Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

где, однако, yk = (y; uk) = 0 при k = 1; : : : ; m (так как все эти uk 2 L). В результате

y = ym+1 um+1 + : : : + ynun:

Доказательство завершено.

Следствие 6.5. Для любого подпространства L евклидова пространства E верно (L?)? = L.

6.9. Изоморфизм линейных пространств

Пусть имеются два линейных пространства E и E0.

Определение 6.19. Пространства E и E0 называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение : E ! E0 одного пространства в другое, что

1.(x + y) = (x) + (y);

2.( x) = (x).

Если пространства E и E0 являются евклидовыми, то к определению их изоморфности добавляют условие сохранения неизменным скалярного произведения любых двух векторов:

3. ( (x); (y)) = (x; y).

Само отображение называется изоморфизмом.

Прямым следствием представленных условий является то, что при изоморфизме нулевой элемент одного пространства переходит в нулевой элемент другого пространства. Кроме того,

(x1a1 + x2a2 + : : : + xnan) = x1 (a1) + x2 (a2) + : : : + xn (an):

Следовательно, если линейная комбинация векторов одного пространства равна нулю, то нулю равна и аналогичная линейная комбинация их изоморфных образов в другом пространстве. Поэтому линейно зависимые системы векторов одного пространства при изоморфизме переходят в линейно зависимые системы векторов другого пространства, а линейно независимые системы в линейно независимые. Значит, в изоморфных пространствах максимальное число линейно независимых векторов одно и то же. Мы пришли к выводу, что размерности изоморфных пространств должны совпадать и пространства, имеющие разную размерность, не могут быть изоморфными.

81

Теорема 6.12. Два конечномерных линейных (евклидовых) пространства E и E0 изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.

Доказательство. Необходимость совпадения размерностей уже отмечена выше. Перейдем к обоснованию достаточности. Выберем в пространстве E какой-нибудь базис u1, u2, : : :, un, а в пространстве E0 базис v1, v2, : : :, vn. Поставим в соответствие каждому элементу

x = x1u1 + x2u2 + : : : + xnun

пространства E элемент

x0 = x1v1 + x2v2 + : : : + xnvn

пространства E0. Это значит, что при нашем отображении координаты образа произвольного вектора x0 = (x) относительно выбранного базиса пространства E0 будут совпадать с координатами исходного вектора относительно базиса в пространстве E. Построенное отображение взаимно однозначно (так как однозначно определены координаты разложения произвольного вектора по выбранному базису) и удовлетворяет условиям 1, 2 (так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число равны произведению его соответствующих координат на то же самое число). Для выполнения условия 3 в случае евклидовых пространств достаточно оба базиса выбрать ортонормированными, что всегда можно сделать (вспомним процедуру Грама Шмидта). Это замечание завершает наше доказательство.

Таким образом, можно утверждать, что различные конкретные линейные пространства одной и той же размерности неотличимы друг от друга в части свойств, связанных с введенными в них операциями сложения и умножения на число, а в случае евклидовых пространств и с операцией скалярного произведения. Все теоремы, которые касаются таких операций и верны для одного из изоморфных пространств, верны и для другого.

В частности, в теории конечномерных линейных и евклидовых пространств большую роль играет евклидово пространство Rn всевозможных матриц-строк (матриц-столбцов) размерности n. Оно достаточно универсально и в то же время занимает ¾золотую¿ середину между чрезмерно абстрактными пространствами и пространствами, где та или иная конкретика играет заметную роль.

82

6.10. Аффинные (линейные) многообразия

Введем операцию сложения множеств, состоящих из векторов.

Определение 6.20. Суммой двух подмножеств A и B линейного пространства E называется множество

C = A + B = f z j z = x + y; x 2 A; y 2 B g;

т. е. множество всех векторов, представимых в виде суммы двух слагаемых, первое из которых лежит в A, а второе в B.

Частным случаем суммы двух множеств являются а ф ф и н н ы е многообразия.

Определение 6.21. Множество H векторов линейного пространства называется аффинным многообразием размерности m, если оно представимо в виде

H = fwg + L;

где w некоторый фиксированный вектор, L линейное подпространство размерности m.

Указанное представление аффинного многообразия не является единственным. Если z 2 H = fwg+ L, то также H = fzg+ L. В частности, аффинное многобразие является подпространством тогда и только тогда, когда содержит нуль-вектор.

Приведем примеры аффинных многообразий.

Пример 6.16. В пространстве геометрических векторов на плоскости (или в пространстве) аффинным многообразием будет множество всевозможных векторов с фиксированным началом и концами, лежащими на некоторой выделенной прямой (или плоскости).

Пример 6.17. В пространстве Rn всевозможных матриц-строк (или матриц-столбцов) размерности n с обычными для них операциями сложения (покоординатного) и умножения на число аффинным многообразием будет множество решений произвольной совместной системы линейных уравнений Ax = b; что будет показано ниже.

Пример 6.18. В пространстве Pn всевозможных полиномов

p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

степени не выше n-й аффинными многообразиями являются множества всех многочленов, содержащие слагаемые только четной степени,

83

степени, кратной трем, и т. п., причем один из коэффициентов зафиксирован. Аналогично можно определить аффинные многообразия пространства P полиномов произвольной степени.

