Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

видно, имеет бесконечное множество решений вида

где t1; t2 произвольные числовые параметры. Одновременно это и решения исходной системы.

В заключение отметим, что последние два столбца итоговой форму-

>

<

> x3 + 2x4 + x5 = 0;

>

: x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + x5 = 0:

Эти столбцы линейно независимы, и их всевозможные линейные комбинации порождают все возможные решения последней системы.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое решение системы линейных уравнений?

2.Какие системы линейных уравнений называются несовместными?

3.О чем говорит теорема Кронекера Капелли?

4.Что такое ранговое строение расширенной матрицы коэффициентов системы линейных уравнений?

5.В чем состоит правило Крамера решения невырожденных квадратных систем линейных уравнений?

6.Когда однородная система уравнений имеет только нулевое решение?

7.Когда однородная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение?

8.Что такое фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений?

9.Из чего складывается общее решение неоднородной системы линейных уравнений?

61

10.В чем состоит основная идея метода Жордана Гаусса решения систем линейных уравнений?

11.Рассмотрим классическую экономико-математическую модель межотраслевого баланса Леонтьева, известную также как модель ¾затраты выпуск¿. Эта модель предназначена для определения сбалансированных объемов производства и потребления различных видов продукции в рамках замкнутой экономической системы (страны, региона) за некоторый фиксированный период времени (месяц, квартал, год) и имеет вид системы линейных уравнений

>

<

: : :

>

>

:xn = an1x1 + an2x2 + : : : + annxn + yn :

Вней переменные x1; x2; : : : ; xn обозначают неизвестные объемы валовой продукции отраслей на очередной плановый период (т. е. объемы всей продукции, которая будет произведена предприятиями отрасли за плановый период), а переменные y1; y2; : : : ; yn те объемы продукции, которые останутся от валовой продукции после вычитания из нее сырьевых затрат отраслей. Эти объемы называются объемами конечной продукции и пойдут на личное и общественное потребление и накопление, и пр., т. е. создадут конечный продукт экономической системы. Коэффициенты матрицы A = (aij)n n; называемые технологическими (или коэффициентами прямых производственных затрат), считаются известными и показывают, какой объем продукции i-го вида затрачивается в качестве сырья в j-й отрасли при производстве единицы ее

продукции. В практике планирования часть переменных модели фиксируют на некотором уровне, исходя из тех или иных стратегических целей и предпочтений, а прочие находят из сокращенной системы балансовых уравнений.

Ответьте на следующие вопросы:

а) сколько уравнений и неизвестных содержит модель Леонтьева? б) является ли эта система уравнений однородной или не является? в) чему равен ранг матрицы коэффициентов этой системы?

г) имеет ли эта система решения и сколько их?

62

6. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

6.1. Исходная аксиоматика

Пусть имеется совокупность E элементов некоторой природы, которые мы будем обозначать строчными латинскими буквами x; y; z; : : :

Нас не будет интересовать их содержательная природа, а только возможность отличать их друг от друга.

Определение 6.1. Будем говорить, что совокупность E образует линейное (аффинное) пространство, если

1)каждым двум элементам x; y пространства E поставлен в соответствие третий элемент этого пространства, называемый их с у м м о й

иобозначаемый z = x + y;

2)каждому элементу x пространства E и вещественному числу поставлен в соответствие некоторый элемент этого пространства, называемый их п р о и з в е д е н и е м и обозначаемый w = x = x ;

3)указанные две операции (сложения и умножения на скаляр) удовлетворяют следующим а к с и о м а м:

1: x + y = y + x;

2: (x + y) + z = x + (y + z);

3: Существует нулевой элемент 0 такой, что x + 0 = x для всех x; 4: Для каждого x существует хотя бы один противоположный ему элемент x, т. е. элемент, для которого верно равенство x + ( x) = 0;

5: ( x) = ( )x;

6: 1 x = x для любого x;

7: ( + )x = x + x; 8: (x + y) = x + y.

Подчеркнем, что нас н е и н т е р е с у е т конкретный механизм сложения и умножения. Все свойства линейных пространств мы будем выводить, опираясь только на перечисленные аксиомы.

Приведем простейшие с л е д с т в и я приведенных выше аксиом линейных пространств.

