Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

значения на элементах из E. Обратно, любая матрица определяет свой линейный оператор по формуле, приведенной в теореме 7.1.

Нетрудно видеть, что

1)матрица суммы двух операторов равна сумме матриц складываемых операторов;

2)при умножении оператора на произвольное число его матрица также умножается на это число;

3)матрица суперпозиции двух операторов равна произведению их матриц, взятых в том же порядке, в каком эти операторы участвуют в суперпозиции;

4)матрица тождественного оператора является единичной;

5)матрица обратного оператора является обратной к матрице исходного оператора.

Разумеется, одна и та же матрица в разных базисах может в общем случае соответствовать разным операторам и, наоборот, один и тот же оператор в разных базисах может в общем случае иметь разные матрицы.

Обсуждаемая в последней теореме формула разлагает линейный оператор на суперпозицию трех линейных операторов: первый из них переводит [x]U 2 Rn, второй переводит этот столбец в столбец координат образа [y]V 2 Rm путем умножения его слева на фиксированную матрицу AUV , третий по координатам образа [y]V восстанавливает сам образ y 2 E0. Опираясь на это замечание, выведем формулу для преобразования матрицы линейного оператора, сопровождающего смену базисов в исходном пространстве и в пространстве образов.

Теорема 7.2. Пусть U1; U2 два базиса в пространстве E и V1; V2 два базиса в пространстве E0. Тогда матрицы любого линейного оператора A, действующего из E в E0, удовлетворяют соотношению

где WU1U2 и WV1V2 матрицы перехода от U1 к U2 и от V1 к V2 соответственно.

Доказательство. Подставим в основную зависимость

[y]V1 = AU1V1 [x]U1

формулы преобразования координат

[x]U1 = WU2U1 [x]U2 и [y]V1 = WV2V1 [y]V2

91

из теоремы 6.8. Получаем

WV2V1 [y]V2 = AU1V1 WU2U1 [x]U2 ;

откуда и следует искомое соотношение (напомним, что матрица обратного перехода равна обратной к матрице прямого перехода).

7.3. Образ и ядро линейного оператора

Пусть имеется линейный оператор A : E ! E0.

Определение 7.5. Рангом линейного оператора A называется ранг любой из определяющих его матриц (их ранги сопадают).

Определение 7.6. Образом линейного оператора A называется множество

Im A = f y j y = A(x); x 2 E g:

Всякий образ является подпространством пространства E0.

Теорема 7.3. Размерность подпространства Im A совпадает с рангом оператора A.

Доказательство. Выберем в пространствах E и E0 произвольные базисы U = fu1, u2, : : :, ung и V = fv1, v2, : : :, vmg соответственно. Разложим образы векторов первого из них по векторам второго:

Поскольку E является линейной оболочкой векторов u1, u2, : : :, un, то интересующее нас подпространство Im A является линейной оболочкой их образов A(u1), A(u2), : : :, A(un). Выбрав среди последних максимальную линейно независимую подсистему, получим базис Im A. Но как мы уже говорили при обосновании теоремы 6.1, линейно независимых векторов среди A(u1), A(u2), : : :, A(un) столько же, сколько линейно независимых столбцов содержит матрица AUV = (aij). Поэтому размерность подпространства Im A совпадает с рангом матрицы AUV , т. е. с рангом оператора A.

Определение 7.7. Ядром линейного оператора A называется множество

Ker A = f x j A(x) = 0 g:

92

Всякое ядро является линейным подпространством пространства E.

Теорема 7.4. Размерность ядра Ker A равна разности размерности пространства E и ранга оператора A.

Доказательство. Размерность ядра совпадает с размерностью изоморфного ему подпространства всех решений [x]U однородной системы уравнений

AUV [x]U = [0]V ;

где AUV матрица оператора A относительно произвольной пары базисов U; V пространств E и E0. В свою очередь размерность указанного множества решений равна размерности пространства E минус ранг матрицы AUV , который совпадает с рангом оператора A, что и требовалось.

Следствие 7.1. Для линейного оператора A : E ! E0 имеет место равенство

dim (Ker A) + dim (Im A) = dim E:

7.4. Собственные значения линейного оператора

Рассмотрим линейные операторы, являющиеся преобразованием некоторого линейного пространства E.

Определение 7.8. Число называется собственным значением линейного оператора A : E ! E, если найдется такой н е н у л е в о й вектор x, что

A(x) = x:

Выше вектор x называется собственным вектором, отвечающим собственному значению . Как мы увидим в дальнейшем, собственные векторы всегда определяются неоднозначно.

Совокупность всех собственных значений линейного оператора называется его с п е к т р о м.

