Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие
.pdfРОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА
В. С. Малаховский
КРАТКИЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Рекомендовано Редакционно-издательским советом Российского государственного университета им. И. Канта в качестве учебного пособия
Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта
2010
УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я73
М181
Рецензенты:
Л. Е. Евтушик, профессор кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук; С. Е. Степанов, профессор кафедры математики
Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, доктор физико-математических наук
Малаховский В. С.
М181 Краткийкурсдифференциальнойгеометрии: учебноепособие. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2010. — 111 с.
ISBN 978-5-9971-0054-4
В пособии дается сжатое, но доступное изложение основных фактов классической дифференциальной геометрии, предусматриваемых действующими программами университетов. Изложение ведется с использованием векторного аппарата, основных понятий математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Кривые и поверхности исследуются в подвижной декартовой системе координат, однозначно определенной заданием текущей точки исследуемой фигуры и позволяющей по заданному уравнению найти ее локальные геометрические свойства.
Предназначено для студентов математического и физического факультетов.
УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я73
© Малаховский В. С., 2010
ISBN 978-5-9971-0054-4 © ИздательствоРГУ им. И. Канта, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение.............................................................................................. |
6 |
Глава 1. Основы векторного анализа |
|
§ 1. Понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных |
|
аргументов. Годограф вектор-функции ...................................... |
8 |
§ 2. Пределы и производные вектор-функции.................................. |
9 |
§ 3. Правила дифференцирования скалярного, векторного |
и |
смешанного произведений........................................................... |
10 |
Глава 2. Плоские кривые |
|
§ 1. Способы задания плоской кривой............................................... |
12 |
§ 2. Касательная и нормаль в обыкновенной точке плоской |
|
кривой............................................................................................. |
13 |
§ 3. Касательная к кривой в ее особой точке..................................... |
15 |
§ 4. Асимптоты плоских кривых........................................................ |
18 |
§ 5. Кривизна плоской кривой. Круг кривизны................................ |
21 |
§ 6. Формулы Френе плоской кривой................................................ |
26 |
§ 7. Эволюта и эвольвента.................................................................. |
29 |
§ 8. Натуральное уравнение плоской кривой.................................... |
30 |
§ 9. Огибающая семейства плоских кривых...................................... |
31 |
Глава 3. Пространственные кривые |
|
§ 1. Способы задания пространственной кривой.............................. |
34 |
§ 2. Касательная и нормальная плоскость......................................... |
34 |
§ 3. Касательная в особой точке пространственной кривой............ |
36 |
§ 4. Длина дуги пространственной кривой........................................ |
37 |
§ 5. Соприкасающаяся плоскость....................................................... |
38 |
§ 6. Главная нормаль и бинормаль пространственной кривой........ |
40 |
§ 7. Формулы Френе пространственной кривой............................... |
41 |
|
3 |
§ 8. Формулы для кривизны и кручения............................................ |
42 |
§ 9. Сферические индикатрисы касательной, главной нормали |
|
и бинормали................................................................................... |
45 |
§ 10. Проекции кривой на грани репера Френе................................. |
45 |
§ 11. Соприкасающаяся сфера............................................................ |
48 |
§ 12. Винтовая линия........................................................................... |
50 |
§ 13. Натуральные уравнения кривой................................................ |
52 |
Глава 4. Теория поверхностей |
|
§ 1. Способы задания поверхности.................................................... |
53 |
§2. Координатные линии на поверхности. Касательная плоскость |
|
и нормаль к поверхности.............................................................. |
54 |
§ 3. Первая квадратичная форма........................................................ |
58 |
§ 4. Метрика на поверхности.............................................................. |
59 |
§ 5. Огибающая семейства поверхностей.......................................... |
61 |
§ 6. Развертывающиеся поверхности................................................. |
64 |
§7. Вторая квадратичная форма поверхности. Асимптотические |
|
линии.............................................................................................. |
