Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

6.3. Координаты векторов в пространстве

Базисы играют важную роль при работе с элементами линейного пространства.

Теорема 6.3. Пусть векторы u1; u2; : : : ; un образуют базис пространства E. Тогда представление любого вектора этого пространства в виде их линейной комбинации единственно.

Доказательство. Пусть x = x1u1 + x2u2 + : : : + xnun и x = x01u1+ +x02u2 + : : : + x0nun два обсуждаемых представления одного и того же вектора. Тогда

x1u1 + x2u2 + : : : + xnun = x01u1 + x02u2 + : : : + x0nun;

или, после перегруппировки слагаемых,

(x1 x01)u1 + : : : + (xn x0n)un = 0;

откуда вытекает, что все xi x0i = 0 (в силу линейной независимости векторов u1, u2, : : :, un).

Определение 6.12. Коэффициенты в разложении вектора x по векторам заданного базиса U = fu1; u2; : : : ; ung называют его координатами относительно этого базиса, а составленная из них м а т р и ц а - с т о л б е ц обозначается

[ x ]U = (x1; x2; : : : ; xn)>:

Как показывает теорема 6.4, зная координаты относительно заданного базиса одних векторов пространства, можно найти координаты других его векторов.

Теорема 6.4. Для произвольного базиса U координаты суммы двух и более векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, а координаты произведения произвольного вектора на число равны произведению его координат на это число, так что

1.[ x + y ]U = [ x ]U + [ y ]U .

2.[ x ]U = [ x ]U .

Доказательство очевидно.

При определенных условиях скалярное произведение векторов также легко вычисляется на основе их координат относительно выбранного базиса.

71

Определение 6.13. Система векторов u1; u2; : : : ; un евклидова пространства называется (попарно) ортогональной, если

(ui; uj) = 0 при i 6= j;

и ортонормированной, если в дополнение к предыдущему все kuik = 1.

Теорема 6.5. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства линейно независима.

Доказательство. Пусть векторы u1; u2; : : : ; un попарно ортогональны и некоторая их линейная комбинация равна нулю:

1u1 + 2u2 + : : : + nun = 0:

Умножая левую и правую части этого равенства скалярно на любой из векторов ui и раскрывая скобки в левом выражении, получаем

( 1u1 + 2u2 + : : : + nun; ui) = 0;

или

ikuik2 = 0;

откуда все i = 0, что и означает линейную независимость рассматриваемых векторов.

Определение 6.14. Базис евклидова пространства называется ортогональным, если представляет собой ортогональную систему векторов, и ортонормированным, если эта система ортонормированная.

Теорема 6.6. Пусть базис u1; u2; : : : ; un конечномерного евклидова пространства ортонормирован, т. е. (ui; uj) = ji; где ji символ Кронекера. Тогда скалярное произведение любых двух его векторов равно скалярному произведению их координат, т. е.

Доказательство. В самом деле, обозначим [ x ]U = (x1; : : : ; xn)>, [ y ]U = (y1; : : : ; yn)>. По свойствам скалярного произведения с учетом ортонормированности базиса имеем

(x; y) = (x1u1 + x2u2 + : : : + xnun; y1u1 + y2u2 + : : : + ynun) =

72

что и требовалось.

Следствие 6.2. Пусть базис U = f u1; u2; : : : ; ung конечномерного евклидова пространства ортонормирован. Тогда

[ x ]U = ( (x; u1); (x; u2); : : : ; (x; un) )>:

Приведем примеры базисов в конкретных пространствах.

Пример 6.7. Базис пространства геометрических векторов на плоскости составляют любые два неколлинеарных, а в пространстве любые три некомпланарных вектора. Координаты любого вектора относительно этого базиса совпадают с его обычными геометрическими координатами.

