Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

4. С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в одинаковой размерности, обозначаемое круглыми скобками:

X

(x; y) = xiyi:

Например,

00 1 0 11

11

@@ 1 A; @ 2 AA = 1 ( 1) + ( 1) 2 + 3 1 = ( 1) + ( 2) + 3 = 0:

31

Результат представляет собой таблицу из всевозможных скалярных произведений векторов-строк первого множителя на векторы-столбцы второго множителя. Чтобы эти скалярные произведения имели смысл, первый матричный множитель должен иметь столько же столбцов, сколько второй строк. Напротив, число строк результирующей матрицы совпадает с числом строк первого множителя, а число ее столбцов с числом столбцов второго множителя.

Например,

5 6

=:

4 13

Замечание 1.1. В силу требования согласованности размерности менять местами матричные множители в общем случае нельзя.

Замечание 1.2. Перечисленные операции неявно вводят в ы ч и - т а н и е матриц одинаковой размерности по естественному правилу

Cm n = Am n Bm n = Am n + ( 1)Bm n = (aij bij)m n:

11

Перечисленные выше арифметические операции над матрицами обладают следующими легко проверяемыми свойствами2:

Убедитесь в справедливости этих свойств самостоятельно. Для примера приведем доказательство свойства 9. Предположим, что размерности всех сомножителей согласованы. Обозначим F = (AB)C, H = A(BC). Совпадение размерности этих матриц очевидно. Элементы первой из них равны

01

X X XX

fij = @ aisbskAckj = aisbskckj:

(k) (s) (k) (s)

Элементы второй вычисляются как

01

X X XX

hij = @ais bskckjA = aisbskckj:

(s) (k) (s) (k)

Поскольку порядок суммирования чисел можно менять, то

2На самом деле это привычные всем переместительный, сочетательный и распределительный законы, а также ряд других. Исключение составляет умножение матриц, где в общем случае AB 6= BA.

12

1.4. Элементарные преобразования матриц

Применение перечисленных выше операций к специальным матрицам обладает рядом важных особенностей.

Так, д и а г о н а л ь н ы е матрицы D = diag( 1; : : : ; s) подходящей размерности, используемые в качестве левых или правых множителей, реализуют соответственно масштабирование строк или столбцов других матриц, а именно:

Умножение произвольной матрицы на п е р е с т а н о в о ч н у ю слева или справа приводит соответственно к перестановке строк или столбцов исходной матрицы в том порядке, в каком следуют единицы перестановочной матрицы. Например,

Н и ж н е - и в е р х н е т р е у г о л ь н ы е матрицы интересны тем, что при перемножении снова дают нижне- и верхнетреугольные матрицы. Кроме того, они раскладываются в произведения элементарных матриц, например:

Умножение произвольной матрицы на в е к т о р - с т р о к у слева

13

Отсюда для в е к т о р о в - о р т о в выполняются равенства

k-й столбец

где jk символ Кронекера (равен 1 при k = j и 0 в противном случае).

Для элементарной матрицы имеем представление

14

где w вектор-столбец, отличающий матрицу T от единичной и расположенный в ее k-й позиции (при этом tkk = 1 + wk).

Теорема 1.1. Умножение матрицы Am n слева на элементарную матрицу Tm m = E + we>k приводит к тому, что k-я строка исходной матрицы последовательно добавляется ко всем другим ее строкам в промасштабированном виде, а в случае wk 6= 0 и сама к себе.

am + wm ak

Определение 1.5. Поэлементное добавление одной из строк матрицы ко всем другим ее строкам (быть может, в промасштабированном виде) называется э л е м е н т а р н ы м преобразованием этой матрицы.

В качестве упражнения проверьте, что умножение слева (3 3)– матрицы A на матрицу вида

приведет к тому, что у исходной матрицы 1-я строка дважды прибавится ко 2-й и трижды вычтется из 3-й.

