Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

Свойство 4.4. Ранг любой подматрицы не может быть больше ранга самой матрицы.

Теорема 4.1. Пусть в матрице A выделена некоторая базисная (ранговая) подматрица, например A11. Тогда входящие в нее базисные столбцы линейно независимы, и все прочие столбцы исходной матрицы являются их линейными комбинациями. Аналогичное утверждение верно для строк.

Доказательство проведем для столбцов. Пусть r = rank A. Предполагая, что ранговая подматрица занимает левый верхний угол исходной матрицы, рассмотрим квадратную подматрицу (r + 1)-го порядка:

0 1 a11 a12 : : : a1r a1j

Ba21 a22 : : : a2r a2j C

BC

M = B : : : : : : : : : : : : : : : C;

BC @ ar1 ar2 : : : arr arj A

ai1 ai2 : : : aik aij

полученную из базисной подматрицы путем ее окаймления элементами i-й строки и j-го столбца матрицы A (здесь j > r, i любое). По определению ранга jMj = 0. Разлагая этот определитель по элементам последней строки, получаем

1 ai1 + 2 ai2 + : : : + k air + 0 aij = 0 (8i);

где k алгебраические дополнения этих элементов и 0 = jA11j 6= 0.

А поскольку коэффициенты в этих линейных комбинациях не зависят от i, то верно

что и требовалось. Доказательство для строк проводится аналогично.

Определение 4.2. Набор линейно независимых столбцов (строк) матрицы A называется максимальным, если при присоединении к нему любого другого столбца (строки) этой матрицы его элементы становятся линейно зависимыми.

Следствие 4.1. Какова бы ни была базисная подматрица, отвечающие ей столбцы/строки образуют максимальные наборы линейно независимых столбцов/строк исходной матрицы.

41

Покажем, что верно в некотором смысле обратное утверждение.

Теорема 4.2. Все максимальные наборы линейно независимых столбцов и все максимальные наборы линейно независимых строк матрицы A содержат одно и то же число векторов.

Доказательство проведем для столбцов исходной матрицы. Пусть имеется два масимальных набора ее линейно независимых столбцов

A1; A2; : : : ; Ap и Aj1 ; Aj2 ; : : : ; Ajq :

Предположим, что p < q. Представим элементы второго набора в виде линейных комбинаций элементов первого набора, что можно сделать в силу его максимальности. Получим систему

8

> Aj1 = w11A1 + w12A2 + : : : + w1pAp ;

>

>

> A = w A + w A + : : : + w A ;

< j2 21 1 22 2 2p p

> : : :

>

>

>

: Ajq = wq1A1 + wq2A2 + : : : + wqpAp :

Составим из коэффициентов этих соотношений матрицу W = (wij)q p. Поскольку rank W minfp; qg = p < q; то по теореме 4.1 строки этой матрицы линейно зависимы, и потому найдутся такие не все равные нулю множители i, что

т. е. невырожденная линейная комбинация векторов второго набора равна нулю, что говорит об их линейной зависимости. Полученное противоречие убеждает нас в невозможности неравенства p < q. Невозможность неравенства q < p обосновывается аналогично. В результате остается q = p. Доказательство завершено.

Следствие 4.2. Ранг матрицы A совпадает с максимальным числом ее линейно независимых строк, и он же совпадает с максимальным числом ее линейно независимых столбцов.

42

Таким образом, ранг матрицы совпадает с порядком ее максимальной по размеру невырожденной подматрицы, и он же совпадает с максимальным числом линейно независимых строк/столбцов, которые можно в ней выделить.

4.2. Преобразования матриц, сохраняющие их ранг

Ранг матрицы сохраняется при некоторых ее преобразованиях.