Пример 6.19. В пространстве C[a; b] всех непрерывных на отрезке [a; b] числовых функций можно выделить аффинные многообразия, состоящие из функций, чье значение в некоторой фиксированной точке отрезка равно единице (вообще любому фиксированному значению).

Существует тесная связь между аффинными многообразиями универсального евклидова пространства Rn и системами линейных алгебраических уравнений.

Теорема 6.13. Пусть система линейных уравнений Ax = b совместна и rank Am n = r. Тогда множество ее решений является аффинным многообразием размерности (n r) пространства Rn.

Доказательство. Случаи r = 0 и r = n тривиальны. Пусть имеет место условие 1 r < n. Тогда рассматриваемая система принадлежит либо к классу недоопределенных систем полного ранга, либо к классу совместных систем неполного ранга. И в том, и в другом случае (см. теоремы 5.5, 5.6) множество ее решений H представимо в виде суммы некоторого ее частного решения x и общего решения связанной с ней однородной системы Ax = 0: Последнее представляет собой подпространство L, являющееся линейной оболочкой векторов ее фундаментальной системы решений, содержащей (n r) элементов. Тем самым H = fxg + L и dimL = n r. Заметим также, что любой базис подпространства L дает фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

Верно и в некотором смысле обратное утверждение.

Теорема 6.14. Пусть в пространстве Rn имеется произвольное аффинное многообразие H = fwg + L, где L подпространство размерности d. Тогда существует система линейных алгебраических уравнений Ax = b; у которой rank A = n d, а множество решений совпадает с H.

Доказательство. Случаи d = 0 и d = n тривиальны. Рассмотрим случай, когда 1 d < n. Возьмем в качестве Am n матрицу, составленную из векторов-строк произвольного базиса U = f a1; a2; : : : ; am g подпространства L?, а в качестве вектора b произведение Aw. По теореме 5.6 dimL? = n dimL = n d. Поэтому m = n d = rank A.

Покажем, что множество решений полученной системы совпадает с

84

H. В самом деле, пусть x решение нашей системы. Тогда

A(x w) = Ax Aw = b Aw = 0;

что означает, что вектор y = x w ортогонален всем строкам матрицы A, т. е. всем векторам базиса подпространства L?, а значит, и всем векторам из этого подпространства. Поэтому он принадлежит его ортогональному дополнению (L?)?, совпадающему с L. В результате x = w + y, где y 2 L, т. е. x 2 H.

Обратно, пусть x 2 H, т. е. x = w + y, где y 2 L. Поскольку вектор y ортогонален всем векторам из L?, то он ортогонален и базисным векторам a1; a2; : : : ; am этого подпространства, откуда Ay = 0. Поэтому

Ax = A(w + y) = Aw + Ay = b;

т. е. x является решением нашей системы, что и требовалось доказать.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется линейным пространством?

2.Перечислите аксиомы линейного пространства.

3.Почему в линейном пространстве нулевой элемент единственный?

4.Чем евклидово пространство отличается от линейного пространства?

5.Перечислите аксиомы скалярного произведения.

6.Что такое норма вектора в евклидовом пространстве?

7.Что такое неравенство Коши Буняковского?

8.Что такое неравенство треугольника?

9.Какие элементы евклидова пространства называются взаимно ортогональными?

10.Приведите примеры линейных и евклидовых пространств.

11.Приведите примеры множеств с операцией сложения и умножения на число, не являющихся линейными пространствами.

12.Что называется линейной оболочкой конечной или бесконечной системы векторов?

13.Что такое линейно независимые и линейно зависимые системы векторов?

85

7.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

7.1.Пространство линейных операторов

Пусть E и E0 два линейных пространства (необязательно одинаковой размерности и даже необязательно конечномерные).

Определение 7.1. Оператором A, действующим из E в E0, называется произвольное однозначное отображение A : E ! E0, которое каждому элементу x 2 E ставит в соответствие некоторый единственный элемент y 2 E0 , что обозначается y = A(x).

Определение 7.2. Оператор A : E ! E0 называется линейным, если для всех векторов из E и числовых множителей

1.A(x + y) = A(x) + A(y);

2.A( x) = A(x).

Если E = E0, то линейные операторы называются также линейными п р е о б р а з о в а н и я м и пространства, а если E0 числовая прямая, то линейными ф у н к ц и о н а л а м и (или ф о р м а м и).

Приведем содержательные примеры линейных операторов.

Пример 7.1. В геометрическом пространстве векторов (на плоскости или в пространстве) операция проектирования вектора на заданную ось или заданную плоскость является линейным оператором. Другим примером линейного оператора в геометрическом пространстве векторов является преобразование последнего, заключающееся в повороте всех его векторов на заданный угол и/или их растяжение в заданное число раз.

Пример 7.2. В пространстве матриц-строк (или матриц-столбцов) обычная операция умножения вектора слева на произвольную фиксированную матрицу Am n является линейным оператором, действующим из Rn в Rm. В частности, произвольная квадратная матрица An n задает некоторое линейное преобразование пространства Rn.

