Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.II. Практикум
.pdf
Объем призмы равен произведению площади ее основания на вы-
соту: V пр. S осн. h.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту: Vпир. 13Sосн. h.
Объемусеченнойпирамидывычисляетсяпоформуле:
успирV. .13 |
S1 S1 S2 S2 h, |
где S1 и S2 площади оснований усеченной пирамиды, а h ее высота. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на
высоту: V цил. R 2 h .
Объем конуса равен одной трети произведения площади его осно-
вания на высоту: Vкон. 13 R2 h.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Vус.кон. 3 R12 R1R2 R22 h,
где R1 и R2 радиусы кругов, лежащих в его основаниях, а h высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра, т. е. S бок 2 RH , где R
радиус цилиндра, H высота.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Sполн 2 R R H .
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую, т. е. S Rl, где
R – радиус основания конуса, l образующая конуса.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площа-
дей боковой поверхности и основания: S Rl R 2 R R l . Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:
l R1 R2 ,
где l образующая, R1 и R2 радиусы оснований.
Площадь поверхности шара (сферы) находится по формуле:
S 4 R2 ,
где R радиус шара.
Площадь поверхности сферического сегмента равна S 2 RH , где
R радиус сферы, H высота сегмента.
Площади сфер относятся как квадраты их радиусов.
81
Площадь сферического пояса равна произведению длины окружности большего круга на высоту пояса: S 2 RH , где R – радиус шара,
H высота пояса.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Два цилиндра, конуса или усечённых конуса называются подобными, если подобны их осевые сечения.
Боковые и полные поверхности подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как квадраты их сходственных линейных элементов.
Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.
Квадраты объёмов подобных тел относятся, как кубы площадей соответствующих граней.
Объёмы подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как кубы их соответствующих линейных элементов. Объемы шаров относятся как кубы радиусов.
Тесты
Вариант 1
1.Величина, характеризующая … геометрического тела, называется объемом.
а) размер б) значимость в) положение г) расстояние
2.Конус называется …, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
а) прямым б) усеченным в) осевым
г) диагональным
3.Тело, ограниченное сферой, называется … .
а) шаром б) шаровым сегментом
в) круговым конусом г) шаровым слоем
82
4. Объем призмы определяется формулой … .
а) V 13Sосн. h
б) V Sосн. h
в) V 43 R3
г) V Sосн. d
5.Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на … цилиндра.
а) высоту б) образующую в) радиус г) периметр
6.Площади сфер относятся как … их радиусов.
а) квадраты б) кубы в) периметры г) объемы
7.Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить
вдва раза?
а)2 б)4 в)8 г)6
8. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 11 и 12, а высота равна 15.
а)1980 б)300
в) 1170 
3
г) 3,2
5
9. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объем конуса равен 120. Объем цилиндра равен … .
83
а) 360 б) 95 в) 720 г) 278
10. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые ребра равны 2 . Объем цилиндра, опи-
санного около этой призмы равен … .
а) 52 б) 90,5 в) 5,71 г) 27
11.Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5 и 8. Найдите объем параллелепипеда.
а)10 б)5 в)67 г)160
12.Радиус основания цилиндра равен 4, высота 10 . Найдите объем
цилиндра.
а)10 б)5 в)67 г)160
Вариант 2
1. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой … . а) круг б) дугу окружности
в) круговой сектор г) цилиндр
84
2. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, … окружности основания.
а) равной б) большей в) меньшей г) мнимой
3. Объём шара определяется формулой … .
а) V 13 R3
б) V 43 R2
в) V 23 R3
г) V 43 R3
4. Площадью полной поверхности цилиндра называется … площадей боковой поверхности и двух оснований.
а) сумма б) отношение
в) произведение г) разность
5. Площадь сферического пояса равна произведению длины окружности большего круга на … пояса.
а) высоту б) образующую в) радиус г) диаметр
6. Объемы шаров относятся как … радиусов. а) кубы
б) квадраты в) периметры г) апофемы
7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза?
а)8 б)2 в)6 г)4
85
8. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны осно-
вания которого равны 3
2 и 
5, а высота равна 10
10 .
а)1980 б)300
в) 1170 
3 г) 3,2
5
9. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объем конуса равен 21. Объем цилиндра равен … .
а) 63 б) 9 в) 20 г) 78
10. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра равны 10 . Объем цилиндра, опи-
санного около этой призмы равен … .
а) 307,5 б) 90,5 в) 5,71 г) 27
11.Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 7. Найдите объем параллелепипеда.
а)12 б)50 в)84 г)160
12.Радиус основания цилиндра равен 5, высота 10 . Найдите объем цилиндра.
86
а)110 б)250 в)67 г)90
Вариант 3
1.За единицу измерения объема принимают объем …, ребро которого равно единице измерения длины.
а) пирамиды б) шара в) куба г) призмы
2.Прямая,проходящаячерезцентрыоснованийназываетсяосью…. а) цилиндра б) конуса в) сферы г) эллипса
3.Часть шара, отсекаемая плоскостью, называется … .
а) шаровым сегментом б) шаровым слоем в) сферическим сегментом г) секущей
4. Объем пирамиды определяется формулой … .
а) V 13Sосн. h2
б) V Sосн. h
в) V 43 R3
г) V 13Sосн. h
5. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на … .
а) образующую б) высоту в) радиус г) диаметр
87
6.Два цилиндра, конуса или усечённых конуса называются …, если подобны их осевые сечения.
а) подобными б) равными
в) симметричными г) эквивалентными
7.Квадраты объёмов подобных тел относятся, как … площадей соответствующих граней.
а) кубы б) квадраты
в) периметры г) радиусы
8.Найдите объем прямоугольного параллелепипеда стороны основания, которого равны 18 и 5
3 , а высота равна 13.
а)1980 б)300
в) 170 
3
г) 3,2
5
9. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объем конуса равен 20. Объем цилиндра равен … .
а) 60 б) 95 в) 720 г) 278
10. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 9. Боковые ребра равны 1 . Объем цилиндра, описанного около этой
призмы равен … .
а) 307 б)90,7
88
в) 40,5 г) 27
11.Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 5, 6 и 9. Найдите объем параллелепипеда.
а)10 б)270 в)67 г)160
12.Радиус основания цилиндра равен 3, высота 10 . Найдите объем
цилиндра.
а)90 б)30 в)79 г)167
Вариант 4
1.Тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов, называется … .
а) цилиндром б) конусом в) сферой г) шаром
2.Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен … объемов его частей.
а) произведению б) отношению в) сумме г) разности
3.Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки называется … .
а) сферой б) конусом в) цилиндром г) тетраэдром
89
4. Объем цилиндра определяется формулой … .
а) V 13Sосн. h
б) V R2 h
в) V 43 R3
г) V 13 R2 h
5.Площадью полной поверхности конуса называется … площадей боковой поверхности и основания.
а) произведение б) сумма в) разность
г) отношение
6.Две фигуры называются …, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
а) равными б) подобными
в) симметричными г) эквивалентными
7.Объемы двух подобных тел относятся как … их соответствующих линейных размеров.
а) кубы б) квадраты
в) периметры г) площади
8.Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны осно-
вания которого равны 313 и 
5, а высота равна 0,96.
а)1980 б)300
в) 1170 
3
г) 3,2
5
90