Начнем с того, что нулевой элемент пространства, удовлетворяющего перечисленным аксиомам, единственный. В самом деле, пусть

64

имеется два нулевых элемента 01 и 02. Тогда в силу аксиом 1, 3 имеем

01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02:

Единственным является и элемент, противоположный к x. Так, предполагая, что x1 и x2 два таких элемента, в силу аксиом 1 4 получаем

x1 = x1 + 0 = x1 + (x + ( x2)) = ( x1 + x) + ( x2) =

= 0 + ( x2) = x2:

Несколько сложнее показать, что 0x = 0 для всех x. Советуем проследить самостоятельно номера аксиом, примененных в следующей цепочке равенств:

0x = 0x + 0 = 0x + (x + ( x)) = (0x + x) + ( x) =

=(0x + 1x) + ( x) = (0 + 1)x + ( x) =

=1x + ( x) = x + ( x) = 0:

Сиспользованием последнего свойства уже проще проверить равенство x = ( 1)x. В самом деле,

x + ( 1)x = 1x + ( 1)x = (1 1)x = 0x = 0:

Разновидностью линейных (аффинных) пространств являются так называемые е в к л и д о в ы пространства.

Определение 6.2. Линейное пространство E называется евклидовым, если любым двум его элементам x и y поставлено в соответствие некоторое число , называемое их с к а л я р н ы м произведением (что обозначается = (x; y)) и удовлетворяющее аксиомам:

1: (x; y) = (y; x);

2: (x; y + z) = (x; y) + (x; z);

3: ( x; y) = (x; y);

Скалярное произведение позволяет ввести норму вектора (аналог его длины в геометрии) по формуле

p

kxk = (x; x) ;

65

при этом верно н е р а в е н с т в о К о ш и Б у н я к о в с к о г о

j(x; y)j kxkkyk

и н е р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а

kx + yk kxk + kyk:

Справедливость первого из этих неравенств следует из неотрицательности квадратного трехчлена вида

0 ( x + y; x + y) = kxk2 2 + 2(x; y) + kyk2;

что возможно только, если соответствующий дискриминант неположи-

телен:

D = j(x; y)j2 kxk2kyk2 0:

Справедливость второго неравенства вытекает из первого неравенства и простой цепочки соотношений

pp

kx + yk = (x + y; x + y) = (x; x) + 2(x; y) + (y; y)

q

p

(x; x) + 2 (x; x)(y; y) + (y; y) =

Перечисленные свойства позволяют корректно ввести понятие угла между двумя векторами евклидова пространства по формуле

cos(xy) = (x; y) : c kxkkyk

Определение 6.3. Будем говорить, что векторы x и y евклидова пространства ортогональны, если (x; y) = 0.

Приведенное определение обобщает понятие прямого угла между прямыми или векторами в геометрии.

Приведем примеры конкретных линейных пространств, где бы содержательная природа самих элементов и операций над ними, с одной стороны, была бы понятна, а с другой удовлетворяла нужному набору аксиом.

Пример 6.1. Совокупность R2 геометрических векторов на плоскости (или R3 в пространстве) с обычными для них операциями сложения (по правилу параллелограмма) и умножения на число, а также

66

скалярным произведением, трактуемым как произведение длин векторов на косинус угла между ними, образует евклидово пространство. Выполнение всех аксиом очевидно.

Пример 6.2. Совокупность Rn всевозможных матриц-строк (или матриц-столбцов) размерности n с обычными для них операциями сложения (покоординатного) и умножения на число, а также скалярным произведением, определяемым как сумма произведений одноименных координат сомножителей, является евклидовым пространством. Выполнение всех аксиом также очевидно.

Пример 6.3. Совокупность всевозможных матриц одинаковой размерности с обычными для них операциями сложения (поэлементного) и умножения на число является линейным пространством. Выполнение всех аксиом также очевидно.

Пример 6.4. Совокупность Pn всевозможных полиномов вида

p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

степени не выше n; где n задано, является линейным пространством. Операции сложения и умножения на число определены в обычном арифметическом смысле. Выполнение всех аксиом очевидно.

Пример 6.5. Совокупность P всевозможных полиномов

p(x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0

произвольной степени является линейным пространством. Операции сложения и умножения на число определены в обычном арифметическом смысле. Выполнение всех аксиом также очевидно.

Пример 6.6. Совокупность C[a; b] всех непрерывных на отрезке [a; b] числовых функций также является линейным пространством. Операции сложения и умножения на число определены в обычном арифметическом смысле. Если определить скалярное произведение двух функций f(x) и g(x) как

Z b

(f; g) = f(x)g(x)dx;

a

это пространство становится евклидовым.

Примером пространства, н е я в л я ю щ е г о с я линейным (аффинным), является совокупность всех полиномов фиксированной степени n (так как сумма полиномов может иметь степень меньшую, чем степени слагаемых).

67

Также н е я в л я е т с я пространством совокупность геометрических векторов, ограниченная некоторым шаром, так как умножение их на достаточно большие числа выводит за его рамки, и совокупность векторов, не параллельных некоторой прямой (или плоскости), так как сумма векторов, принадлежащих этой совокупности, но симметричных относительно этой прямой (или плоскости), не принадлежит рассматриваемой совокупности.