Пример 7.3. В пространстве C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функций отображение

Z b

y = f(x)dx

a

является линейным функционалом.

87

Пример 7.4. В пространстве P многочленов произвольной степени отображение, переводящее многочлены в числовые суммы их коэффициентов, является линейным функционалом.

Пример 7.5. В пространстве товаров и услуг отображение, ставящее любому набору товаров их совокупную стоимость в некоторой системе цен, является линейным функционалом.

Операторы можно складывать, умножать на число и составлять из них суперпозицию.

1.С у м м о й двух операторов A и B, действующих из E в E0, называется оператор C = A+B, действующий из E в E0 и удовлетворяющий условию C(x) = A(x) + B(x).

2.П р о и з в е д е н и е м оператора A, действующего из E в E0, на число называется оператор D = A, действующий из E в E0 и удовлетворяющий условию D(x) = A(x).

3.С у п е р п о з и ц и е й операторов A и B, действующих из E0 в E00 и из E в E0 соответственно, называется оператор C = A B, действующий из E в E00 и удовлетворяющий условию C(x) = A(B(x)).

Для операций сложения и умножения на число выполнены обычные законы: перестановочный, ассоциативности и дистрибутивности, так что пространство всех операторов, действующих из E в E0, является линейным пространством. Роль нулевого элемента играет оператор O : E ! E0, переводящий все элементы в нуль-вектор.

Заметим, что если операторы A и B линейные, то их сумма и произведение на любое число также будут линейными операторами. Таким образом, совокупность всех линейных операторов, действующих из E в E0, является подпространством пространства всех операторов, действующих из E в E0.

Если операторы A и B линейные, то их суперпозиция C = A B также является линейным оператором. В самом деле, во-первых,

C(x + y) = A(B(x + y)) = A(B(x) + B(y)) =

= A(B(x)) + A(B(y)) = C(x) + C(y);

во-вторых,

C( x) = A(B( x)) = A( B(x))) = A(B(x)) = C(x):

88

Для линейных операторов операция суперпозиции обладает следующими хорошими свойствами:

1: C (A + B) = C A + C B; 2: (A + B) C = A C + B C; 3: A B = A B.

Чтобы доказать первое из них, выпишем цепочку равенств

(C (A+B))(x) = C((A+B)(x)) = C(A(x)+B(x)) = C(A(x))+C(B(x)) =

= (C A)(x) + (C B)(x):

Остальные свойства доказываются аналогично.

Напомним, что оператор A, действующий из E в E0, является биективным отображением, если

1)образы y = A(x) различных элементов x 2 E различны;

2)для любого элемента y 2 E0 существует прообраз x 2 E такой, что y = A(x).

Определение 7.3. Пусть оператор A, действующий из E в E0, является биективным отображением. Тогда оператор A 1, действующий из E0 в E; значения которого определяются правилом

x = A 1(y) () y = A(x);

называется обратным к A.

Понятно, что оператор, обратный к обратному, совпадает с исходным.

Легко проверить, что оператор, обратный к некоторому линейному оператору, сам является линейным. Поскольку линейные операторы переводят нулевые векторы в нулевые и вырожденные или невырожденные линейные комбинации векторов в соответственно вырожденные или невырожденные линейные комбинации их образов, обратные операторы могут существовать, только если dimE = dimE0.

Введем в рассмотрение т о ж д е с т в е н н ы й оператор I : E ! E, т. е. оператор, являющийся преобразованием некоторого пространства E, причем таким, которое оставляет все его элементы на месте. Тогда обратный оператор и только он обладает свойством

A 1 A = I:

89

В дальнейшем будем рассматривать только линейные операторы, действующие в конечномерных пространствах.

7.2. Матрицы линейных операторов

Чтобы определить линейный оператор в конечномерном пространстве, достаточно определить его значения на элементах произвольного базиса этого пространства.

Действительно, пусть A линейный оператор, действующий из E в E0, причем пространства E и E0 конечномерны, и в них выбраны произвольные базисы U = fu1, u2, : : :, ung и V = fv1, v2, : : :, vmg соответственно. Разложим образы векторов первого из них по векторам второго:

8

> A(u1) = a11v1 + a21v2 + : : : + am1vm;

>

>

>

< A(u2) = a12v1 + a22v2 + : : : + am2vm;

> : : :

>

>

>

: A(un) = a1nv1 + a2nv2 + : : : + amnvm:

Определение 7.4. Матрицу AUV = (aij)n m назовем матрицей линейного оператора A относительно базисов U, V .

Поскольку произвольный вектор x 2 E единственным образом представим в виде

x= x1u1 + x2u2 + : : : + xnun;

аоператор A линеен, то

y = A(x) = A(x1u1 + x2u2 + : : : + xnun) =

Тем самым доказана

Теорема 7.1. Для любого линейного оператора

y = A(x) () [y]V = AUV [x]U ;

где AUV матрица этого оператора относительно базисов U, V .

Таким образом, если базисы U и V фиксированы, то тем самым любому линейному оператору, действующему из E в E0, сопоставляется единственная матрица, определяющая полностью его всевозможные

90