Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

Свойство 2.3. Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на общий числовой множитель , то ее определитель также вырастет в раз.

Свойство 2.4. Если матрица содержит нулевую строку или столбец, то ее определитель равен нулю.

Свойство 2.5. Если один из столбцов матрицы представляет собой сумму двух векторов, то ее определитель можно разбить на два по

где остальные элементы остаются без изменения. То же верно для строк.

Свойство 2.6. Если в матрице поменять местами любые два соседних столбца или любые две соседние строки, то ее определитель сменит свой знак на противоположный4.

Свойство 2.7. Если в матрице поменять местами любые два столбца или любые две строки, то ее определитель также сменит свой знак на противоположный5.

Свойство 2.8. Если матрица содержит две одинаковые или пропорциональные строки или два одинаковых или пропорциональных столбца, то ее определитель равен нулю.

Определение 2.4. Линейной комбинацией строк a1; a2; : : : ; am матрицы A называется выражение

1a1 + 2a2 + : : : + mam;

где 1; 2; : : : ; m произвольные числа. То же для столбцов.

Свойство 2.9. Определитель матрицы не изменится, если к любой ее строке прибавить (поэлементно) произвольную линейную комбинацию любых других ее строк. То же верно для столбцов.

Последнее свойство лежит в основе метода Гаусса для вычисления определителя матрицы произвольного порядка (см. подраздел 2.5).

4В самом деле, при перестановке двух соседних строк/столбцов четность/нечетность всех инверсий поменяется.

5Действительно, перестановка любых двух строк/столбцов может быть реализована нечетным числом перестановок соседних строк/столбцов.

21

2.3. Разложение определителя по столбцу (строке)

Вернемся к формуле для вычисления определителя 3-го порядка:

Заметим, что первый из определителей 2-го порядка в этой формуле получается из исходной матрицы путем удаления из нее первой строки и первого столбца, второй путем удаления первой строки и второго столбца и третий путем удаления первой строки и третьего столбца.

Определение 2.5. Минором Mij квадратной матрицы A называется определитель ее подматрицы, получаемой путем удаления из нее i-й строки и j-го столбца.

Теорема 2.1. Верна следующая формула раскрытия определителя n-го порядка по любой строке и любому столбцу исходной матрицы:

Доказательство легко проводится для первой строки и основано, как и в приведенном выше примере размерности 3 3, на простой группировке слагаемых в общей формуле определителя по признаку вхождения в них каждого из элементов этой строки. Общий случай получается перестановкой i-й строки на первую позицию с соответствующей сменой знака. Для столбцов опираемся на операцию транспонирования, сохраняющую неизменными все определители и миноры.

Формулу разложения часто пишут более компактно, используя

Определение 2.6. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

квадратной матрицы A называется величина ( 1)(i+j)Mij.

С учетом этого формула раскрытия определителя n-го порядка по любой строке и любому столбцу исходной матрицы примет вид

nn

XX

jAj = aij Aij = aij Aij:

i=1 j=1

22

Пример 2.1. Вычислим определитель

Здесь определитель 4-го порядка разложен по ненулевым элементам первого столбца (они заключены в рамки). В результате он оказался равен сумме соответствующих миноров двух определителей 3-го порядка. Первый из них, в свою очередь, разложен по ненулевым элементам своей второй строки (единственный ненулевой элемент заключен в рамку). Тем самым он оказался равен соответствующему минору 2-го порядка. Другой определитель 3-го порядка разложен по ненулевым элементам своей третьей строки (этих элементов всего два, они также заключены в рамки). Тем самым он также оказался равен сумме соответствующих миноров двух определителей 2-го порядка. В итоге исходный определитель представлен как сумма трех определителей 2-го порядка, что после небольших расчетов дает ответ.

Следствие 2.1. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов некоторой строки/столбца квадратной матрицы на соответствующие элементы другой строки/столбца равна нулю.

Доказательство. В самом деле, сумма

n

X

(i; k) = aijAkj

j=1

при k 6= i равна определителю матрицы, у которой строка с номером k состоит из тех же элементов, что и строка с номером i. Такой определитель равен нулю по свойству 2.8. Рассуждения для случая столбцов аналогичны.

Заметим, что теорему 2.1 и следствие 2.1 можно объединить следующей общей формулировкой.

Следствие 2.2. Для произвольной квадратной матрицы A верно соотношение

nn

XX

где ki символ Кронекера (равен 1 при k = i и 0 в противном случае).

23

2.4. Определители специальных матриц

Опираясь на общее определение и формулы разложения, вычислим определители для ряда специальных матриц.

