Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5479 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.II. Практикум

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
12.08.2026
Размер:
825 Кб
Скачать
☆

МИНИСТЕРСТВОНАУКИИВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ «КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим.Х.М.БЕРБЕКОВА»

Ф.А. Эржибова, Р.Г. Тлупова, А.С. Ибрагим

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО

АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

Практикум Часть II

Рекомендовано Редакционно-издательским советом КБГУ в качестве учебного пособия для обучающихся

по естественнонаучным специальностям

Нальчик

КБГУ

2023

УДК 51 (075) ББК 22.1 я73 Э75

Рецензенты:

кафедра высшей математики и информатики

Кабардино-Балкарского государственного аграрного университета им. В.М. Кокова

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики Кабардино-Балкарского государственного аграрного

университета им. В.М. Кокова

Н.И. Литовка

Авторы: Эржибова Ф.А., Тлупова Р.Г., Ибрагим А.С.

Э75 Эржибова, Ф. А. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Часть II : практикум / Ф. А. Эржибова, Р. Г. Тлупова, А. С. Ибрагим ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова. – Нальчик :

Каб.-Балк. ун-т, 2023.– 108 с. : ил.– Библиогр. :с. 107. – 50 экз. –

Текст : непосредственный.

Учебное пособие состоит из тестовых заданий по программе курса «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия».

Предназначено для обучающихся по естественнонаучным специальностям.

УДК 51 (075) ББК 22.1 я73

Эржибова Ф.А., Тлупова Р.Г., Ибрагим А.С., 2023

2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………. 4 I. Начала математического анализа ………………………………... 5

Тесты …………………………………………………………………. 8 II. Элементы комбинаторики ……………………………………….. 19 Тесты …………………………………………………………………. 20 III. Элементы теории вероятностей и математической статистики 28

Тесты …………………………………………………………………. 31 IV. Прямые и плоскости в пространстве …………………………... 41

Тесты …………………………………………………………………. 43 V. Многогранники …………………………………………………... 53 Тесты …………………………………………………………………. 59 VI. Тела и поверхности вращения ………………………………….. 70

Тесты …………………………………………………………………. 72 VII. Измерения в геометрии ………………………………………... 80 Тесты …………………………………………………………………. 82 VIII. Уравнения и неравенства ……………………………………... 92 Тесты …………………………………………………………………. 95 ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ ……………………………………………….. 106 ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………. 107

3

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Практикум. Часть II» состоит из введения, тестовых материалов по 8 разделам курса, изучаемым во втором семестре и литературы. Материалы составлены в 4-х вариантах, каждый из которых содержит 12 заданий. На каждый вопрос дано четыре варианта ответа, среди которых лишь один правильный.

Содержание учебного пособия способствует усвоению, закреплению изученного материала и проверке остаточных знаний студентов, соответствует требованиям ФГОС СПО.

Использование тестовых заданий в процессе обучения имеет свои преимущества перед традиционными формами контроля.

Материалы пособия могут быть использованы в качестве контрольных работ с последующей проверкой в форме автоматизированного тестового контроля.

4

I. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Предел последовательности:

lim yn b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если

 

lim хn b,lim yn

с, то:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) lim хn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

 

b c;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) lim хn

yn

 

 

bc;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

n

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

,c

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) lim kхn

kb ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции у

f

x

:

 

lim

 

f x0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физический смысл производной:

t

s t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл производной: k

f

х0 .

 

 

 

 

 

 

 

Правила дифференцирования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

g x f x

g x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k f x k f x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x g x

 

 

f x g x f x g x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

f x g x f x g x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная сложной функции: yх yu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы дифференцирования при условии

 

x

 

( n ) n u n 1 u , n R

 

 

 

 

(e u ) eu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( u)

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

in u

)

 

 

cosu

u

 

 

2

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

os

u)

 

 

 

sinu u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgu)

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2 u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u) a u lna u

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(ctgu)

 

 

sin2 u u

(arccos

u)

 

 

 

 

 

 

1 u2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln

u)

1

u

 

 

 

 

 

 

 

(arctg u)

 

1

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

(log a u)

 

1

 

 

 

u

(arcctg u)

 

 

1

 

 

 

u

 

u lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

u

2

 

 

 

(lg u)

 

 

1

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uln10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin u)

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы дифференцирования при условии u x

 

 

с 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln x)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x n ) nxn 1 ,

n R

(log a x)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

x)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xlna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(lg x) xln10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a x) a x lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ex ) ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x) cos x

 

 

 

 

 

(arccos

x)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

cos x) sin x

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgx)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arctgx)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ctgx)

 

1

 

 

 

 

 

(arcctgx)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнениекасательной ккривой y f x :

y f0 x

 

f 0x x x0 .

