Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

Пример 5.2. Решим систему

8

< x1 + x2 x3 = 1;

2x2 + x3 = 0;

:x3 = 2:

Из последнего уравнения находим x3 = 2. Подставляя это значение во второе уравнение, находим x2 = 12(0 2) = 1. Наконец, подставляя оба найденных значения x2 = 1 и x3 = 2 в первое уравнение, получаем x1 = 1 ( 1) + 2 = 4. Такая процедура называется о б р а т н о й п о д с т а н о в к о й.

5.5. Переопределенные системы полного ранга

Определение 5.7. Система линейных уравнений с матрицей Am n называется переопеределенной полного ранга, если rank A = n < m.

Исходные данные переопределенной системы полного ранга имеют следующее блочное строение:

!!

а сама она вид

A1 x = b1; A2 x = b2;

где A1 б а з и с н а я (ранговая) подматрица матрицы A, b1 базисные и b2 свободные правые части.

Теорема 5.4. Переопределенная система полного ранга, приведенная выше, совместна и имеет единственное решение x = A1 1b1 тогда и только тогда, когда строки нижней горизонтальной полосы ее расширенной матрицы

!

A1 b1

C =

A2 b2

являются линейными комбинациями строк ее верхней горизонтальной полосы.

Доказательство совместности вытекает из теоремы Кронекера Капелли и опирается на определение ранга расширенной матрицы как

51

максимального числа ее линейно независимых строк. Формула решения обосновывается тем, что уравнения совместной переопределенной системы, не входящие в базисный набор, можно удалить из системы без ущерба для ее решения; при этом остается квадратная невырожденная подсистема, которая решается правилом Крамера.

5.6. Недоопределенные системы полного ранга

Определение 5.8. Система линейных уравнений с матрицей Am n называется недоопределенной полного ранга, если rank A = m < n.

Исходные данные недоопределенной системы полного ранга имеют следующее блочное строение:

а сама она вид

A1 x1 + A2 x2 = b;

где A1 б а з и с н а я (ранговая) подматрица матрицы A, x1 базисные и x2 свободные неизвестные.

Теорема 5.5. Недоопределенная система полного ранга, приведенная выше, совместна при любых значениях своих правых частей, а все ее решения получаются из формулы

Доказательство. Система уравнений

A1 x1 + A2 x2 = b

эквивалентна системе

x1 = A1 1(b A2 x2) = A1 1b A1 1A2 x2 = w Hx2:

Придавая свободным неизвестным x2 произвольные значения, обозначаемые параметром t, получаем согласованные с ними значения базисных неизвестных x1 = w Ht, что и указано в формулировке теоремы.

52

Замечание 5.3. Очень важно подчеркнуть, что полученное выше общее решение неоднородной недоопределенной системы полного ранга представляет собой с у м м у д в у х с л а г а е м ы х. Первое из них есть частное решение неоднородной системы x^> = w> j 0> , а второе представляет собой произвольную линейную комбинацию столбцов матрицы

т. е. векторы-столбцы матрицы являются решениями однородной системы Ax = 0: При этом они линейно независимы, и любое другое решение однородной системы может быть получено, как некоторая их линейная комбинация.

Определение 5.9. Система векторов-решений однородной системы уравнений называется ф у н д а м е н т а л ь н о й, если эти решения линейно независимы и любое другое решение этой системы может быть получено как некоторая их линейная комбинация.

Подчеркнем, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Этому факту в последующем будет дана геометрическая интерпретация.

5.7. Системы неполного ранга (общий случай)

Перейдем к анализу общего случая, когда rank A = r < min(m; n). Это означает, что исходные данные анализируемой системы имеют

блочное строение вида

01

асама система может быть переписана как

A11 x1 + A12 x2 = b1; A21 x1 + A22 x2 = b2;

53

где A11 базисная подматрица (выделена рамкой), x1 и b1 б а з и с- н ы е и x2 и b2 соответственно с в о б о д н ы е блоки исходных векторов.

Мы сведем анализ выписанной системы к случаю недоопределенной системы полного ранга. Начнем с того, что в изучаемом здесь случае верно следующее следствие теоремы Кронекера Капелли.

