения движения

(т.е. его конфигурация). Важно различать круговое движение, т.е. движение частицы жидкости по круговой орбите и вращение элемента. Поэтому, внося знак дифференцирования по времени под

(7.4)

Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из интегралов исчезает и остается

, в поле тяжести результат сохраняется, так как

Циркуляция векторного поля вокруг замкнутой кривой в жидкости определяется как:

(7.9)

73

7.Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение

Видеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остается неизменной со временем. Это называют теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости.

Он получен путем использования уравнения Эйлера и поэтому связан с предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтропического движения этот закон не имеет места.

Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому

зовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

Циркуляция включает в себя компонент, касательный к кривой, а результирующая циркуляция называется просто циркуляцией.

Из закона сохранения циркуляции скорости можно вывести важное следствие.

Считаем, что движение жидкости стационарное и рассмотрим

линию тока, полагая, что в некоторой ее точке . Проведем бесконечно малый контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки. С течением времени он будет передвигаться вместе с жидкостью, все время охватывая собой ту же самую линию тока.

Из постоянства произведения следует, что

будет равен нулю вдоль всей линии тока.

Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завихрен-

ность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой линии.

74

7.2. Задача об обтекании тела

На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следующий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо тела по-

током жидкости. На бесконечности натекающий поток однороден.

, называется потенциальным или безвихревым. При вихревом движении ротор скорости отличен от нуля.

Таким образом, мы пришли бы к результату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным.

7.2. Задача об обтекании тела

Как видно из теоремы Стокса, связь между циркуляцией и интегралом от площади завихренности справедлива только в том случае, если область, окруженная контуром, просто соединена. То есть область должна быть такой, чтобы мы могли сжимать контур до точки, не покидая области. Односвязные области ограничены контурами, которые называются приводимыми. Например, область с отверстием (например, слив воды из ванны) или остров в океане не просто связаны, и контур не сводится [1–4, 6, 7, 12, 16–20].

Конечно, если контур вокруг острова можно сжать до некоторой точки, а скорость останется конечной, то вклад циркуляции вокруг отверстия исчезнет. При решении многих проблем мы часто сталкиваемся с «дырами» в нашей области либо из-за наличия островов, либо из-за наличия областей, где динамика требует прибли-

женных уравнений, отличных от тех, которые мы могли бы использовать, чтобы сделать эти области недоступными в рамках выбранной нами динамической структуры. В таком случае мы могли по-

75

7. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение

пробовать заменить в целом более сложную динамику движения некоторым аргументом о результирующей циркуляции.

Эти соображения становятся важными из-за центральной ди-

намической роли циркуляции.

Вихревую линию можно определить по аналогии с линией течения как линию в жидкости, в которой в каждой точке линии вектор завихренности касается линии, т.е. линия вихря в каждой точке параллельна вектору завихренности. Важно иметь в виду различие между завихренностью и кривизной линий тока.

На рис. 7.1 показано твердое тело в равномерном потоке. Вдали вверх по течению от тела поле скоростей постоянно, независимо от места и времени. Эта ситуация возникает, когда тело движется с постоянной скоростью через жидкость в состоянии покоя и когда в теле выбирается опорная точка для движения. Помимо тонкой области вблизи поверхности тела, мы можем пренебречь вязкостью жидкости и предположить, что она не вращается. В тонкой области вблизи поверхности тела должна учитываться вязкость. Эта область называется пограничным слоем.

Рис. 7.1. Вихревые линии

Вниз по течению твердого тела в текущей жидкости создается след, в котором поток очень хаотичен и поэтому характеризуется

76

7.2. Задача об обтекании тела

как турбулентный. След происходит из-за потока в пограничном

слое. Жидкость в следе является вращательной с высоким содержанием завихренности. Тела, которые создают узкий след, часто называют обтекаемыми телами, потому что линии тока в устойчивом потоке формируют устойчивую структуру, окружающую тело.

Поскольку уравнение движения связывает результирующие внешние силы на выбранном свободном теле жидкости в канале потока с изменением потока импульса на двух концевых участках, оно особенно ценно при решении тех задач в механике жидкости, в которых подробная информация о процессе потока может быть либо недостаточной, либо довольно сложной для оценки.

Вобщем случае уравнение потока импульса используется для решения следующих двух типов задач обтекания.

1. Определить результирующие силы, действующие на грани-

цы прохода потока потоком потока, когда поток меняет свое направление или величину скорости, или то и другое. Проблемы этого типа включают изгибы и редукторы труб, стационарные и движущиеся лопатки и реактивные двигатели. В таких случаях, хотя давление жидкости на границах может быть определено с помощью уравнения энергии, результирующие силы на границах должны быть определены путем интегрирования сил давления.

2. Определить характеристики потока неоднородных потоков,

вкоторых происходит резкое изменение сечения потока. Проблемы такого типа, такие как внезапное увеличение в трубопроводной системе или гидравлический скачок в потоке открытого канала, не могут быть решены с помощью одного только уравнения энергии, потому что обычно существует неизвестное количество потерь энергии, участвующих в каждом из этих процессов потока.

Вмеханике жидкости часто удобнее преобразовывать уравнения фундаментальных законов для применения к области, фиксированной в пространстве, или области, движущейся заданным об-

77

7. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение

разом. Такая область называется контрольным объемом и предполагается, что она совпадает с жидким телом, параметры описания которого представлены объемом, площадью поверхности и временем.

Идеальная жидкость является простейшим примером термоупругого материала. Эластичность в данном случае объясняется тем, что давление является функцией плотности, которая в свою очередь является функцией объемной деформации.

Реальная физическая задача об обтекании тела, разумеется, более однозначна.

Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей; всякая реальная жидкость обладает какой-то

вязкостью. Она может практически не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве. Но будет играть заметную роль в пристеночном слое – пограничном слое.

Именно свойства движения в пограничном слое определят выбор одного из бесчисленного множества решений уравнения движения идеальной жидкости. При этом отбираются решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентностей).

Несмотря на изложенное, изучение решений уравнений движения соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в ряде случаев смысл.

В случае тел, имеющих особую «хорошо обтекаемую» форму,

движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и узкой области следа позади тела.

Другим важным случаем, когда осуществляется потенциальное обтекание, являются малые колебания погруженного в жидкость тела.

78

7. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное движение

Таким образом, движение жидкости, совершающей колебательные движения, является потенциальным (в первом приближе-

нии).

Выясним общие свойства потенциального движения жидкости. Напомним, что вывод закона сохранения циркуляции был ос-

нован на изэнтропичности течения.

Если движение не изэнтропично, то закон не имеет места; если даже движение потенциально, то в дальнейшем завихрённость всё же появится.

Фактически потенциальным может быть лишь изэнтропическое движение.

При потенциальном движении жидкости циркуляция скорости по любому замкнутому контуру∫ равна нулю:

(7.15)

Из этого следует, что при потенциальном движении не могут суще-

ствовать замкнутые линии тока.

Как всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра. Этот скаляр называется потенци-

80