65 |
§ 8. Сопряженные направления на поверхности............................... |
68 |
§ 9. Нормальная кривизна. Теорема Менье....................................... |
70 |
§ 10. Главные кривизны и полная кривизна поверхности ............... |
71 |
§ 11. Линии кривизны. Теорема Монжа............................................ |
74 |
§12. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера .................................... |
77 |
§ 13. Геодезические линии на поверхности. Символы Кристоф- |
|
феля ................................................................................................ |
80 |
Глава 5. Специальные классы поверхностей |
|
§ 1. Плоскость...................................................................................... |
84 |
§ 2. Сфера............................................................................................. |
85 |
§ 3. Поверхность вращения................................................................. |
86 |
§ 4. Минимальные поверхности......................................................... |
87 |
4
§ 5. Линейчатые поверхности............................................................. |
90 |
Глава 6. Дополнительные разделы геометрии |
|
§ 1. Эрлангенская программа Клейна................................................ |
93 |
§ 2. n -мерное проективное пространство......................................... |
94 |
§ 3. Группа проективных преобразований и ее подгруппы............. |
96 |
§ 4. Линейные комплексы и линейные конгруэнции в трехмер- |
|
ном проективном пространстве................................................... |
98 |
§ 5. Геометрические образы на гладкой поверхности проектив- |
|
ного пространства......................................................................... |
101 |
§ 6. Нормаль Бляшке на гладкой поверхности трехмерного аф- |
|
финного пространства .................................................................. |
103 |
§ 7. Дифференцируемые многообразия............................................. |
105 |
Список рекомендуемой литературы.............................................. |
110 |
5
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальная геометрия — это раздел математики, изучающий свойства линий и поверхностей с помощью векторной алгебры, математического анализа и теории дифференциальных уравнений. В отличие от аналитической геометрии, изучающей линии и поверхности в неподвижной декартовой системе координат (общего положения или однозначно определенной заданием геометрической фигуры), в дифференциальной геометрии используются подвижные декартовы системы координат, каждая из которых в общем случае однозначно определена заданием точки на исследуемой кривой или поверхности. Следовательно, дифференциальная геометрия изучает кривые и поверхности локально, т. е. в окрестности ее произвольной обыкновенной точки. Такое исследование позволяет во многих случаях глобально охарактеризовать рассматриваемую геометрическую фигуру.
Дифференциальная геометрия как наука создавалась XVII—XIX веках выдающимися математиками А. Клеро
(1713—1765), Г. Монжем (1746—1818), Л. Эйлером (1707— 1783), К. Ф. Гауссом (1777—1855), К. М. Петерсоном (1828— 1881), Г. Дарбу (1842—1917), Л. Бьянки (1856—1928) и др.
Однако наиболее интенсивное ее развитие произошло в XX веке в связи с созданием современных методов дифференциаль- но-геометрических исследований (тензорное исчисление, метод внешних форм Картана, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева).
Э. Картан (1869—1951), Д.Ф. Егоров (1869—1931), Н.Н. Лузин (1883—1950), В. В. Вагнер (1908—1981), В. Бляшке (1885— 1962), В. Ф. Каган (1869—1953), П. К. Рашевский (1907— 1985), А. П. Норден (1904—1993), Г. Ф. Лаптев (1909—1972) и
другие внесли неоценимый вклад в развитие как классической
6
Введение
дифференциальной геометрии, так и геометрии дифференцируемых многообразий и расслоенных пространств с различными фундаментальными группами.
В предлагаемом учебном пособии излагаются основы векторного анализа, исследуются плоские и пространственные кривые, основы теории поверхностей. При этом основное внимание обращается на ключевые элементы: кривизна, кручение кривых, метрика на поверхности, гауссова кривизна поверхности, основные классы линий на поверхности и простейшие классы поверхностей. Только в заключительной шестой главе рассматриваются дифференцируемые многообразия с заданными на них структурами, исследуемые в основном со второй половины XX века.
Выражаю искреннюю благодарность рецензентам, докторам физико-математических наук, профессорам Л. Е. Евтушику и С. Е. Степанову за ценные советы и замечания.
7
Краткий курс дифференциальной геометрии
Глава 1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов.
Годограф вектор-функции
Определение 1.1. Пусть Vn — n -мерное векторное пространство над полем R действительных чисел, а U — область m -мерного арифметического пространства Rm .
Отображение
f :U →Vn |
(1.1) |
называется вектор-функцией m скалярных аргументов t1 ,t2 ,..., tm . Запись
rG = rG(t1 ,t2 ,...,tm ), |
(1.2) |
где ti R , rG Vn .