Следствие 5.4. Система неполного ранга, приведенная выше, совместна тогда и только тогда, когда неранговые строки ее расширенной матрицы

!

A11 A12 b1

C =

A21 A22 b2

являются линейными комбинациями ее ранговых строк.

Если система уравнений неполного ранга совместна, то ее уравнения, не входящие в базисный блок, можно удалить из системы без ущерба для ее решения. В результате приходим к аналогу теоремы 5.5, которую мы формулировали для недоопределенной системы полного ранга.

Теорема 5.6. Если система уравнений неполного ранга совместна, то она имеет бесконечно много решений, и все они могут быть получены из формулы

симых числовых параметров (степеней свободы).

Доказательство повторяет доказательство теоремы 5.5.

Исследование вариантов рангового строения расширенной матрицы системы алгебраических линейных уравнений завершено.

5.8. Обобщающие выводы

Подведем итог приведенным в предыдущих подразделах теоремам. Пусть имеется неоднородная система линейных уравнений

Ax = b

54

и отвечающая ей однородная система

Ax = 0;

где размерность матрицы A равна m n:

Теорема 5.7. Неоднородная система совместна тогда и только тогда, когда

rank A = rank A b :

Теорема 5.8. В случае совместности общее решение неоднородной системы является суммой одного из ее частных решений (не важно, какого именно) и общего решения отвечающей ей однородной системы.

Следствие 5.5. Однородная система уравнений имеет единственное решение (нулевое) тогда и только тогда, когда rank A = n: В противном случае она имеет бесконечно много решений, и все они получаются как всевозможные линейные комбинации некоторых n rank (A) ее частных линейно независимых решений.

Следствие 5.6. Для того, чтобы система линейных уравнений с фиксированной матрицей коэффициентов была совместной вне зависимости от того, каким выбран вектор ее правых частей, необходимо и достаточно, чтобы rank A = m:

Следствие 5.7. Для того, чтобы система линейных уравнений с фиксированной матрицей коэффициентов имела единственное решение вне зависимости от того, каким выбран вектор ее правых частей, необходимо и достаточно, чтобы rank A = n = m:

На этом мы заканчиваем качественную теорию систем линейных уравнений и переходим к численным методам их решения. Как и выше, такие методы будут основаны на преобразовании исходной системы уравнений к виду, удобному для ее анализа.

5.9. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений

Мы уже знакомы с преобразованиями, сохраняющими неизменными определители и ранг матриц. Покажем, что схожие преобразования расширенной матрицы системы линейных уравнений не меняют множества ее решений.

55

Теорема 5.9. Пусть Bm m произвольная невырожденная квадратная матрица. Тогда системы

Ax = b и BAx = Bb

эквивалентны, т. е. имеют одно и то же множество решений.

Доказательство. Пусть x решение первой системы, т. е.

Ax = b:

Умножая обе части этого векторно-матричного уравнения слева на матрицу B, убеждаемся, что вектор x удовлетворяет и второй системе:

BAx = Bb:

Обратно, пусть x решение второй системы, т. е.

BAx = Bb:

Умножая обе части этого векторно-матричного уравнения слева на матрицу B 1 (которая существует в силу невырожденности B), убеждаемся, что вектор x удовлетворяет также и первой системе:

Ax = b

(здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что B 1B = E). Доказательство завершено.

Частным случаем невырожденных преобразований являются уже неоднократно рассмотренные выше масштабирование и перестановка строк расширенной матрицы, а также элементарное преобразование расширенной матрицы ее коэффициентов, а именно: прибавление к любой ее строке линейной комбинации любых других ее строк (реализуется умножением слева на подходящую элементарную матрицу). Удачное комбинирование таких преобразований способно привести исходную систему уравнений к более удобному для ее решения виду. Именно на этом и основан метод исключения Жордана Гаусса.