Достаточный признак возрастания функции. Если

 

 

 

 

f

 

х 0

в каж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дой точке интервала I , то функция f возрастает на интервале I .

Достаточный признак убывания функции. Если f х 0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на интервале I .

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

6

Необходимое условие экстремума функции: f х0 0.

Признак максимума функции. Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума:

Признак минимума функции. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума:

Если слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет:

 

 

Функция F называется первообразной для функции f

на заданном

промежутке, если для всех

х из этого промежутка: F x f

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первообразная

 

k (постоянная)

 

kx c

 

 

 

хn n R,n 1

 

 

xn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

ax a 0,a 1

 

 

ax

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

lna

 

 

 

 

ex

 

 

ex

c

 

 

1

 

 

 

ln

 

x

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

x с

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx

 

cosx c

 

 

cosx

 

sinx c

 

 

 

1

 

 

 

tgx c

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ctgx c

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

 

, x a

 

 

 

ln

 

x a

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx b n ,n 1

 

 

 

1

kx b n c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

n 1

 

 

 

sin tx a

 

 

 

1

cos tx a c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

cos tx a

 

 

 

1 sin tx a c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Ньютона – Лейбница: f x dx F х ba F b F a .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

x b и графи-

 

 

Площадь S

фигуры, ограниченной прямыми x a,

ками функций

y f x

,

y g x , непрерывных на отрезке

a;b и та-

ких,

 

что

для любого

x

из отрезка

 

a;b

выполняется неравенство

 

 

 

 

x , вычисляется по формуле

 

b

x g x dx.

 

 

g x f

S f

 

 

a

 

 

Тесты

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

 

 

 

3 2n

 

15.

1.Укажитеномерчленапоследовательности х

n

 

,равного

4n 1

а) 9

 

 

 

 

37

 

 

 

 

 

 

 

б) 7

 

 

 

 

 

 

 

в) 12

 

 

 

 

 

 

 

г) 3

3n2 5n 4

 

 

 

 

 

 

2. Предел lim

равен …

 

 

 

 

 

2 n2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

а) 2

 

 

 

 

 

 

 

б) 3

 

 

 

 

 

 

 

в) 52

г) 1,5

8

3. Операцию отыскания производной некоторой функции называют … функции.

а) интегрированием б) дифференцированием в) моделированием г) копированием

4. Найдите приращение функции f x 2 х 3 в точке x0, если x0 2, x 0,5.

а) 0,125 б) 1,325

в) 0,003

г) 0,04

5. На графике функции у h x отмечены точки с абсциссами х1, х2 , х3, х4 . Укажите абсциссу той из отмеченных точек, в которой касательная к графику имеет отрицательный угловой коэффициент.

а) х4 б) х1 в) х3 г) х2

6. Производная функции y х2 1 х4 2 равна …

а) 6х5 4х3 4х

б) 4х 3 4х

в) 6х5 4х3

г) 8х4

7. Если f x 2x tg x , то f принимает значение равное …

а) 3 б) в) 1 г) 0

9

8. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y 3x2 2x 1 в его точке с абсциссой x0 13 равен …

а) 0 б) 3 в) 6

г) 5

9. Укажите промежутки, на которых функция не убывает.

а) [ 3; 1] 1;3

б) [ 3; 1] в) [ 1;1]

г) 3; 0] 0;3

10. Минимум функции у 2х3 9х2 12х 8 достигается в точке …

а) 2 б) 0 в) 1 г) 8

2

11. Интеграл x3dx равен …

1

а) 334 б) 314 в) 234

г) 214

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности