Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.II. Практикум

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, опущенный из точки плоскости одного основания на плоскость другого.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы R.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы имеет вид: x2 y2 z2 R2 .

Плоскость, имеющая с поверхностью сферы одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере.

Прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точки касания, называется касательной прямой к сфере.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

71

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.

Тесты

Вариант 1

1.Какое тело вращения имеет два основания? а) конус б) шар в) цилиндр г) сфера

2.Сечения цилиндра представляют собой … . а) прямоугольник б) треугольник в) пятиугольник

г) четырехугольник

3.Площадь боковой поверхности цилиндра в три раза больше площади основания. Тогда отношение HR равно … .

а)1,5 б)1 в)3 г)0

4. Сечение конуса плоскостью есть … . а) круг б) треугольник в) квадрат г) эллипс

72

5.Усеченный конус может быть получен вращением … вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

а) окружности б) треугольника

в) прямоугольной трапеции г) равнобочной трапеции

6.Какое тело вращения имеет в сечении треугольник?

а) конус б) шар в) цилиндр

г) трапеция

7.Какое тело вращения не имеет высоты? а) конус б) шар в) цилиндр

г) усеченный конус

8.Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы имеет вид … .

г) x2 y2 z2 R2

9.Высота конуса равна 6, а длина образующей – 10. Диаметр основания конуса равен … .

а) 1 б) 30 в) 16 г) 13

10.Высота конуса равна 10, а диаметр основания 48. Образующая конуса равна … .

а) 1 б) 30 в) 16 г) 26

73

11. Диаметр основания конуса равен 20, а длина образующей 26. Высота конуса равна …

а) 1 б) 30 в) 16 г) 24

в) 2 y2 z2 16

г) 2x2 y2 3 z2 4

Вариант 2

1. Цилиндр называется прямым, если его образующие … плоскостям оснований.

а) перпендикулярны б) параллельны в) равны г) равносильны

2. Какое тело вращения имеет в сечении прямоугольник? а) конус б) шар в) цилиндр

г) трапеция

3. Какое тело вращения имеет одно основание? а) конус

б) шар в) цилиндр г) квадрат

4. Отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра равно … .

а) R б) в) 2

г) 2

74

5. Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R является квадрат. Тогда верно, что … .

а) HR 2

б) HR 2

в) H 2R

г) HR 2d

6. Какая фигура является осевым сечением шара? а) круг б) треугольник

в) трапеция г) ромб

7.Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую, называется … плоскостью.

а) мнимой б) диаметральной

в) сферической г) касательной

8.Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется … сферы.

а) радиусом

б) диаметром в) высотой г) апофемой

9.Высота конуса равна 8, а длина образующей 10. Диаметр основания конуса равен … .

а) 12 б) 30 в) 16 г) 13

10.Высота конуса равна 24, а диаметр основания 20. Образующая конуса равна … .

а) 1 б) 30

75

в) 16 г) 26

11. Диаметр основания конуса равен 14, а длина образующей 25. Высота конуса равна … .

а) 1 б) 30 в) 16 г) 24

12. Уравнение сферы с центром А 5,0,7 и радиусом R 3 имеет вид …

г) 5x2 y2 7 z2 3

Вариант 3

1.Расстояниемеждуплоскостямиоснованийназывается…цилиндра. а) образующей б) высотой в) радиусом г) диаметром

2. Цилиндр, осевое сечение которого квадрат, называется … . а) равносторонним б) прямоугольным в) равнобедренным г) наклонным

3. Какая фигура является осевым сечением усеченного конуса? а) круг б) треугольник

в) трапеция г) призма

4. Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади осевого сечения цилиндра в … .

а) раз б) 1 раз

в)2раза г)1,5 раза

76

5. Боковой поверхностью цилиндра высотой Н и диаметром основания d является квадрат. Тогда верно, что … .

а) d H

б) H d

в) H d

г) d H 0

6. Плоскость, проходящая через … конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую, называется касательнойплоскостью.

а) образующую б) вершину в) основания г) сечение

7. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется … сферы.

а) диаметром б) радиусом в) высотой г) апофемой

8. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса

в) х2 у2 z2 R2

г) 2 у 2 z 2 R

9. Высота конуса равна 5, а длина образующей 13. Диаметр основания конуса равен … .

а) 24 б) 30 в) 16 г) 13

10. Высота конуса равна 7, а диаметр основания 48. Образующая конуса равна … .

а) 1 б) 30 в) 16 г) 25

77

11. Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей 25. Высота конуса равна … .

а) 1 б) 30 в) 16 г) 15

в) 2 y2 z2 9

г) 4x2 y2 5 z2 3

Вариант 4

1. Развертка прямого кругового цилиндра содержит … и два круга. а) прямоугольник б) треугольник в) отрезок г) сечения

2. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется … плоскостью цилиндра.

а) касательной б) диаметральной в) сферической г) спектральной

3. Площадь боковой поверхности цилиндра в два раза больше площади основания. Тогда отношение HR равно … .

а)3 б)2 в)1 г)0

4. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой … треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

а) равнобедренный б) прямоугольный в) равносторонний г) равнобочный

78

5.Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется … .

а) высотой б) образующей в) радиусом г) диаметром

6.Какое тело вращения не имеет образующей?

а) конус б) шар в) цилиндр г) призма

7.Плоскость, проходящая через центр шара, называется … . а) диаметральной плоскостью б) касательной плоскостью в) сферической плоскостью г) спектральной плоскостью

8.Плоскость, имеющая с поверхностью сферы одну общую точку, называется … плоскостью к сфере.

а) диаметральной б) касательной в) сферической г) спектральной

9.Высота конуса равна 12, а длина образующей 13. Диаметр основания конуса равен … .

а) 10 б) 30 в) 16 г) 13

10.Высота конуса равна 24, а диаметр основания 14. Образующая конуса равна … .

а) 1 б) 30 в) 25 г) 16

79

11. Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей 20. Высота конуса равна … .

а) 12 б) 30 в) 16 г) 26

12. Уравнение сферы с центром А 5,4,7 и радиусом R 2 имеет вид … .

VII. ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ

Объем – величина, характеризующая размер геометрического тела. Измерить объем означает вычислить отношение его к объему, принятому за единицу измерения; за единицу измерения объема принимают объем куба, ребро которого равно единице измерения длины. Такая

единица называется кубической единицей.

Основные свойства объемов

1.Равные тела имеют равные объемы.

2.Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.

Объем куба находят по формуле V а3 , где а ребро куба.

Объём шара определяется формулой V 43 R3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: Vпар. abc.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V пар. abc S h .

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания

на высоту: V пр. S ABC. h .

80