Во-первых, j0n nj = 0 (очевидно).

Во-вторых6, jdiag( 1; 2; : : : ; n)j = 1 2 : : : n; откуда jEj = 1; j En nj = ( 1)n:

В-третьих, модуль определителя п е р е с т а н о в о ч н о й матрицы равен 1, а знак определяется четностью или нечетностью числа инверсий у подстановки из номеров строк и столбцов ее ненулевых элементов.

В-четвертых, последовательно используя несколько раз разложение определителя н и ж н е т р е у г о л ь н о й матрицы по ее первой строке, получаем

нетреугольную, то и определители верхнетреугольных матриц равны произведению своих диагональных элементов.

Наконец, нетрудно проверить, что определители э л е м е н т а р н ы х матриц также равны произведению их диагональных элементов:

ницы, ее определитель равен 1.

6Здесь мы воспользовались тем, что среди всевозможных произведений элементов диагональной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, от нуля отлично лишь одно произведение элементов, лежащих на ее главной диагонали.

24

2.5. Вычисление определителя методом Гаусса

Метод Гаусса состоит в приведении матрицы к треугольному виду и опирается на свойство 2.9 из п. 2.2 и на то, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Напомним, что согласно свойству 2.9 определитель матрицы не изменится, если к любой ее строке прибавить (поэлементно) произвольную линейную комбинацию любых других ее строк.

Алгоритм приведения определителя к треугольному виду Шаг 1. Предположим, что a11 6= 0: По исходной матрице A постро-

В ней первая строка остается без изменения, а все прочие заменены разностями вида ai 1;i a1, причем множители 1;i = ai1=a11, т. е. подобраны так, чтобы

a(1)i1 = ai1 1;i a11 = 0 (i = 2; : : : ; n);

в силу чего все элементы первого столбца новой матрицы, лежащие ниже главной диагонали, обратились в нуль.

Шаг 2. Предположим далее, что a(1)22 6= 0: По матрице A(1) построим

Теперь уже две первые строки остаются без изменения, а все прочие заменены разностями a(1)i 2;i a(1)2 , причем множители 2;i = a(1)i2 =a(1)22 ,

т. е. подобраны так, чтобы

a(2)i2 = a(1)i2 2;i a(1)22 = 0 (i = 3; : : : ; n):

25

Поскольку первые коэффициенты этих строк равны нулю автоматически, в новой матрице элементы первых двух столбцов, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю.

Продолжая выполнять шаги 3, 4 и т. д., после шага с номером n 1 получим верхнетреугольную матрицу

где

jA(n 1)j = jA(n 2)j = : : : = jA(1)j = jAj:

В результате

n

jAj = jA(n 1)j = Ya(kkn 1): k=1

Работа завершена.

Замечание 2.1. Дополнительные усилия необходимы, когда на очередном шаге диагональный элемент преобразованной матрицы оказался равен нулю:

01

x x | x x x

BC

Если все элементы, лежащие в том же столбце, но ниже диагонального, также равны нулю, то все в порядке и можно переходить к следующему шагу. В противном случае следует так переставить строки нижней части матрицы, чтобы на нужное место диагонали попал ненулевой элемент, после чего выполнить текущий шаг обычным образом. Разумеется, каждая такая перестановка меняет знак результата на противоположный.

Пример 2.2. Вычислим определитель

26

Здесь первый переход связан с перестановкой первых двух строк исходной матрицы, что привело к смене знака определителя. Во время второго перехода две верхние строки были поэлементно вычтены из последней, а во время третьего перехода удвоенная третья строка также была вычтена из последней строки. В итоге мы пришли к треугольной матрице, определитель которой легко вычислить.

Можно прибегнуть и к более изощренной стратегии, когда с целью обретения ненулевого диагонального элемента вначале делается попытка переставить столбцы правой части текущей матрицы, и только если такая попытка не приносит успеха, переходят к перестановке строк. При такой стратегии итоговая матрица имеет вид

BC

где создать очередной ненулевой диагональный элемент невозможно ни перестановкой строк, ни перестановкой столбцов. При этом в левой верхней части получаем максимальную по размерам подматрицу, определитель которой отличен от нуля, что является в приложениях крайне важным, так как позволяет определить так называемый р а н г матрицы.