Теорема 7.5. Число является собственным значением оператора A : E ! E; т. е. принадлежит его спектру тогда и только тогда, когда

j E Aj = 0;

где A произвольная матрица этого оператора в одном из базисов пространства E.

93

Доказательство. Пусть U произвольный базис пространства E и A отвечающая ему матрица оператора A. Квадратная система линейных уравнений

[x]U = A[x]U ;

или

( E A)[x]U = 0

тогда и только тогда имеет ненулевое решение [x]U , когда ее матрицаE A вырождена, т. е. j E Aj = 0. Для завершения отметим, что набор собственных значений не зависит от выбора конкретной матрицы оператора, поскольку все они имеют вид

A0 = WAW 1;

где W матрица перехода от одного базиса к другому, так что

j E A0j = jW( E A)W 1j = jWj j E Aj jW 1j = j E A0j:

Определение 7.9. Уравнение j E Aj = 0 называется характеристическим (для матрицы A). Это уравнение имеет вид

n + an 1 n 1 + : : : + a1 + a0 = 0;

где n порядок матрицы A. Число вещественных корней характеристического уравнения не превосходит n. Любое уравнение нечетного порядка имеет хотя бы один вещественный корень.

Пример 7.6. Рассмотрим линейное преобразование векторов на плоскости, состоящее в их проектировании на некоторую ось. Пусть декартова система координат выбрана так, что эта ось является биссектрисой первой четверти. Соответствующая матрица преобразования равна

Ее характеристическое уравнение имеет вид

Уравнение имеет два корня: 1 = 0 и 2 = 1. Координаты собственных векторов, отвечающих значению 1 = 0, представляют собой семейство

94

ненулевых решений системы

(

12 x1 + 12 x2 = 0; 12 x1 + 12 x2 = 0;

которое состоит из наборов вида t(1; 1), где t параметр (t 6= 0). Этим наборам отвечают ненулевые векторы, ортогональные оси, на которую происходит проектирование. Аналогично рассуждая, находим, что семейство собственных векторов, отвечающих значению 2 = 1, состоит из всех ненулевых векторов, параллельных этой оси.

Пример 7.7. Рассмотрим линейное преобразование векторов на плоскости, состоящее в их повороте против часовой стрелки на 45 : В обычной декартовой системе координат матрица преобразования равна

22

22

Ее характеристическое уравнение имеет вид

Уравнение не имеет вещественных корней, а значит, и рассматриваемый в примере линейный оператор не имеет вещественных собственных значений.

Рассмотрим некоторые свойства собственных векторов.

Теорема 7.6. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению, дополненная нульвектором, образует линейное подпространство пространства E.

Доказательство очевидно.

Теорема 7.7. Пусть 1; 2; : : : ; m различные собственные значения оператора A : E ! E. Тогда отвечающие им собственные векторы x1, x2, : : :, xm линейно независимы.

Доказательство проведем от противного. Пусть рассматриваемые векторы линейно зависимы. Не снижая общности, можно считать их упорядоченными так, что первые k из них линейно независимы (напомним, что один ненулевой вектор всегда линейно независим), но (k+1)-й

95

является линейной комбинацией первых k штук, 1 k < m. Это значит, что

xk+1 = 1x1 + 2x2 + : : : + kxk;

где не все i = 0 (иначе бы xk = 0, что не так). Действуя на обе части равенства линейным оператором A и помня, что перед нами его собственные векторы, получаем

k+1xk+1 = 1 1x1 + 2 2x2 + : : : + k kxk:

Исключая из этих двух уравнений xk+1, приходим к тому, что

( 1 k+1)x1 + ( 2 k+1)x2 + : : : + ( k k+1)xk = 0;

т. е. невырожденная (из-за несовпадения i) линейная комбинация первых k векторов равна нулю. Но этого не может быть в силу их линейной независимости. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 7.2. Пусть линейный оператор A : E ! E имеет n различных собственных значений 1, 2, : : :, n; где n = dim E. Тогда отвечающие этим значениям собственные векторы образуют базис, относительно которого матрица этого оператора диагональна:

A=diag( 1; 2; : : : ; n).

Взаключение подраздела приведем без доказательства знаменитую теорему Фробениуса Перрона про собственные числа неотрицательных матриц, играющую важную роль в математической экономике.

Теорема 7.8 (Фробениуса Перрона). Пусть все элементы квадратной матрицы A = (aij)n n неотрицательны. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)среди собственных значений матрицы A есть неотрицательные вещественные числа и наибольшему из них, обозначаемому (A); соответствует неотрицательный собственный вектор x(A);

2)если ! произвольное собственное значение матрицы A; быть может комплексное, то j!j (A);

P P

3) min aij (A) max aij;

j j i i

4)матрица C = (E A) 1 существует и неотрицательна тогда

итолько тогда, когда (A) < 1; при этом она раскладывается в

степенной ряд

C = E + A + A2 + A3 + : : : :

96

Определение 7.10. Собственное значение (A) называется собственным числом Фробениуса Перрона матрицы A; а собственный вектор x(A) ее собственным вектором Фробениуса Перрона.