Аналогично умножение слева (3 3)–матрицы A на матрицу вида

01

приведет к тому, что у исходной матрицы 3-я строка дважды прибавится к 1-й и трижды вычтется из 2-й.

15

1.5. Блочные матрицы и действия над ними

Определение 1.6. Блочной называется матрица, разделенная на ряд горизонтальных и/или вертикальных полос.

Блочную матрицу можно рассматривать как матрицу, чьи элементы сами являются матрицами и/или векторами. Например, следующая

Большинство операций над блочными матрицами, размеры блоков которых с о г л а с о в а н ы, можно производить так, словно их блоки обычные числа. Необходимо только помнить, что матричные множители в общем случае нельзя менять местами.

Проиллюстрируем основные операции над блочными матрицами на простом примере. Пусть

A11 A12 B11 B12

A = ; B = :

Если размеры блоков согласованы, то верны следующие формулы:

умножение матрицы на число

16

транспонирование

В частности, при умножении матриц

0 1

a1B

BC

Ba2B C

где ai строки матрицы A; а Bj столбцы матрицы B:

Блочные матрицы полезны при агрегированном описании и изучении больших систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных подсистем, каждая из которых может иметь свои структурные и иные особенности.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое матрицы? Из чего они состоят?

2.Что такое размерность матрицы?

3.Какие матрицы признаются равными?

4.Какие специальные классы матриц рассматриваются в линейной алгебре?

5.Перечислите основные арифметические операции над матрицами.

6.Каким законам подчиняются арифметические матричные операции?

7.В чем состоит специфика операций над диагональными матрицами?

8.В чем состоит специфика операций над треугольными матрицами?

9.В чем состоит специфика операций над матрицами, состоящими из одного столбца или из одной строки?

10.Чем интересны элементарные матрицы? Что такое элементарное преобразование матрицы?

11.Что такое блочная матрица? Сколько горизонтальных или вертикальных полос она может содержать?

17

2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1.Что такое определитель матрицы

Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие некоторое число, называемое ее определителем (или детерминантом) и обозначаемое jAj или det(A).

Чтобы понять, как это делается, нам потребуется

Определение 2.1. Подстановкой порядка n называется произвольное взаимно-однозначное отображение множества Nn = f1; 2; : : : ; ng в себя.

Такого рода отображения задаются (2 n)-матрицами соответствия, первая строка которых содержит числа от 1 до n, а вторая образы этих чисел при рассматриваемом отображении.

Ниже приведены примеры подстановочных матриц 3-го порядка:

Обозначим через Pn совокупность всех подстановок порядка n.

Обозначим через J(P) число инверсий в подстановке P: В частности, для приведенных выше примеров

J(P) = 2; J(P0) = 3; J(P00) = 1:

Заметим, что перестановка строк или столбцов подстановочной матрицы не меняет числа ее инверсий.

Определение 2.3. Детерминантом (определителем) квадратной матрицы называется величина

Здесь суммируются всевозможные произведения ее элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое такое произведение берется со своим или с противоположным знаком в

19

зависимости от четности или нечетности числа инверсий в подстановке, образуемой номерами строк и столбцов, в которые эти элементы входят.

Проиллюстрируем приведенное выше общее правило вычисления определителя на матрицах небольшого порядка3.

a31 a32 a33

=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a31a22a13 a21a12a33 a11a32a23:

Перегруппировав слагаемые в последней формуле, приходим к соотношению

где определитель матрицы большего размера вычисляется через определители ее подматриц размера, на единицу меньшего. В дальнейшем этот подход будет перенесен на определители n-го порядка.

2.2. Простейшие свойства определителей

Следующие утверждения являются достаточно очевидными следствиями общего определения либо последовательно вытекают друг из друга.

Свойство 2.1. jA>j = jAj: Свойство 2.2. j An nj = njAn nj.

3Отметьте на схеме матрицы те ее элементы, произведения которых входят в определитель со своим знаком, и те элементы, которые входят в него с обратным знаком. Какие фигуры они составляют?

20