Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие

=1 j=1

определяет некоторую билинейную форму на E. Теорема доказана.

Очевидно, что матрица симметричной (кососимметричной) формы в любом базисе сама является симметричной (кососимметричной).

Пусть теперь U = fu1; u2; : : : ; un; g и V = fv1; v2; : : : ; vn; g два произвольных базиса пространства E и WV U = (wij) матрица, составленная из коэффициентов разложения векторов второго базиса по первому:

Раньше мы уже установили, что [x]U = WV U [x]V при всех x 2 E и [y]U = WV U [y]V при всех y 2 E. Подставляя эти формулы в матричное представление билинейной формы, получаем

(x; y) = [x]>V WV>U QU WV U [y]V :

Тем самым нами доказана

Теорема 8.3. Матрицы билинейной формы в разных базисах связаны соотношением

QV = WV>U QU WV U :

Поскольку матрицы перехода невырождены, то невырождены и матрицы, транспонированные к ним, так что все матрицы одной и той же билинейной формы имеют один и тот же ранг. Этот ранг называется также рангом билинейной формы.

Определение 8.3. Рангом билинейной формы называется ранг матрицы ее коэффициентов относительно любого фиксированного базиса.

101

8.2. Квадратичные формы и их свойства

Пусть ( ; ) : E E ! R с и м м е т р и ч н а я билинейная форма.

Определение 8.4. Числовая функция одного векторного аргумента f(x) = (x; x), получающаяся из симметричной билинейной формы(x; y) при y = x, называется квадратичной формой.

Зная квадратичную форму f(x), можно однозначно восстановить отвечающую ей симметричную билинейную форму

(x; y) = f(x + y) f(x) f(y): 2

Пусть U = fu1; u2; : : : ; un; g произвольный базис пространства E и [x]U = (x1; x2; : : : ; xn). Составим из значений симметричной билинейной формы qij = (ui; uj) матрицу QU = (qij)n n (которая также будет симметричной). Из теоремы 8.2 вытекает

Следствие 8.1. f(x) = [x]>U QU [x]U , каков бы ни был базис U.

Обратно, для любой с и м м е т р и ч н о й матрицы G = (gij)n n формула

=1 j=1

определяет некоторую квадратичную форму на E.

Следствие 8.2. Матрицы квадратичной формы в разных базисах связаны соотношением

QV = WV>U QU WV U :

Рангом квадратичной формы называется ранг любой из ее (симметричных) матриц.

Пример 8.1. Рассмотрим числовую функцию

f1(x1; x2; x3) = x21 + 2x1x3 + 6x2x3 x23

трех числовых аргументов x1; x2 и x3. Если обозначить

то ту же самую зависимость можно выразить формулой f1(x) = x>Q1x.

102

Аналогичная матрица для функции

f2(x1; x2; x3) = x21 + x1x2 x1x3 + 6x2x3 + x23

имеет вид

Перейдем к вопросам классификации квадратичных форм.

8.3. Диагонализация квадратичных форм

Пусть U = fu1; u2; : : : ; un; g некоторый базис пространства E и QU = (qij)n n отвечающая ему симметричная матрица некоторой квадратичной формы f(x).

Определение 8.5. Назовем представление квадратичной формы

в виде

f(x) = [x]>U QU [y]U

каноническим, если матрица QU диагональна.

Теорема 8.4. Для любой квадратичной формы найдется базис, в котором ее матрица диагональна.

Доказательство. Пусть U = fu1; u2; : : : ; un; g произвольный базис пространства E. Проведем серию его преобразований.

Покажем вначале, как можно преобразовать имеющийся базис с тем, чтобы матрица QU квадратичной формы f(x) удовлетворяла условию q11 6= 0. Если это условие уже выполнено, текущий базис не меняется. Если q11 = 0, но некоторый другой диагональный элемент qii 6= 0, то базисные векторы с номерами i и 1 меняются ролями (такое преобразование базиса сохраняет его элементы линейно независимыми). Наконец, если все диагональные элементы текущей матрицы равны нулю, то мы выбираем произвольный ненулевой элемент qrs текущей матрицы и заменяем r-й и s-й элементы базиса на новые:

u0r = ur us; u0s = ur + us;

что также сохраняет линейную независимость элементов базиса. При этом в новой матрице появится отличный от нуля элемент qrr0 = 2qrs, который вновь несложно перенести на позицию (1, 1).