Пример 6.8. В пространстве Rn всевозможных матриц-строк (или матриц-столбцов) размерности n векторы-орты e1, e2, : : :, en образуют ортонормированный базис. Координаты любого вектора относительно этого базиса просто совпадают с его компонентами. Вообще, критерием того, что некоторый набор из n векторов образует в пространстве Rn базис, является невырожденность квадратной матрицы, составленной из них как из строк (соответственно столбцов), а его ортонормированность эквивалентна тому, что такая матрица совпадает с одной из перестановочных.

Пример 6.9. В пространстве Pn всевозможных полиномов p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

степени не выше n-й один из базисов образуют полиномы

Координаты произвольного полинома относительно этого базиса просто совпадают с его коэффициентами при степенях неизвестной.

Пример 6.10. Пространство P всевозможных полиномов произвольной степени

p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

является бесконечномерным, в нем имеется бесконечный базис, состоящий из полиномов вида

pi(x) = xi (i = 0; 1; : : :):

73

Координаты произвольного полинома относительно этого базиса также совпадают с его коэффициентами при степенях неизвестной.

6.4. Процесс ортогонализации Грама Шмидта

Пусть пространство E евклидово и U = f u1, u2, : : :, un g его произвольный базис. Покажем, как на его основе можно построить некоторый новый базис U0 = f u01, u02, : : :, u0n g, векторы которого были бы попарно ортогональны.

Работа завершена.

То, что векторы нового базиса попарно ортогональны, проверяется непосредственно их скалярным перемножением. В самом деле, после шага 2 имеем

(u01; u02) = (u01; u2 + (2)1 u01) = (u01; u2) + (2)1 (u01; u01) =

= (u01; u2) (u01;0u2)(u01; u01) = 0: ku1k2

С учетом этого после шага 3

(u01; u03) = (u01; u3 + (3)2 u02 + (2)1 u01) = (u01; u3) + (3)1 (u01; u01) =

= (u01; u3) (u01;0u3)(u01; u01) = 0 ku1k2

74

и

(u02; u03) = (u02; u3 + (3)2 u02 + (2)1 u01) = (u02; u3) + (3)2 (u02; u02) =

= (u02; u3) (u02;0u3)(u02; u02) = 0: ku2k2

Продолжая аналогичные вычисления после каждого шага, легко показать, что каждый последующий вектор нового базиса ортогонален всем предшествующим ему векторам.

На основе ортогонального базиса U0 легко получить ортонормированный базис U00, элементы которого равны

Заметим, что везде выше операция деления на нормы векторов корректна, так как наличие нулевого вектора в новой (да и в старой) системе означало бы ее линейную зависимость, что не так.

6.5. Смена базиса в линейном пространстве

Как мы видим, одни базисы в том или ином отношении могут оказаться предпочтительнее других. Поэтому часто возникает необходимость нахождения координат одних и тех же векторов в различных базисах.

Пусть в линейном пространстве E имеется два базиса:

U = f u1; u2; : : : ; un g и V = f v1; v2; : : : ; vn g:

Предположим, что известны координаты векторов одного из них относительно другого, например,

8

u1 = !11 v1 + !21 v2 + : : : + !n1 vn;

>

>

< u2 = !12 v1 + !22 v2 + : : : + !n2 vn;

> : : :

>

: un = !1n v1 + !2n v2 + : : : + !nn vn:

Определение 6.15. Матрица WUV = (!ij)n n, составленная из коэффициентов разложения векторов базиса U по векторам базиса V , называется матрицей прямого перехода.

75

Теорема 6.7. Матрица прямого перехода от базиса U к базису V невырождена.

Доказательство проводится по схеме обоснования теоремы 6.1.

Теорема 6.8. Для любого вектора x имеем

[ x ]V = WUV [ x ]U ;

где WUV = (!ij) матрица перехода от базиса U к базису V .

Доказательство. Обозначим [ x ]U = (x1; x2; : : : ; xn)> и аналогично [ x ]V = (x01; x02; : : : ; x0n)>. По определению

nn

n

откуда все x0i = P !ij xj, что и требовалось доказать.

j=1

Следствие 6.3. Обратное преобразование координат происходит

по формуле

[ x ]U = WUV1 [ x ]V :

Доказательство реализуется простым умножением обеих частей прямой формулы слева на матрицу, обратную к матрице перехода WUV .