5.10. Метод исключения Жордана Гаусса

Метод Жордана Гаусса решения общих систем линейных уравнений

Ax = b

56

в целом похож на одноименный метод нахождения обратной матрицы, но применяется к расширенной матрице вида

Каждая строка расширенной матрицы по очереди должна побывать в роли в е д у щ е й строки. На каждом шаге в ее левом блоке выбирается ненулевой элемент, который тоже называется в е д у щ и м, как и столбец, в котором он расположен. Обычно ведущий элемент выбирают среди диагональных, если это возможно. Если строка не содержит ненулевых элементов в левом блоке, она опускается, и на роль ведущей выбирается следующая за ней.

Типичный ш а г алгоритма Жордана Гаусса состоит в следующем преобразовании расширенной матрицы:

а) все элементы ведущей строки делятся на ведущий элемент; б) элементы всех прочих строк заменяются их разностью с соответ-

ствующими элементами ведущей строки, домноженными на расположенные в этих строках элементы ведущего столбца.

Это все равно, как если бы мы умножили текущую расширенную матрицу слева на элементарную матрицу вида T = E + we>p , где p номер ведущей строки, q номер ведущего столбца и все

В результате ведущий столбец преобразованной расширенной матрицы заполняется нулями, и только на месте ведущего элемента остается единица:

После нескольких таких шагов (и, возможно, после некоторой перестановки строк и перенумерации столбцов и связанных с ними неизвест-

57

ных) итоговая расширенная матрица примет вид

Введем обозначения для блоков итоговой матрицы и связанных с ними неизвестных:

Если провести аналогичное разбиение исходной матрицы

то легко проверить, что последовательность шагов метода Жодана Гаусса эквивалентна умножению исходной матрицы слева на матрицу вида

так что

H = A111A12; w1 = A111 b1; w2 = b2 A21A111 b1:

Взависимости от того, какие из выделенных блоков присутствуют

витоговой матрице, различают следующие варианты окончания алгоритма:

1. Нижняя горизонтальная и вторая вертикальная полосы в итоговой расширенной матрице отсутствуют, так что m = n = r = rank A. Имеем случай квадратной невырожденной системы уравнений с единственным решением x = x1 = w1.

58

2. Вторая вертикальная полоса отсутствует, но нижняя горизонтальная присутствует, так что rank A = n < m. Имеем случай переопределенной системы полного ранга. Если w2 6= 0, то эта система несовместна, в противном случае ее единственное решение также равно x = x1 = w1.

3. Вторая вертикальная полоса присутствует, но нижняя горизонтальная отсутствует, так что rank A = m < n. Имеем случай недоопределенной системы полного ранга. Если w2 6= 0, то эта система несовместна, в противном случае все ее решения можно получить по формуле

где t векторный параметр с (n r) степенями свободы.

4. Все блоки присутствуют в итоговой матрице. Перед нами недоопределенная система неполного ранга rank A < min(m; n). И вновь, если w2 6= 0, то эта система несовместна, в противном случае все ее решения можно получить по формуле

где t векторный параметр с (n r) степенями свободы.

Пример 5.3. Решим систему линейных уравнений

>

>

<

> x3 + 2x4 + x5 = 1;

>

: x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + x5 = 5:

Ее расширенная матрица имеет вид

Выбирая в качестве ведущих первую строку и первый столбец (ведущий элемент взят в рамку), проводим первый шаг алгоритма Жордана Гаусса. Получаем (после вычитания первой строки из второй и четвертой)

59

Теперь роль ведущей переходит ко второй строке. Выбираем в качестве ведущего второй столбец (второй ведущий элемент также взят в рамку) и проводим второй шаг алгоритма. После вычитания второй строки из первой и четвертой получаем

Наконец, взяв в качестве ведущей третью строку и третий столбец (ведущий элемент вновь взят в рамку), выполняем третий шаг алгоритма. Получаем (после вычитания третьей строки из четвертой)

Последняя строка расширенной матрицы заполнилась нулями и в качестве ведущей не рассматривается. Тем самым мы установили, что последнее уравнение есть линейная комбинация предшествующих, а ранг матрицы коэффициентов исходной системы равен трем.

Алгоритм завершил работу. Анализируя коэффициенты итоговой расширенной матрицы, приходим к выводу, что исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

:

Последняя является недоопределенной системой полного ранга (так как четвертое зависимое уравнение удалено из рассмотрения) и, оче-

60