Мы будем рассматривать только вектор-функции одного или двух скалярных аргументов. Для n = 3 получим:
rG = rG(t )↔ rG = x(t )i + y (t )Gj + z (t )k; |
(1.3) |
rG = rG(u,v) ↔ rG = x(u,v)i + y (u,v) Gj + z (u,v)k. |
(1.4) |
Заданиевектор-функцииот m аргументовсозначениямив Vn
равносильно заданию n обычных функций этих аргументов. Если начало векторов помещать в начале координат базо-
вой декартовой системы, то концы векторов rG(t ) будут описывать линию (на плоскости или в пространстве), а концы векторов rG(u, v) — поверхность. Эти линии и поверхность назы-
8
Глава 1. Основы векторного анализа
ваются годографом соответствующей вектор-функции скалярного аргумента. Например, годограф вектор-функции
rG = ia cost + Gjbsin t |
(1.5) |
— это эллипс с полуосями a и b; годограф вектор-функции
rG = a(i cost + Gj sin t )+ kht |
(1.6) |
есть винтовая линия, расположенная на прямом круговом цилиндре радиуса a , а годограф вектор-функции
rG = a(iGcosu sin v + Gj sin u sin v + k cosv) |
(1.7) |
есть сфера радиуса a с центром в начале координат.
§ 2. Предел и производные вектор-функции
Для вектор-функций скалярного аргумента t пределы, производные и дифференциалы определяются аналогично:
|
aG = lim rG(t ) ↔ ε > 0 δ =δ (ε ) > 0 такое, что |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
rG |
(t )− aG |
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
|
t −t0 |
|
<δ → |
|
|
< ε. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
rG(t0 + t ) |
− rG(t0 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r′(t0 )= r′(t ) |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
, |
t = t |
−t0 . |
(1.9) |
|||||||||
|
t =t0 |
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
drG = rG′(t0 )dt. |
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
||||
Для m >1 аргументов аналогично имеем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂rG |
|
= lim |
rG(t01 |
+ t1 , t02 ,..., t0m )− rG(t01 , t02 ,..., t0m ) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t1 →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
............................................ |
|
|
|
|
(1.11) |
|||||||||||||||
|
∂rG |
= |
lim |
|
rG(t01 , t02 ,..., t0m + |
tm )− rG(t01 , t02 ,..., t0m ) |
. |
|
||||||||||||||||
|
∂tm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tm |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
tm →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9
Краткий курс дифференциальной геометрии
G |
m |
∂r |
i |
|
|
|
dr |
= ∑ |
|
|
dt |
. |
(1.12) |
∂t |
i |
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
§ 3. Правила дифференцирования скалярного, векторного и смешанного произведений
Теорема 1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(aG(t ) bG(t ))′ = aG′(t ) bG(t )+ aG(t ) bG′(t). |
|
(1.13) |
||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
G |
(t |
|
t ) b (t + |
|
|
|
G |
G |
(t ) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
aG(t ) bG |
(t ) ′ |
= lim |
a |
+ |
t )− a (t ) b |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= lim (aG(t + |
|
t )− aG(t )) b (t + |
t )+ aG(t ) (bG(t + |
t )−bG(t ))= |
|
||||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
t )− aG(t ) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t )−bG(t ) |
|
|||||||||||
= lim |
aG(t + |
lim bG |
(t + |
t )+ aG(t )lim |
b (t + |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
|
|
t |
|
G |
|
|
|
t→0 |
|
G |
|
G |
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= a′(t ) b (t ) |
+ a (t ) b′(t ). Ч. т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
(t ) |
′ |
|
|
G |
|
G |
|
G |
(t ) |
|
G |
|
|
(1.14) |
||||||
|
|
|
|
a (t ) |
,b |
|
= a′(t ),b (t ) + |
a |
,b′(t ) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ) − |
|
(t ) |
|
|
|
||||||||
G |
|
|
G |
|
|
′ |
|
|
|
a (t + t ),b (t + |
a (t ),b |
|
|
|
|||||||||||||||
a (t ),b |
(t ) |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|||||
|
|
|
G |
(t |
+ |
|
|
|
G |
|
|
|
(t + |
t ) |
G |
|
|
|
t ) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
t )− a (t ),b |
+ a (t ) |
,b (t + |
−b (t ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= aG′(t ),bG(t ) + aG(t ),bG′(t ) . Ч. т. д.
10