Следствие 6.4. Матрицы перехода от старого базиса к новому и от нового к старому взаимно обратны.

Обратимся теперь к понятию подпространства.

6.6. Подпространства линейного пространства

Пусть E произвольное линейное пространство.

Определение 6.16. Подмножество L векторов линейного пространства E называется его подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, т. е.

1: x; y 2 L =) x + y 2 L;

2: x 2 L =) x 2 L (8 ).

76

Очевидно, что всякое подпространство само является пространством. В частности, оно содержит нуль-вектор и вектор, противоположный к любому своему вектору. Если подпространство содержит только нульвектор, оно называется тривиальным.

Пересечение двух подпространств также является подпространством. Если подпространство конечномерного пространства нетривиально,

в нем можно выделить базис.

Все базисы одного и того же подпространства содержат одно и то же число векторов. Это число называется размерностью подпространства и обозначается dimL.

Размерность подпространства не может быть больше размерности всего пространства. Размерность тривиального подпространства принимается равной нулю. Нетривиальное подпространство есть линейная оболочка векторов любого своего базиса.

Применяя процедуру Грама Шмидта, можно ортонормировать базис любого нетривиального подпространства евклидова пространства.

По теореме 6.2 любой базис подпространства можно дополнить векторами до базиса всего пространства. В том числе в евклидовом пространстве ортонормированный базис любого подпространства L можно дополнить до базиса всего пространства E и, применив к нему процедуру ортогонализации и нормировки, получить ортонормированный базис всего пространства, часть векторов которого будет по-прежнему являться базисом подпространства L.

Приведем примеры подпространств.

Пример 6.11. В пространстве геометрических векторов на плоскости одно из подпространств образуют все векторы, параллельные некоторой прямой.

Пример 6.12. Подпространство трехмерного геометрического пространства векторов можно получить не только из векторов, параллельных некоторой прямой, но и из векторов, параллельных некоторой плоскости.

Пример 6.13. В пространстве Rn всевозможных матриц-строк (или матриц-столбцов) размерности n с обычными для них операциями сложения (покоординатного) и умножения на число подпространством является множество решений произвольной однородной системы линейных уравнений

Ax = 0;

77

так как сумма любых двух таких решений и их произведение на любые числа также оказываются решением этой системы.

Пример 6.14. В пространстве Pn всевозможных полиномов

p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

степени не выше n-й подпространствами являются множества всех многочленов, состоящих, например, из слагаемых только четной степени, степени, кратной трем и т. п. Аналогично можно определить и подпространства пространства P полиномов произвольной степени.

Пример 6.15. В пространстве C[a; b] всех непрерывных на отрезке [a; b] числовых функций можно выделить подпространства, состоящие из функций, чье значение в некоторой фиксированной точке отрезка (например, в его середине) равно нулю.

6.7. Разложение пространства в прямую сумму своих подпространств

Пусть E конечномерное линейное пространство и L1, L2 два его подпространства.

Теорема 6.9. Если dim L1+dim L2 > dim E, то L = L1 \L2 6= f0g;

т. е. подпространство L нетривиально.

соответственно. Поскольку p + q > dim E, то объединение базисов U и V представляет собой линейно зависимую систему векторов, в силу чего существуют не все равные нулю xi и yi такие, что

x1u1 + x2u2 + : : : + xp up + y1v1 + y2v2 + : : : + yqvq = 0;

откуда

w = x1u1 + x2u2 + : : : + xp up = y1v1 y2v2 : : : yqvq:

Поскольку хотя бы один из коэффициентов разложения вектора w по базисам U и V отличен от нуля, то w 6= 0. При этом w принадлежит как L1, так и L2, т. е. принадлежит их пересечению, которое тем самым является нетривиальным подпространством пространства E.

