Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

именно та их невырожденная линейная комбинация, что равна нулю. В силу невырожденности этой линейной комбинации хотя бы один ее числовой коэффициент, например m, отличен от нуля. Тогда

т. е. вектор am есть линейная комбинация остальных векторов системы. Доказательство завершено.

Приведем ряд очевидных следствий доказанной теоремы.

Следствие 2.3. Любая подсистема системы линейно независимых векторов сама линейно независима.

Следствие 2.4. Если произвольная подсистема некоторой системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

Следствие 2.5. Система векторов, в которую входит нулевой вектор, всегда линейно зависима.

Сформулируем теперь критерий вырожденности произвольной квадратной матрицы (т. е. необходимые и достаточные условия равенства нулю ее определителя).

Теорема 2.5. Квадратная матрица An n вырождена тогда и только тогда, когда ее строки образуют линейно зависимую систему векторов. То же верно для ее столбцов.

Доказательство, в силу свойств операции транспонирования, достаточно провести для векторов-строк исходной матрицы. Пусть исходная матрица вырождена, т. е. ее определитель равен нулю. Применим к ней метод Гаусса с перестановками столбцов и строк. В итоге мы должны получить матрицу типа

BC

которая содержит хотя бы одну нулевую строку (иначе jAj 6= 0). Но поскольку все, что мы делали в ходе алгоритма, так это масштабировали строки матрицы и складывали их друг с другом в порядке следования, то нулевая строка конечной матрицы, пусть для определенности

31

3. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ

3.1. Формула Крамера

Мы изучили операции матричного сложения, вычитания и умножения. Осталось найти аналог операции деления для матриц.

Определение 3.1. Матрица B называется о б р а т н о й для квадратной матрицы A, если

BA = AB = E:

Обратная матрица обозначается A 1 (и н и к а к и н а ч е).

Обратные матрицы существуют не для всех матриц.

Определение 3.2. Матрица называется невырожденной, если ее

определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

Покажем, что любая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу (и притом только одну), которая также невырождена.

Теорема 3.1. Обратная матрица A 1 существует тогда и только тогда, когда исходная квадратная матрица A невырождена. При этом она равна

где Aij алгебраические дополнения элементов матрицы A = (aij).

Доказательство. Необходимость невырожденности обращаемой матрицы следует из теоремы об определителе произведения двух матриц и того, что jAjjA 1j = jAA 1j = jEj = 1. Достаточность обосновывается тем, что для невырожденной матрицы A можно сформировать так называемую матрицу Крамера из алгебраических дополнений ее элементов:

33

которая обладает легко проверяемым свойством:

MA = AM = E:

В самом деле, по теореме 2.1 и ее следствию 2.1

где ij символ Кронекера.

Покажем, что обратная матрица является единственной. В самом деле, пусть B0 и B00 две такие матрицы. Тогда

B0 = B0E = B0AB00 = EB00 = B00:

Теорема доказана.

Замечание 3.1. Умножение на обратные матрицы играет роль своеобразного д е л е н и я в мире матриц. При этом, как и раньше, переставлять множители нужно с осторожностью. Например,

A BB 1 C = A B 1B C = AC;

| {z} |{z}

EE

Обратные матрицы обладают рядом простых свойств:

1: ( A) 1 = 1A 1; 2: (A 1) 1 = A; 3: (A 1)> = (A>) 1; 4: (AB) 1 = B 1A 1; 5: jA 1j jAj = 1:

Проверьте эти свойства самостоятельно.

Пример 3.1. Найдем обратную матрицу к матрице

34

Поскольку jAj = 1; то матрица, обратная к A; существует. По теореме 3.1 нам достаточно вычислить алгебраические дополнения к каждому

В заключение вычислим несколько специальных обратных матриц. Во-первых, E 1 = E.

Во-вторых, если D = diag( 1; 2; : : : ; n; ) и все i 6= 0, то непосредственно проверяется, что

D 1 = diag(1= 1; 1= 2; : : : ; 1= n; ):

В-третьих, для перестановочных матриц P операция обращения совпадает с операцией их транспонирования, что поясняет пример

В-четвертых, для невырожденной элементарной матрицы

T = E + we>k

обратная матрица также является элементарной и имеет вид

35

3.2. Обращение матриц методом Жордана Гаусса

На практике обратную матрицу чаще вычисляют не на основе формул Крамера, а методом исключения Жордана Гаусса. Этот метод в целом похож на метод Гаусса вычисления определителя квадратной матрицы.

Метод Жордана Гаусса применяют к расширенной матрице вида

составленной из обращаемой матрицы A и единичной матрицы E. Метод состоит из серии однотипных шагов, в ходе выполнения которых расширенная матрица подвергается некоторым преобразованиям.