Взаключение отметим, что элементы линейного пространства принято называть в е к т о р а м и, что, с одной стороны, подчеркивает связь только что введенного понятия с геометрическими векторами на плоскости и в пространстве, а с другой согласуется с названием, введенным ранее для матриц-строк и матриц-столбцов, а также со свойствами арифметических операций над ними.

6.2.Базисы и размерность пространства

Втеории матриц мы уже рассматривали понятие линейной зависимости и независимости векторов. Аналогичные идеи играют центральную роль и в теории линейных пространств общей природы.

Определение 6.4. Пусть 1; 2; : : : ; m произвольные числа. Выражение

1u1 + 2u2 + : : : + mum

называется линейной комбинацией векторов u1; u2; : : : ; um линейного пространства E.

Определение 6.5. Линейная комбинация векторов называется вырожденной, если в ней все числовые множители равны нулю.

Определение 6.6. Векторы u1; u2; : : : ; um образуют линейно независимую систему, если равенство нулевому вектору (нулю) их линейной комбинации возможно только в случае вырожденности последней.

Определение 6.7. Векторы u1; u2; : : : ; um образуют линейно зависимую систему, если найдется хотя бы одна их невырожденная линейная комбинация, равная нулевому вектору (нулю).

Изучая матрицы, мы показали, что система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией оставшихся (см. теорему 2.4). Этот факт вместе

68

с доказательством дословно переносится на векторы линейных пространств общей природы.

Определение 6.8. Линейной оболочкой конечной или бесконечной системы векторов u1; u2; u3; : : : называется совокупность их всевозможных линейных комбинаций.

Линейная оболочка векторов u1; u2; : : : uk обозначается как

L = Linfu1; u2; : : : ukg:

Определение 6.9. Система (конечная или бесконечная) линейно независимых векторов u1; u2; u3; : : : называется б а з и с о м линейного пространства E, если последнее совпадает с их линейной оболочкой, т. е.

E = Linfu1; u2; u3; : : :g:

Следующая теорема показывает, что число членов в базисе является важной характеристикой линейного пространства.

Теорема 6.1. Пусть в пространстве E существует хотя бы один базис u1; u2; : : : ; un с конечным числом членов n. Тогда система из любых m > n векторов этого пространства линейно зависима.

Доказательство. Пусть v1; v2; : : : ; vm произвольный набор векторов пространства E, m > n. По определению базиса

8

>

>

>

>

<

v1 = a11u1 + a12u2 + : : : + a1nun; v2 = a21u1 + a22u2 + : : : + a2nun;

>: : :

>

>

>

:vm = am1u1 + am2u2 + : : : + amnun:

Составим из коэффициентов разложения матрицу A = (aij)m n. Поскольку число ее строк m больше числа ее столбцов n, то

rank A n < m;

и по теореме 4.1 ее строки линейно зависимы, а потому найдутся такие не все равные нулю множители i, что

m

X

iaij = 1a1j + 2a2j + : : : + mamj = 0 (8j):

i=1

69

Отсюда

т. е. невырожденная линейная комбинация векторов v1, v2, : : :, vm равна нулю, что говорит об их линейной зависимости.

Следствие 6.1. Любые два базиса одного и того же пространства состоят из одного и того же числа членов (минимального среди всех).

Определение 6.10. Линейное пространство E называется конечномерным, если в нем существует хотя бы один конечный базис.

Определение 6.11. Если n число членов в базисе некоторого конечномерного пространства E, то n называется размерностью этого пространства, что обозначается dimE = n.

Теорема 6.2. В n-мерном линейном пространстве любую систему из m линейно независимых векторов, где m < n, можно дополнить векторами до базиса всего пространства.

Доказательство. Пусть, от противного, имеется такая система линейно независимых векторов u1; u2; : : : ; um, добавление к которой л ю б о г о нового вектора x превращает ее в линейно зависимую. Линейная зависимость векторов означает существование коэффициентовi, среди которых не все равны нулю и для которых

0x + 1u1 + 2u2 + : : : + mum = 0:

В число ненулевых коэффициентов обязательно попадает 0, так как, в противном случае, нулю равнялась бы невырожденная линейная комбинация остальных векторов

1u1 + 2u2 + : : : + mum = 0;

что невозможно ввиду их линейной независимости. То, что 0 6= 0, позволяет поделить на 0 обе части предпоследнего равенства и, перегруппировав слагаемые, получить представление вектора x в виде

составленной из векторов нашей системы. Ввиду произвольности x наша система оказывается базисом, и потому m = n. Полученное противоречие доказывает теорему.

70