Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.II. Практикум

Вариант 4

1.Двугранный угол называется острым, если он … . а) больше 90° б) меньше 90° в) равен 180° г) меньше 180°

2.Полуплоскости, образующие … угол, называются его гранями. а) плоский б) линейный в) двугранный

г) центральный

3.Двепрямыеназываются…,еслионинележатводнойплоскости. а) перпендикулярными б) скрещивающимися в) параллельными г) равными

4.Прямая и плоскость называются параллельными, если они … . а) не имеют общих точек б) не лежат в одной плоскости в) лежат в одной плоскости г) лежат в разных плоскостях

5.Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется … между прямой и ее проекцией на плоскость.

а) расстояние б) угол в) высота г) грань

51

6. Два отрезка называются …, если они лежат на параллельных прямых.

а) параллельными б) перпендикулярными в) скрещивающимися г) равными

7. Общая граница … называется ребром двугранного угла. а) полуплоскостей б) плоскостей в) прямых г) полупрямых

8.Прямая называется … к плоскости, если она перпендикулярна

клюбой прямой, лежащей в этой плоскости.

а) перпендикулярной б) параллельной в) наклонной г) линейной

9. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства?

а) ни одной б) две

в) бесконечно много г) одну

10. Вершина А параллелограмма принадлежит плоскости , а ос-

тальные его вершины не принадлежат этой плоскости. Как расположены прямые СВ и СD относительно плоскости ?

а)CB не пересекает и СD не пересекает б)CB не пересекает , а СD пересекает в)CB пересекает , а СD не пересекает г)CB пересекает и СD пересекает

52

11. Сторона BC угла ABC лежит в плоскости , точка D не принадлежит плоскости . Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку D?

а)3 б)2 в)4 г)1

12. ABCDA1B1C1D1 прямоугольный параллелепипед. Укажите неверное утверждение о прямых.

а) СD1 AD

б) DD1 A1C1 в) A1C1 DC1

г) A1D1 DC1

V. МНОГОГРАННИКИ

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, а также само это тело.

53

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями многогранника. Стороны граней называются ребрами многогранника. Концы ребер называются вершинами многогранника. Отрезок, который соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Плоским углом многогранника называется любой внутренний угол его грани. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости сечением многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранник называется невыпуклым

Свойства плоских углов выпуклого многогранника

1.Сумма плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

2.Каждый плоский угол выпуклого многогранника меньше суммы других плоских углов при той же вершине.

Приведем таблицу, описывающую количественные характеристики правильных многогранников.

54

Теорема Эйлера. В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на два.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма

Призмой называется многогранник, у которого две грани равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами (основаниями призмы), а все остальные грани (боковые) пересекаются по параллельным прямым. Ребра оснований называются сторонами оснований, общие ребра боковых граней боковыми ребрами.

Призму называют прямой, если плоскости боковых граней перпендикулярны к плоскостям оснований. Непрямая призма называется наклонной. Прямую призму называют правильной, если основанием ее служит правильный многоугольник. Призмы могут быть треугольными, четырехугольными и т. д.

Боковые ребра призмы равны между собой, боковые грани являются параллелограммами.Боковыегранипрямойпризмы прямоугольники.

55

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не лежащие в одной грани, называется диагональю призмы. Перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на плоскость другого основания, называется высотой призмы h.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма

площадей ее боковых граней. Площадь Sполн. полной поверхности выражается через площадь Sбок. боковой поверхности и площадь Sосн. ос-

нования призмы формулой S полн. Sбок. 2Sосн. .

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: S P h.

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Теорема. В параллелепипеде диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны его основанию, называется прямым. Непрямой параллелепипед называется наклонным, все его грани являются параллелограммами.

Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным:

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

56

Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называется кубом. Все грани куба являются квадратами.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда – длина, ширина, высота.

Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда ра-

Пирамидой называется многогранник, одной из граней которого служит многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые) есть треугольники с общей вершиной (вершина пирамиды).

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскости ее основания, называется высотой пирамиды h.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник ивершинапроектируетсявцентроснования,называетсяправильной.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой а.

57

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды определяется как сумма площадей всех ее граней.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

Часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью,параллельнойоснованию,называетсяусеченнойпирамидой.

Основание и соответствующее сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой h усеченной пирамиды.

Сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональным сечением.

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется ее апофемой а.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полу суммы периметров оснований на апофему.

58

Тесты

Вариант 1

1.Тетраэдр имеет … грани.

а) 8 б) 2 в) 3 г) 4

2.Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен:

а)270°

б)180° в)45° г)90°

3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется …

а) кубом б) ромбом

в) октаэдром г) тетраэдром

4.В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине …

а) меньше 360°

б) больше 360° в) равна 360° г) больше 60°

5.Точка фигуры, не являющаяся …, называется внутренней точкой фигуры.

а) граничной б) особой в) внешней г) разрывной

6.Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется … призмы.

а) апофемой б) ребром

59

в) высотой г) гранью

7.Пирамида называется …, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является его высотой.

а) прямой б) наклонной

в) правильной г) треугольной

8.Какие из данных многогранников являются призмами?

а) а, в, г б) б, в, г в) а, б, в г) а, б, г

9. Какие из данных многогранников являются пирамидами?

а) а, б, г б) б, г в) а, г г) а, б, в

60