Алгоритм Жордана Гаусса

Шаг 1. Пусть a11 6= 0: По исходной матрице W составим новую матрицу, которую обозначим через W(1). Первая строка новой матрицы равна w1(1) = w1=a11, что автоматически влечет равенство w11(1) = 1. Все прочие строки определяются по правилу

В результате wk;(1)1 = 0 при k = 2; : : : ; n, т. е. матрица W(1) принимает вид

В ней первый столбец левой половины превратился в 1-й единичный орт, а первый столбец правой половины заполнился некоторыми числами.

Шаг 2. Пусть a(1)22 6= 0: Опираясь на матрицу W(1), составим следующую матрицу, которую обозначим через W(2). В ней уже вторая

36

строка заменяется выражением w2(2) = w2=a(1)22 , что автоматически влечет равенство w22(2) = 1. Все прочие строки определяются по правилу

(1)

wk(2) = wk(1) ak(1)2 w2(1); k = 1; 3; : : : ; n: a22

В результате wk;(2)2 = 0 при k = 1; 3; : : : ; n, т. е. матрица W(2) принимает вид

где теперь и второй столбец левой половины превратился во 2-й единичный орт, а второй столбец правой половины заполнился некоторыми числами.

Продолжая выполнять шаги 3, 4 и т. д., после шага с номером n

у которой на месте исходной матрицы образовалась единичная, а на месте единичной некоторая итоговая матрица.

Работа алгоритма завершена.

Результатом является правая половина расширенной матрицы, где, как мы покажем чуть ниже, расположилась матрица, обратная к матрице A, т. е. матрица A 1.

Замечание 3.2. Дополнительные усилия необходимы, когда на очередном шаге диагональный элемент левой части преобразованной

37

В этом случае следует так переставить строки нижней части расширенной матрицы, чтобы на нужное место диагонали попал ненулевой элемент, после чего продолжить выполнение алгоритма. Отсутствие нужной перестановки означает, что исходная матрица вырождена и не имеет обратной.

Перейдем теперь к обоснованию результата.

Каждый шаг алгоритма Жордана Гаусса эквивалентен умножению текущей расширенной матрицы слева на некоторую элементарную матрицу или на матрицу перестановки строк7. Обозначая такие матрицы через T(1), T(2), T(3) и т. д., имеем цепочку равенств

W(n) = T(n)W(n 1) = T(n)T(n 1) : : : T(2)T(1)W;

так что итоговая матрица W(n) получается из исходной матрицы W путем умножения слева на некоторую матрицу-произведение

H = T(n)T(n 1) : : : T(2)T(1);

где справа выписаны в обратном порядке все элементарные и перестановочные матрицы, принимавшие участие в алгоритме, n их общее число. Следовательно,

W(n) = HW = H (AjE) = ( HA j HE ):

Вместе с тем W(n) = ( E j M ), где M некоторая матрица. Отсюда следует, что H = A 1 и занимает как раз правую половину результирующей расширенной матрицы W(n), т. е. M = H.

Пример 3.2. Пусть требуется найти обратную матрицу к матрице

7Например, умножение k-й строки на число эквивалентно умножению слева на диагональную матрицу, отличающуюся от единичной единственной позицией (k; k); где расположился элемент ; сложение k-й строки с r-й эквивалентно умножению слева на матрицу, отличающуюся от единичной дополнительной единицей в позиции (k; r) и т. д.

38

4.РАНГ МАТРИЦЫ

4.1.Три подхода к определению ранга матрицы

Подчеркнем, что она может быть и прямоугольной.

Определение 4.1. Рангом матрицы A называется порядок ее максимальной по размеру невырожденной квадратной подматрицы.

Максимальную по размеру невырожденную подматрицу будем называть б а з и с н о й, или р а н г о в о й (их может быть несколько).

Ранг матрицы A обозначается rank A.

Напомним, что мы уже находили максимальные невырожденные подматрицы в подразделе 2.5, когда вычисляли определители методом Гаусса с использованием перестановок строк и столбцов в случае возникновения в матрице нулевого диагонального элемента.

Для удобства обозначений всюду в дальнейшем будем считать исходную матрицу разбитой на блоки

01

BC

@ A

A21 A22

таким образом, что ее ранговая подматрица (выделена рамкой) занимает левое верхнее положение, т. е. совпадет с A11. Строки и столбцы матрицы A; на пересечении которых расположена базисная подматрица, будем называть б а з и с н ы м и (отвечающими данной конкретной базисной подматрице).

Приведем простейшие свойства ранга.

Свойство 4.1. Для всякой матрицы rank Am n minfm; ng.

Свойство 4.2. Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании.

Свойство 4.3. Ранг матрицы не может быть меньше ранга любой ее подматрицы.

40