Пример 2.3. Вычислим определитель

Здесь первый переход связан с поэлементным вычитанием первой строки из второй и удвоенной первой строки из четвертой. Во время второго перехода модифицированная вторая строка также вычитается из четвертой. Третий переход состоит в перестановке двух последних столбцов, что сопровождается сменой знака у определителя. В итоге мы не только вычислили искомый определитель (он равен нулю), но и нашли у исходной матрицы н е в ы р о ж д е н н у ю подматрицу размера 3 3 (т. е. максимальную подматрицу с ненулевым определителем).

27

2.6. Определитель произведения двух матриц

Начнем со вспомогательного утверждения. Пусть

Оказывается, определители таких матриц легко вычисляются.

Теорема 2.2. Если все диагональные блоки приведенных выше матриц A; B; C квадратные, то

jAj = jA11jjA22j; jBj = jB11jjB22j; jCj = jC11jjC22j:

Доказательство проведем для матрицы B. Применим к ней вариант метода Гаусса, в котором при появлении нулевых диагональных элементов используются только перестановки строк. В итоге выполнения всех шагов алгоритма получим верхнетреугольную матрицу вида

Поскольку B21 = 0, то, по правилам алгоритма, строки первой горизонтальной полосы никогда не складывались со строками второй горизонтальной полосы и не менялись с ними местами. Что до второй горизонтальной полосы, то ее строки тем более не прибавлялись к строкам первой горизонтальной полосы. Поэтому произведение диагональных элементов матрицы U11 равно ( 1)p j B11j, а произведение диагональных элементов матрицы U22 равно ( 1)q j B22j, где p и q число перестановок строк в первой и второй полосах соответственно.

^

Вместе с тем произведение всех диагональных элементов матрицы B равно ( 1)p+q j Bj. Поэтому j Bj = j B11j j B22j: Две другие формулы следуют отсюда с очевидностью.

Сформулируем теперь важный для дальнейшего результат.

Теорема 2.3. Пусть A и B квадратные матрицы одного порядка и C = AB. Тогда

jCj = jAjj Bj:

Доказательство. Рассмотрим вспомогательные матрицы

28

Первые n столбцов этих матриц совпадают. Для остальных столбцов, в силу равенств cij = Pnk=1 aikbkj; имеем

n

X

Nn+j = Mn+j + bijMi;

i=1

т. е. столбцы матрицы N с (n + 1)-го по 2n-й получаются из соответствующих столбцов матрицы M путем добавления к ним той или иной линейной комбинации ее первых столбцов M1; M2; : : : ; Mn. Поскольку такое добавление не меняет определителя матрицы, то

jMj = jNj:

Но по теореме 2.2 jMj = jAjj Bj и

jNj = ( 1)n C A = ( 1)nj EjjCj = ( 1)2njCj = jCj;

0 E

где n порядок исходных матриц. Следовательно, jAjj Bj = jMj = jNj = jCj;

что и требовалось доказать.

Замечание 2.2. При применении теоремы 2.2 к матрице N мы были вынуждены сменить порядок ее столбцов, что и сказалось на знаке результата.

29

2.7. Условия равенства определителя нулю

Начнем со следующего определения.

Определение 2.7. Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными.

Свойство вырожденности или невырожденности квадратной матрицы играет важнейшую роль. Поэтому остановимся на условиях, при которых определитель матрицы обращается в нуль.

Определение 2.8. Пусть 1; 2; : : : ; m произвольные числа. Тогда выражение

1x1 + 2x2 + : : : + mxm

называется линейной комбинацией векторов x1; x2; : : : ; xm.

Определение 2.9. Линейная комбинация векторов называется вырожденной, если в ней все числовые множители равны нулю.

Определение 2.10. Векторы x1; x2; : : : ; xm образуют линейно независимую систему, если любая их невырожденная линейная комбинация отлична от нуля (нуль-вектора).

Определение 2.11. Векторы x1; x2; : : : ; xm образуют линейно зависимую систему, если найдется хотя бы одна их невырожденная линейная комбинация, равная нулю (нуль-вектору).

Теорема 2.4. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них совпадает с некоторой (быть может, вырожденной) линейной комбинацией остальных ее векторов.

Доказательство. Пусть система векторов a1; a2; : : : ; am такова, что один из них, например am, есть линейная комбинация остальных, т. е.

am = 1a1 + 2a2 + : : : + m 1am 1:

Тогда после перегруппировки слагаемых имеем

am 1a1 2a2 : : : m 1am 1 = 0;

и, поскольку полученная линейная комбинация не вырождена и равна нулю, эти векторы линейно зависимы.

Обратно, пусть векторы a1; a2; : : : ; am линейно зависимы и

1a1 + 2a2 + : : : + mam = 0

30