Пункт 4 теоремы Фробениуса Перрона обобщает школьную формулу о сумме членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

7.5. Сопряженные операторы

Пусть теперь конечномерные пространства E и E0 е в к л и д о в ы.

Определение 7.11. Оператор A : E0 ! E называется сопряженным к оператору A : E ! E0, если

(A(x); y) = (x; A (y)) (8x 2 E y 2 E0):

Теорема 7.9. Оператор, сопряженный к линейному, определен однозначно и также линеен.

Доказательство. Выберем в евклидовых пространствах E и E0 ортонормированные базисы U = f u1; u2; : : : ; un g и V = f v1; v2; : : : ; vm g соответственно (мы уже отмечали, что это всегда можно сделать) и обозначим через AUV = (A1jA2j : : : jAn) отвечающую им матрицу оператора A. Введем линейный оператор B : E0 ! E по правилу

Покажем, что введенный таким образом оператор удовлетворяет условию сопряженности. В самом деле,

(A(x); y) = ([A(x)]V ; [y]V ) = (AUV [x]V ; [y]V ) =

mn

XX

=aijyixj = ([x]V ; A>UV [y]V ) = (x; B(y)):

i=1 j=1

Оператор B единственный оператор, сопряженный к A. Действительно, пусть оператор C : E0 ! E также удовлетворяет условию сопряженности. Тогда по свойствам евклидовых пространств

[C(y)]U i = (ui; C(y)) = (A(ui); y) = ([A(ui)]V ; [y]V ) =

= (AUV [ui]U ; [y]V ) = (Ai; [y]V ):

|{z}

= ei

97

Отсюда

[C(y)]U = A>UV [y]V = [B(y)]U ;

что и требовалось доказать.

Итак, сопряженный оператор определен однозначно, линеен и его матрица относительно тех же базисов равна транспонированной матрице исходного оператора.

Операторы, сопряженные к линейным, обладают следующими простыми свойствами:

Докажите эти свойства самостоятельно.

Определение 7.12. Линейный оператор A : E ! E называется самосопряженным, если A = A .

Определение 7.13. Квадратная матрица A называется симметричной, если A = A>, и кососимметричной, если A = A>.

Из предыдущего вытекает следующее утверждение.

Теорема 7.10. Линейный оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица, отвечающая хотя бы одному ортонормированному базису пространства E, симметрична (а тогда и все ортонормированные базисы обладают этим свойством).

Cамосопряженные операторы интересны свойствами своих собственных значений и векторов.

Теорема 7.11. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора A, отвечающие его различным собственным значениям, ортогональны (а потому линейно независимы).

Доказательство. Пусть A(x1) = 1x1 и A(x2) = 2x2, причем собственные значения 1 6= 2. Тогда, с учетом самосопряженности оператора A, имеем

1(x1; x2)=( 1x1; x2)=(A(x1); x2)=(x1; A(x2))=(x1; 2x2)= 2(x1; x2);

что возможно, только если (x1; x2) = 0:

98

8.КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

8.1.Билинейные формы и их свойства

Пусть E линейное пространство.

Определение 8.1. Отображение ( ; ) : E E ! R, где R числовая прямая, называется билинейной формой, если при фиксировании одного аргумента оно превращается в линейную форму другого, т. е. выполнены условия:

1.( x0 + x00; y) = (x0; y) + (x00; y);

2.(x; y0 + y00) = (x; y0) + (x; y00).

Определение 8.2. Билинейная форма (x; y) называется симметричной, если (x; y) = (y; x); и кососимметричной, если (x; y) = = (y; x):

Теорема 8.1. Любую билинейную форму можно представить как разность симметричной и кососимметричной билинейных форм.

Доказательство. Определим вспомогательные формы

Первая из них будет симметричной, а вторая кососимметричной. При этом, как нетрудно убедиться,

(x; y) = 1(x; y) + 2(x; y):

Билинейные формы устроены достаточно просто. Выделим в пространстве E некоторый базис U = fu1; u2; : : : ; ung и составим из значений билинейной формы (ui; uj) = qij матрицу QU = (qij)n n. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8.2. (x; y) = [x]>U QU [y]U ; каков бы ни был базис U.

Доказательство. Пусть [x]U = (x1; : : : ; xn)>, [y]U = (y1; : : : ; yn)>:

По определению билинейной формы

100