Теорема 4.3. Пусть имеются матрицы Am n, Bm m и Cn n, причем две последние невырождены. Тогда

rank A = rank (BA) = rank (AC):

Доказательство проведем только для матричного умножения слева (умножение справа сводится к нему операцией транспонирования рассматриваемых матриц). Мы покажем, что одни и те же столбцы матриц A и M, где

M = BA = ( BA1j BA2j : : : j BAn);

образуют линейно зависимые (или, напротив, линейно независимые) системы. В самом деле, если, с одной стороны, некоторый столбец матрицы A равен линейной комбинации ряда других ее столбцов, например

Aj = 1A1 + 2A2 + : : : + rAr;

то, умножив обе части этого равенства слева на матрицу B; получим аналогичное разложение для тех же самых столбцов матрицы BA. Следовательно, если некоторые столбцы матрицы A образуют линейно зависимую систему, то аналогичные столбцы матрицы M = BA также линейно зависимы.

С другой стороны, пусть имеет место равенство

Mj = 1M1 + 2M2 + : : : + rMr;

где Mi столбцы матрицы M = BA = ( BA1j BA2j : : : j BAn). Это значит, что

BAj = 1BA1 + 2BA2 + : : : + rBAr:

Умножив обе части этого равенства слева на B 1, получим аналогичное соотношение для столбцов матрицы A.

43

Следовательно, столбцам, которые образуют линейно зависимые системы в матрице M = BA, соответствуют линейно зависимые столбцы исходной матрицы A. Доказательство завершено.

Следствие 4.3. Если в матрице A выделены максимальная группа ее линейно независимых строк и максимальная группа ее линейно независимых столбцов, то подматрица, лежащая на пересечении этих строк и столбцов, является базисной.

Доказательство основано на перечисленных выше преобразованиях исходной матрицы (из каждых ее линейно зависимых строки и столбца вычитаются соответствующие линейные комбинации выделенных строк и столбцов), что приводит матрицу к виду

01

x x x 0 0 0 0

B x x x 0 0 0 0 C

BC

A = B x x x 0 0 0 0 C;

BC

где ненулевые элементы лежат только на пересечении выделенных строк и столбцов. Понятно, что выделенная подматрица имеет линейно независимые строки и столбцы и является единственным кандидатом на роль базисной.

4.3. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса

Для вычисления ранга матрицы не обязательно перебирать все ее квадратные подматрицы с целью обнаружения тех из них, что невырождены. Можно воспользоваться аналогом метода Гаусса вычисления определителя квадратной матрицы.

Метод Гаусса основан на двух типах преобразований, сохраняющих ранг матрицы неизменным. Это умножение строк и/или столбцов матрицы на произвольные ненулевые множители (реализуется умножением слева или справа на диагональные матрицы масштабирования) и прибавление к любым строкам и/или столбцам матрицы произвольных линейных комбинаций других ее строк и/или столбцов соответственно (реализуется умножением слева или справа на матрицы элементарных преобразований).

Шаги метода Гаусса, предназначенного для вычисления ранга матрицы, д о с л о в н о повторяют шаги метода Гаусса вычисления

44

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Основные определения

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид

>

>

: am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm:

Здесь (aij)m n и (bi)m заданные числовые коэффициенты левых и правых частей уравнений, (xj)n неизвестные системы.

С использованием векторно-матричных обозначений эта же система

Определение 5.1. Упорядоченный набор числовых значений неизвестных x1; x2; : : : ; xn (соответственно вектор x = (xj)n) называется решением системы уравнений, если после подстановки этих значений в каждое из уравнений последние обращаются в тождества.

Определение 5.2. СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 5.3. СЛАУ называется однородной, если все ее правые части равны нулю, и неоднородной в противном случае.

46

Определение 5.4. Две системы уравнений называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Нам нужно научиться отвечать на вопросы, имеет ли конкретная система решения, сколько их и как их найти.

5.2. Теорема Кронекера Капелли

Перепишем исходную систему уравнений

Ax = b

в виде векторного равенства

A1x1 + A2x2 + : : : + Anxn = b:

Это дает нам первое очевидное утверждение.

Теорема 5.1. Для совместности системы алгебраических линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы вектор ее правых частей совпадал с одной из линейных комбинаций векторов-столбцов матрицы ее коэффициентов.

