Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Л. Д. Попов, М. М. Фоминых

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Учебное пособие

Рекомендовано учебно-методическим советом Высшей школы экономики и менеджмента УрФУ

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению

080100 ¾Экономика¿

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2013

Оглавление

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Матрицы общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Матрицы специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Элементарные преобразования матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Блочные матрицы и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Что такое определитель матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Простейшие свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Разложение определителя по столбцу (строке) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Определители специальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5. Вычисление определителя методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6. Определитель произведения двух матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7. Условия равенства определителя нулю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. Формула Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Обращение матрицы методом Жордана Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. РАНГ МАТРИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1. Три подхода к определению ранга матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Преобразования матриц, сохраняющие их ранг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2. Теорема Кронекера Капелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3. Ранговое строение расширенной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4. Невырожденные квадратные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.5. Переопределенные системы полного ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6. Недоопределенные системы полного ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.7. Системы неполного ранга (общий случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.8. Обобщающие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.9. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений . . . . . . . . . 55 5.10. Метод исключения Жордана Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Список основных обозначений

A = (aij); B = (bij); C = (cij) матрицы различной размерности

E единичная матрица

diag( 1; : : : ; n) диагональная матрица

A> транспонированная матрица jAj определитель матрицы A A 1 обратная матрица

rank A ранг прямоугольной матрицы

x = (xi); y = (yi); z = (zi) векторы различной размерности

(x; y) скалярное произведение векторов

? ортогональное дополнение к подпространству

A: E1 ! E2 линейный оператор, действующий из E1 в E2

A сопряженный оператор

A 1 обратный оператор

Im A образ линейного оператора

Ker A ядро линейного оператора

H = fxg + L аффинное многообразие

j E Aj = 0 характеристическое уравнение

(A) собственное значение матрицы A

(x; y) билинейная форма f(x) квадратичная форма

5

Предисловие

Линейная алгебра изучает главным образом теорию и численные методы решения конечных систем линейных алгебраических уравнений от многих неизвестных и связанные с ними понятия векторов, матриц, линейных векторных пространств, операторов и их собственных значений. Векторно-матричный язык широко применяется при изложении многих других математических и прикладных учебных курсов, например, математической экономики, теории оптимальных решений, исследования операций, эконометрики и др. Поскольку системы линейных алгебраических уравнений являются фундаментальным математическим объектом и находят широкое применение в решении самых разнообразных прикладных задач, ознакомление с общей теорией

иединой терминологией для таких систем весьма полезно любому специалисту независимо от того, в какой сфере экономической, технической, социальной, научной или иной он работает. Язык линейной алгебры позволяет придавать прикладным математическим моделям

изадачам емкие и краткие формулировки, а накопленные в линейной алгебре знания и факты эффективно и быстро находить искомые решения и рекомендации.

Данное пособие задумано как небольшой конспект лекций по линейной алгебре для экономических специальностей вузов. В него входят главы, посвященные матрицам и их определителям, а также методам решения конечных систем линейных уравнений, как квадратных, так и общего вида, элементам векторной алгебры и аналитической геометрии (для иллюстративных целей), общей теории многомерных векторных пространств, линейным операторам и квадратичным формам. Изучение теории целесообразно комбинировать с решением задач и примеров из специальных сборников задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Основной упор сделан на теорию матриц и систем линейных уравнений, в том числе имеющих бесконечные множества решений, что характерно для экономических приложений. Остальной материал используется как основа и не столь обширен. В частности, мы ограничились теорией вещественных линейных пространств. Интересующихся более полной теорией комплексных пространств, линейных операторов

иквадратичных форм, а также алгоритмическими аспектами линейной алгебры отсылаем к списку рекомендуемой литературы, который приведен в конце учебного пособия.

6

1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

1.1. Матрицы общего вида

Определение 1.1. Матрицей называется произвольная (квадратная или прямоугольная) таблица чисел.

Будем обозначать матрицы прописными латинскими буквами, набранными полужирным прямым шрифтом, например:

Матрица может также трактоваться как набор своих строк/столбцов. В связи с этим договоримся о следующих общих обозначениях для матриц:

0 1

a11 a12 : : : a1n

B a21 a22 : : : a2n C

=B : : : : : : : : : : : : C = (aij)m n:

@ A

am1 am2 : : : amn

Здесь aij элемент матрицы A; стоящий на пересечении ее i-й строки и j-го столбца, a1; a2; : : : ; am ее строки, а A1; A2; : : : ; An ее столбцы; пара чисел m n, сопровождаемых значком , характеризует размерность (или, в другой терминологии, порядок) матрицы.

0 1

b11 b12 : : : b1q

B b21 b22 : : : b2q C

=B : : : : : : : : : : : : C = (bij)p q:

@ A

bp1 bp2 : : : bpq

7

Размерность матрицы B равна p q.

Определение 1.2. Две матрицы равны, если их размерности и элементы, стоящие на одних и тех же позициях, совпадают.

Определение 1.3. Матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, называются квадратными.

Определение 1.4. Элементы a11; a22; : : : ; ann квадратной матрицы A порядка n n образуют ее главную диагональ.

1.2. Матрицы специального вида

Ввиду своей важности следующие матрицы, называемые специальными, выделяются из всего многообразия матриц:

н у л е в ы е матрицы произвольных размеров (состоят из нулей)

01

д и а г о н а л ь н ы е квадратные матрицы

е д и н и ч н ы е квадратные матрицы

п е р е с т а н о в о ч н ы е квадратные матрицы (получаются из единичных путем перестановки их строк или столбцов)

8

э л е м е н т а р н ы е матрицы (отличаются от единичной единственным столбцом в одной из позиций):

матрицы, состоящие ровно из о д н о г о столбца или о д н о й строки, называются в е к т о р а м и и обозначаются малыми латинскими буквами 1:

0 x1 1

x = B x.2 C; y = (y1; y2; : : : ; ym)>;

B C

@ .. A

xn

в е к т о р ы - о р т ы, обозначаемые как ek; все их элементы равны нулю за исключением k-го, который равен единице:

1Когда речь идет о векторах, то по математической традиции их всегда предполагают векторами-столбцами; если возникает необходимость в векторе-строке, то над вектором-столбцом ставят специальный значок транспонирования >, который обсуждается в следующем подразделе.

9

1.3. Операции над матрицами

Перечислим основные арифметические операции над матрицами:

3.Т р а н с п о н и р о в а н и е матрицы обозначается символом

>сверху над матрицей. В результате этой операции строки и столбцы матрицы меняются ролями. Это своеобразный ¾поворот¿ матрицы вокруг ее главной диагонали. Например,

В частности, транспонированный вектор-столбец превращается в векторстроку и наоборот.

10