103

Итак, мы добились того, что в текущей матрице q11 6= 0. Выделим в представлении квадратичной формы по текущему базису те слагаемые, что содержат x1. Получим

то выражение для квадратичной формы можно переписать в виде

где qij коэффициенты, полученные после преобразования. Заменим первый элемент базиса на сумму

Относительно нового базиса квадратичная форма примет вид

в которой число переменных на единицу меньше. Повторим все рассуждения применительно к ней. Поскольку в ней нет первой координаты, то первый базисный вектор останется без изменений, а изменениям будут подвергаться его элементы, начиная со второго. После того как квадратичная форма будет приведена к виду

104

обратимся к ее блоку

nn

XX

f2(x) = qijx0ix0j;

i=3 j=3

в котором число переменных вновь уменьшилось на единицу. Ясно, что за конечное число шагов мы придем к квадратичной форме, представленной в канонической форме.

Изложенный метод носит название метода Лагранжа. Фактически он состоит в последовательном выделении полных квадратов переменных.

Пример 8.2. Рассмотрим квадратичную форму

f1(x1; x2; x3) = 2x21 + 6x1x2 4x1x3 3x22 + 6x2x3 + 2x23:

Проведем последовательное выделение полных квадратов

f1(x1; x2; x3) = 2(x21 + 3x1x2 2x1x3) 3x22 + 6x2x3 + 2x23 =

= 2(x1 + 32x2 x3)2 152 x22 + 12x2x3 =

=2(x1 + 32x2 x3)2 152 (x22 85x2x3) =

=2(x1 + 32x2 x3)2 152 (x2 45x3)2 + 245 x23:

приходим к канонической форме

f(x) = 2x012 152 x022 + 245 x032:

При всей своей простоте метод Лагранжа обладает тем недостатком, что генерируемый им базис не обязательно ортогонален (речь идет о квадратичных формах в евклидовых пространствах). В случае, когда свойство ортогональности важно, его можно добиться, вычислив все собственные значения и отвечающие им собственные векторы одной из матриц данной квадратичной формы. Теория говорит, что соответствующий базис можно выбрать ортогональным (даже ортонормированным).

105

Пример 8.3. Вернемся к квадратичной форме

f1(x1; x2; x3) = 2x21 + 6x1x2 4x1x3 3x22 + 6x2x3 + 2x23:

Матрица ее коэффициентов имеет вид

0 1

23 2

Его корни 1 = 3; 2 = 4; 3 = 6. Собственные векторы, отвечающие первому значению, ищутся как ненулевые решения однородной системы уравнений

8

>x1 3x2 + 2x3 = 0;

<

3x1 + 6x2 3x3 = 0;

>

:2x1 3x2 + x3 = 0:

Применяя метод исключения неизвестных, нетрудно прийти к выводу, что ранг этой системы равен 2, а все ее решения коллинеарны вектору u1 = (1; 1; 1).

Собственные векторы, отвечающие второму собственному значению матрицы Q, ищутся как ненулевые решения однородной системы уравнений

8

>2x1 3x2 + 2x3 = 0;

<

3 x1 + 7x2 3x3 = 0;

>

:2x1 3x2 + 2x3 = 0:

Ранг этой системы также равен 2, а все ее решения коллинеарны вектору u2 = (1; 0; 1):

Наконец, собственные векторы, отвечающие третьему собственному значению, ищутся как ненулевые решения однородной системы уравнений

8

<8x1 3x2 + 2x2 = 0;

3x1 3x2 3x3 = 0; : 2x1 3x2 8x3 = 0:

106

Вновь ранг системы равен 2, но теперь все решения коллинеарны вектору u3 = (1; 2; 1):

Найденные векторы взаимно ортогональны и после нормировки образуют ортонормированный базис

В этом базисе матрица квадратичной формы становится диагональ-

f(x01; x02; x03) = 3x012 + 4x022 6x032:

Cвязь между старыми и новыми переменными задается уравнениями

реализуется простым транспонированием, то формулы обратного перехода имеют вид

:

Невырожденность матрицы перехода от одного базиса к другому очевидна.