Определение 6.17. Будем говорить, что пространство E является п р я м о й суммой двух своих подпространств L1 и L2, если любой

78

его вектор z единственным образом представим в виде z = x + y; где x 2 L1, y 2 L2.

Теорема 6.10. Для того чтобы конечномерное пространство E было прямой суммой своих подпространств L1 и L2, необходимо и достаточно, чтобы

1)L1 \ L2 = f0g и

2)dimE = dimL1 + dimL2.

Доказательство. Пусть любой вектор z 2 E единственным образом представим в виде суммы z = x + y; где x 2 L1, y 2 L2. Тогда, во-первых, имеем L1 \ L2 = f0g, так как иначе любой общий ненулевой элемент w этих подпространств имел бы по крайней мере два требуемых представления w = w + 0 = 0 + w. Во-вторых, выберем в подпространствах L1 и L2 базисы U = f u1, u2, : : :, up g и V = f v1, v2, : : :, vq g соответственно. Поскольку x раскладывается по векторам базиса U, а y по векторам базиса V , то их сумма, т. е. вектор z; раскладывается по объединению этих базисов. Поэтому p + q dimE. Однако неравенство p + q > dimE невозможно, так как иначе пересечение подпространств L1 и L2 было бы нетривиально. Поэтому имеем p + q = dimE.

Обратно, пусть L1 \ L2 = f0g и dimE = dimL1 + dimL2. Снова обращаясь к базисам U и V подпространств L1 и L2 соответственно и повторяя только что проведенные рассуждения, убеждаемся, что при условии L1 \ L2 = f0g их объединение представляет собой линейно независимую систему, а равенство dimE = dimL1 + dimL2 означает, что это объединение является базисом всего пространства E. Поэтому произвольный вектор z этого пространства представим в искомом виде

z = x1u1 + x2u2 + : : : + xp up + y1v1 + y2v2 + : : : + yqvq = x + y:

Чтобы доказать единственность подобного представления, предположим, что также z = x0 + y0; где x0 2 L1, y0 2 L2. Отсюда имеем x + y = x0 + y0, или, после перегруппировки слагаемых,

x x0 = y0 y 2 ( L1 \ L2) = f0g;

т. е. x = x0, y = y0, что и требовалось доказать.

79

6.8. Ортогональные дополнения

Пусть E евклидово пространство и M некоторое его непустое подмножество.

Определение 6.18. Множество

M? = f x 2 E j (x; y) = 0 8y 2 M g

называется ортогональным дополнением к множеству M.

В силу свойств скалярного произведения очевидно, что ортогональное дополнение произвольного непустого множества является подпространством, так как вместе с любыми своими векторами содержит и их произвольную линейную комбинацию.

Теорема 6.11. Для любого подпространства L конечномерного евклидова пространства E верно

dimL + dimL? = dimE:

При этом любой вектор z 2 E единственным образом раскладывается в сумму z = x + y, где x 2 L, y 2 L?.

Доказательство. Случай тривиальных подпространств очевиден. Пусть теперь U0 = f u1; u2; : : : ; um g ортонормированный базис подпространства L и 1 m = dimL < n = dimE. Дополним этот базис до ортонормированного базиса U = f u1; u2; : : : ; un g всего пространства и покажем, что векторы um+1; um+2; : : : ; un образуют базис подпространства L?. Это даст нам равенство dimL? = n m, и ввиду того, что нуль-вектор единственный общий элемент подпространства и его ортогонального дополнения, теорема будет доказана.

Чтобы векторы um+1; um+2; : : : ; un могли составить базис подпространства L?, нужно, во-первых, чтобы они ему принадлежали, и, вовторых, чтобы любой другой вектор из L? был представим в виде их линейной комбинации. Первое условие вытекает из того, что любой вектор x 2 L представим в виде x = x1u1 + x2u2 + : : : + xmum; откуда

mm

XX

Второе условие следует из возможности разложения произвольного вектора y 2 L? по полному базису

y = (y1u1 + : : : + ymum) + (ym+1 um+1 + : : : + ynun);

80