Математика алгебра и начала математического анализа, геометрия. Ч.II. Практикум
.pdf
5.На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
а)840 б)35 в)930 г)28
6.Значение выражения 31! 41! 255! равно …
а)
б) 5760
в) 1201
г)0
7. Если n 9, m 5, то число сочетаний равно … а)160 б)87 в)126 г)120
8. Если n 6, m 3, то число размещений равно … а)120 б)30 в)80
г)
9. Значение выражения P9 C129 равно …
A129
а)9 б)1 в)12
г)
10. Значение выражения P7 6!P6 равно …
а)7 б)6 в)13 г)0
21
11. Коэффициент при первой степени переменной х многочлена x 1 x 7 равен …
а)7 б)8 в)9 г)10
12. Решите уравнение 83 42 х .
а)8 б)7 в)0 г)4
Вариант 2
1. Соединения, которые отличаются друг от друга, хотя бы одним элементом называются … из n элементов по m элементам в каждом.
а) размещениями б) сочетаниями в) перестановками г) элементарными
2.Количествоперестановокиз n элементоввычисляютпоформуле…
а) Рnm n mm! !
б) Anm n n!m ! в) Cnm m! nn!m !
г) Pn n!
3. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?
а) 720 б) 150 в) 80
г) 100
4. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «медик»?
а) 120
б) 24
в) 80
г) 5
22
5. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
а)210 б)180 в)54 г)10
6. Значение выражения 51! 61! 497! равно … а) 17
б) 215
в)0 г)47
7. Если n 8, m 4, то число сочетаний равно … а)70 б)53 в)12 г)32
8. Если n 4, m 2, то число размещений равно … а)12 б)5 в)8 г)2
9. Значение выражения P6 C116 равно …
а)6 б)1 в)7 г)0
A116
10. Значение выражения P8 7!P7 равно …
а)7 б)8 в)15 г)2
11. Коэффициент при первой степени переменной х многочлена
x 1 3x 4 равен …
а)12 б)3
23
в)9 г)10
12. Решите уравнение А 37 35х .
а)2 б)7 в)6 г)4
Вариант 3
1. Соединения, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются …
а) размещениями б) сочетаниями в) перестановками г) элементарными
2. Число всех перестановок из n элементов равно … последовательных чисел от 1 до n включительно.
а) произведению б) сумме в) частному г) разности
3. Формула числа сочетаний без повторений имеет вид ...
а) Сnm n nm! !
б) Pn n!
в) Anm n n!m ! г) Cnm m! nn!m !
4. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
а)120 б)5 в)30 г)32
24
5. На дежурство должны выйти две из 8 работающих в отделении медсестер. Сколько возможно вариантов выхода?
а)28 б)1680 в)120 г)64
6. Значениевыражения 519! 3! равно …
а)2 б)17 в)8 г)6
7. Если n 6, m 4, то число сочетаний равно … а)6 б)15 в)11 г)34
8. Если n 5, m 3, то число размещений равно … а)18 б)30 в)60 г)64
9. Значение выражения P5 5C85 равно …
а)5 б)8 в)1 г)0
A8
10. Значение выражения P9 8!P8 равно …
а)8 б)9 в)17 г)0
11. Коэффициент при первой степени переменной х многочлена
x |
|
3 2x 5 равен … |
а) –810 б) 37
25
в)90 г)6
12. Решите уравнение 92 18 х .
а)6 б)4 в)0 г)5
Вариант 4
1. Соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения называются … из n элементов по m элементам в каждом.
а) сочетаниями б) размещениями в) перестановками г) образцами
m |
|
n! |
|
|
2. Формулой Cn |
|
|
|
определяется число … без повторений. |
m! n m ! |
||||
а) сочетаний |
|
|
|
|
б) размещений |
|
|
|
|
в) перестановок |
|
|
|
|
г) факториалов |
|
|
|
|
3. Перестановки представляют частный случай … из n элементов по n в каждом.
а) размещений б) сочетаний в) фракталов
г) совпадений
4. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?