Следствием этого утверждения является

Теорема 5.2 (Кронекера Капелли). Для совместности системы линейных уравнений

Ax = b

необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов A совпадал с рангом ее р а с ш и р е н н о й матрицы

C = A b ;

составленной из матрицы A и вектора правых частей b.

Доказательство использует тот факт, что при присоединении к матрице дополнительного столбца (в данном случае столбца правых частей) ранг матрицы может только возрасти. Однако такой рост невозможен в случае, когда присоединяемый столбец является линейной комбинацией уже имеющихся столбцов, что и дает искомое утверждение.

Приведем несколько простых следствий теоремы 5.2.

47

Следствие 5.1. Система линейных уравнений заведомо совместна, если ранг матрицы ее коэффициентов совпадает с числом входящих в нее уравнений.

В самом деле, ранг расширенной матрицы системы в этом случае не может возрасти по сравнению с рангом матрицы ее коэффициентов, так как ограничен числом ее строк (это число у обеих матриц одно и то же).

Следствие 5.2. Однородная система всегда совместна.

В самом деле, нулевой вектор может быть представлен как тривиальная линейная комбинация произвольного набора векторов. Такое решение однородной системы называется т р и в и а л ь н ы м.

5.3. Ранговое строение расширенной матрицы

Выше мы воспользовались определением ранга матрицы как максимального числа ее линейно независимых столбцов. Теперь вспомним, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк.

Рассмотрим ранговое блочное строение расширенной матрицы исходной системы уравнений

где A11 ранговая подматрица матрицы A. Поскольку для совместных систем она также является ранговой и для расширенной матрицы, получаем

Следствие 5.3. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда все неранговые строки ее расширенной матрицы (если таковые имеются) являются линейными комбинациями ее ранговых строк.

Замечание 5.1. Очевидно, что наборы значений неизвестных, обращающие в тождества ранговые уравнения совместной системы, обращают также в тождества и все их линейные комбинации, а значит, и все неранговые уравнения, которые, таким образом, могут быть удалены из системы без ущерба для множества ее решений.

48

Перейдем теперь к т е о р е т и ч е с к о й классификации систем линейных уравнений, в основу которой положены свойства их ранговых подматриц.

5.4. Невырожденные квадратные системы

Начнем с невырожденных квадратных систем линейных уравнений. Пусть

Ax = b

является именно такой системой.

Определение 5.5. Главным определителем квадратной системы линейных уравнений порядка n называется определитель матрицы ее коэффициентов A.

Определение 5.6. Вспомогательным определителем i квадратной системы линейных уравнений порядка n называется определитель, который получается из главного заменой его i-го столбца на столбец правых частей (1 i n).

Таким образом,

= jAj; i = j (A1; : : : ; Ai 1; b; Ai+1 : : : ; An) j (i = 1; : : : ; n):

Подчеркнем, что значение главного определителя не зависит от вектора правых частей решаемой системы.

Имеет место следующая

Теорема 5.3 (теорема Крамера). Пусть главный определитель квадратной системы линейных уравнений отличен от нуля, т. е. 6= 0. Тогда, каков бы ни был вектор ее правых частей, эта система имеет единственное решение вида

x = (xi)n; где xi = i ; i = 1; : : : ; n:

Доказательство. По условию матрица A квадратная и имеет ненулевой определитель. Поэтому она обладает обратной матрицей A 1. Умножив на нее обе части векторно-матричного уравнения Ax = b, получим общую формулу решения последнего в виде

x = A 1b:

49

Нетрудно видеть, что главный определитель этой системы, будучи разложенным по своему первому столбцу, равен

Он отличен от нуля, и потому система имеет единственное решение. Разлагая вспомогательные определители по столбцу правых частей, получаем

В итоге имеем решение x = ( 2; 1; 2):

Замечание 5.2. Для решения квадратной системы не всегда нужны такие сложные расчеты. Так, системы с невырожденной треугольной матрицей коэффициентов решаются весьма просто.

50