8.4.Закон инерции для квадратичных форм

Впримере 8.3 были получены два различных канонических представления одной и той же квадратичной формы. Таких представлений на самом деле много, но все они содержат одно и то же число положительных и отрицательных коэффициентов. Это и есть содержание закона инерции для квадратичных форм.

Теорема 8.5. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом каноническом представлении квадратичной формы одно и то же.

107

Доказательство. Пусть имеются два базиса U = fu1; u2; : : : ; un; g и V = fv1; v2; : : : ; vn; g пространства E, относительно которых квадратичная форма имеет канонические представления

f(x) = 1x21 + 2x22 + : : : + nx2n и f(x) = 01x021 + 02x022 + : : : + 0nx02n:

Будем считать, что в обоих представлениях положительные коэффициенты предшествуют всем прочим (этого всегда можно добиться путем перенумерации переменных). Предположим, что первое представление имеет p положительных коэффициентов, а второе q, причем p > q 0. Рассмотрим подпространство L1, являющееся линейной оболочкой векторов u1, u2, : : :, up, и подпространство L2, являющееся линейной оболочкой векторов vq+1, vq+2, : : :, vn. Очевидно, что f(x) > 0 при всех ненулевых x 2 L1 и f(x) 0 при всех ненулевых x 2 L2. Однако dimL1 + dimL2 = p + (n q) > n. Поэтому пересечение L1 с L2 содержит хотя бы один ненулевой вектор w и для него 0 < f(w) 0, что невозможно. Поэтому p = q. Для отрицательных коэффициентов доказательство аналогично.

Определение 8.6. Положительным индексом I+ квадратичной формы f(x) называется число положительных коэффициентов в любом ее каноническом представлении.

Определение 8.7. Отрицательным индексом I квадратичной формы f(x) называется число отрицательных коэффициентов в любом ее каноническом представлении.

Определение 8.8. Разность между размерностью пространства E и рангом квадратичной формы f(x) называется ее дефектом I0:

Очевидно, что дефект равен числу нулевых коэффициентов в произвольном каноническом представлении квадратичной формы.

Определение 8.9. Упорядоченная тройка индексов = (I+; I ; I0) называется сигнатурой квадратичной формы

Таким образом, закон инерции квадратичной формы гласит, что ее сигнатура не зависит от способа, при помощи которого квадратичная форма приведена к каноническому виду.

8.5. Знакоопределенность квадратичных форм

Классификация квадратичных форм при помощи их сигнатур представляется несколько громоздкой. Для практики зачастую оказывается удобней другая их классификация.

108

Пусть f : E ! R некоторая квадратичная форма.

Определение 8.10. Квадратичная форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 при всех ненулевых x, и положительно полуопределенной, если f(x) 0 при всех x.

Определение 8.11. Квадратичная форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x) < 0 при всех ненулевых x, и отрицательно полуопределенной, если f(x) 0 при всех x.

Определение 8.12. Квадратичная форма f(x) называется знакопеременной, если найдутся такие x и y, что f(x) > 0 и f(y) < 0.

Теорема 8.6. Квадратичная форма f : E ! R положительно определена (полуопределена) тогда и только тогда, когда ее положительный индекс совпадает с размерностью пространства E (соответственно отрицательный индекс равен нулю).

Доказательство очевидно.

Теорема 8.7. Квадратичная форма f : E ! R отрицательно определена (полуопределена) тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс совпадает с размерностью пространства E (соответственно положительный индекс равен нулю).

Доказательство также очевидно.

Пусть квадратичная форма f(x) представлена в виде

f(x) = [x]>U QU [y]U

относительно некоторого базиса U пространства E. Обозначим последовательные главные миноры ее матрицы как

Приведем (без доказательства) к р и т е р и й С и л ь в е с т р а знакоопределенности квадратичной формы.

Теорема 8.8. Для положительной определенности квадратичной формы f(x) необходимо и достаточно выполнения неравенств

1 > 0; 2 > 0; 3 > 0; : : : ; n > 0;

а для ее отрицательной определенности чередования знаков этих миноров при дополнительном условии 1 < 0.

109