а) 16
б) 18
в) 9
г) 20
5. Сколькими способами с помощью букв К, А, В, С можно обозначить вершины четырехугольника?
а)4 б)12 в)24 г)8
26
6. Значение выражения 3230!! равно …
а)992 б)850 в)780 г)54
7. Значение выражения P4 C104 равно …
а)10 б)1 в)4 г)7
A104
8. Если n 5, m 2, то число сочетаний равно … а)8 б)5 в)10 г)7
9. Если n 8, m 3, то число размещений равно … а)123 б)254 в)183 г)336
10. Значение выражения P5 4!P4 равно …
а)4 б)5 в)9 г)7
11. Коэффициент при первой степени переменной х многочлена
P x |
x 2 |
5 |
2 х 1 4 равен … |
а)72 б)27 в)12 г)5
12. Решите уравнение |
93 56 х . |
а)9 |
|
б)7 |
|
в)0 г)4
27
III.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Под событием понимается всякий результат или исход испытания. События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита:
A, B, C, D.
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным. Невозможное событие – это событие, которое не может произойти в результате данного опыта.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются равновозможными, если условия опыта обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них.
Классическое определение вероятности: P(A) mn .
События A и A называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна единице: (A ) Р А 1.
Возможны случаи:
1)m n P A 1 вероятность достоверного события равна 1;
2)m 0 P A 0 вероятность невозможного события равна 0;
3)m n, m 0 0 P A 1.
Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на появление другого, т. е. условная веро-
ятность P A/B события А в предположении, что В произошло, такая же, как и без этого предположения: P A/B P(A). В противном случае
события A и B называются зависимыми.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P A B P A P B .
Теорема сложения вероятностей совместныхсобытий:
28
P A B P A P B P AB .
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
P(AB) P(A) P(B) .
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
P AB |
P A P B / A или P AB P B P A/B . |
|
Формула полной вероятности: |
|
|
|
1 PA P/ B1PA B2 PB / P2A B PnB PA/Bn . |
|
Формула Байеса: P Bi /A P A Bi /P A |
i 1,2, ,n . |
|
Вероятности P Bi / A , вычисленные по формуле Байеса, часто на-
зывают вероятностями гипотез.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, заблаговременно заранее не могут бытьучтены.
Случайные величины делят на две разновидности:
–дискретные, которые могут принимать только конкретные, заранее оговоренные значения;
–непрерывные, которые могут принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Закон распределения случайной величины – это соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и ее вероятностями, обычно записывается в таблицу:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений величины X на вероятности
этих значений: M (X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn .
Дисперсией дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее мате-
матического ожидания: D X M X M X 2 .
Среднее квадратическое отклонение: (x) 
D(x).
Понятие о задачах математической статистики
Статистика − это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства.
29
Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
Статистическая информация − это числовые данные о массовых явлениях.
Встатистике часто пользуются диаграммами. Диаграмма – это чертеж, на котором статистическая информация представоена геометрическими фигурами или символическими знаками.
Диаграмма сравнения показывает соотношение признака статистической совокупности.
Структурная диаграмма позволяет сопоставить статистические совокупности по составу.
Секторная диаграмма – каждый сектор занимает площадь круга пропорционально удельному весу отображаемых частей целого. Затем необходимо найти значения центральных углов.
Столбчатая диаграмма – гистограмма распределения. Количество вариант – количество столбиков в гистограмме. Объем измерения равен сумме кратностей всех вариант, т.е. равен сумме высот всех столбиков.
Встатистике исследуют различные совокупности данных – числовых значений случайных величин с учетом частот, с которыми они встречаются в совокупности. При этом совокупность всех данных называют генеральной совокупностью, а любую выбранную из нее часть выборкой.
Совокупность данных иногда полезно охарактеризовать одним числом – мерой центральной тенденции числовых значений ее элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее.
Мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке.
Медиана – это число, разделяющее упорядоченную выборку по количеству данных на две равные части. Если в упорядоченной выборке нечетное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке четное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел.
Среднее (или среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству.
Размах ряда чисел − это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
30