Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 1. Основы векторного анализа

Теорема 1.3.

(aG(t )bG(t )cG(t ))′ = (aG′(t )bG(t )cG(t ))+

+(aG(t )bG′(t )cG(t ))+(aG(t )bG(t )cG′(t )). (1.15)

Доказательство.

(aG(t )bG(t )cG(t))′ = (aG(t ) bG(t ),cG(t ) )′ =

=aG′(t ) bG(t ),cG(t ) + aG(t) ( bG′(t),cG(t ) + bG(t ),cG′(t) )=

=(aG′(t )bG(t )cG(t ))+(aG(t )bG′(t )cG(t ))+(aG(t )bG(t )cG′(t )). Ч. т. д.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Глава 2. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

§ 1. Способы задания плоской кривой

Рассмотрим на координатной плоскости xOy дифференцируемую вектор-функцию скалярного аргумента t :

rG	JJJG	= x(t )i + y (t ) Gj.	(2.1)
	= rG(t ) = OM

Множество точек M (x(t ), y (t )) — концов радиус-векто- ров rG(t ) при t T R называется плоской кривой. Здесь T —

конечный или бесконечный интервал. Плоская кривая задается одним из следующих способов.

1.С помощью дифференцируемой вектор-функции скалярного аргумента, т. е. формулой (2.1).

2.Параметрически:

	x = x(t ); y = y (t ).	(2.2)
3.	Как график функции
	y = f (x).	(2.3)
4.	Уравнением на обе декартовы координаты:
	F (x, y)= 0,	(2.4)

т. е. с помощью неявного задания функции.

Например, гиперболу можно задать одним из уравнений:

rG = 12 (a(t +1t )iG +b(t −1t )Gj );	(2.5)
x = 12 a(t +1t ), y = 12 b(t −1t );	(2.6)

				Глава 2. Плоские кривые
x2	−	y2	=1.	(2.7)
a2	−	b2	=1.	(2.7)
a2		b2

Однако ее нельзя задать уравнением (2.3), так как ордината y принимает два значения при заданном значении абсциссы x :

y = ± b	x2 − a2 .	(2.8)
a

§ 2. Касательная и нормаль в обыкновенной точке плоской кривой

Определение 2.1. Касательной к кривой
rG = rG(t )	(2.9)
в точке M (t0 ) называется предельное положение	секущей

M0 M1 , когда точка M1 совпадет с точкой M0 (рис. 1).

	M1
r	rG(t0 + t )
r

rG(t0 ) O

Рис. 1

Из этого определения следует, что вектор

rG′(t0 )= lim	r	(2.10)
t→0	t

Краткий курс дифференциальной геометрии

в случае, если rG′(t0 )≠ 0 , является направляющим вектором касательной в точке M0 .

Определение 2.2. Точка M0 кривой (2.9) называется осо-

бой точкой кривой, если rG′(t0 )= 0 . Если же rG′(t0 )≠ 0 , то точ-

ка M0 называется обыкновенной точкой кривой.

Следовательно, параметрическое уравнение касательной к кривой (2.9) в ее обыкновенной точке имеют вид:


x		= x	+ λx′(t		0	),
		0						(2.11)
		= y0	+ λy′(t0 ),
y

или
	x − x		=	y − y			.	(2.12)
	0				0
	x′(t0 )			y′(t0	)
Если кривая задана уравнением (2.3),								то, обозначая t = x ,
приводим уравнение (2.12) к виду:
y − y0		= f ′(x0 )(x − x0 ).						(2.13)

Если же плоская кривая задана неявным уравнением (2.4) то, дифференцируя его, находим:

∂∂Fx dx + ∂∂Fy dy = 0.

Следовательно,

f ′(x)=	dy	= −	∂F	= −	Fx	.
			∂x
			∂F
	dx				Fy
			∂y

Уравнение (2.13) приводится к виду:

Fx0 (x − x0 )+ Fy0 (y − y0 )= 0,

(2.14)

(2.15)

(2.16)

где нолик наверху означает, что частные производные взяты в точке M0 (x0 , y0 ).

Глава 2. Плоские кривые

Определение 2.3. Нормалью кривой (2.9) в точке M0 на-

зывается прямая, проходящая через точку M0 перпендикуляр-

но к касательной к кривой в этой точке.

Учитывая, что произведение угловых коэффициентов ортогональных прямых равно −1, запишем уравнение нормали в виде:

x′(t0 )(x − x0 )+ y′(t0 )(y − y0 )= 0,					(2.17)
x − x0 + f ′(x0 )(y − y0 ) = 0,					(2.18)
	x − x0	=	y − y0	.	(2.19)
	F
			F
	x		y

§ 3. Касательная к кривой в ее особой точке

Разложим вектор-функцию rG = rG(t ) в ряд Тейлора в окре-

JJJG

стности точки M0 кривой (2.9) (OM 0 = rG(t0 )):

	rG(t )= rG(t0 )+ hrG′(t0 )+					1	h2 rG′′(t0 )+... +
	rG(t )= rG(t0 )+ hrG′(t0 )+					2	h2 rG′′(t0 )+... +			(2.20)
	+	1	hnrG(n) (t0 )+O(hn ),							(2.20)
		1
		n!
def
где h = t −t0 .
Пусть в особой точке M0					кривой
G	G G			G	G(n−1)	(t0 )=		G G(n)	(t0 )	G
r′(t0 )= 0, r′′(t0 )= 0,..., r						(t0 )=		0, r	(t0 )	≠ 0. (2.21)
Тогда формула (2.20) принимает вид:										(2.22)
	rG = rG(t )− rG			(t0 )= 1 hn rG(n) (t0 )+ O(hn ).						(2.22)
	def

Следовательно, направляющим вектором касательной к кривой (2.9) в ее особой точке M0 будет ненулевой вектор rG(n) (t0 ).

Краткий курс дифференциальной геометрии

В координатной записи уравнение касательной имеет вид:

	x − x0	=		y − y0			.	(2.23)
	x(n) (t0 )			y(n) (t0 )

Пример. Найти уравнение касательной в начале координат
к кривой						G
	G	3	i	+t	2			(2.24)
	r = t					j.

Имеем:

rG′(0)= (3t2iG + 2tjG)t =0 = 0, rG′′(0)= (6tiG + 2 Gj )t =0 = 2 Gj ≠ 0.

Следовательно, уравнение касательной к кривой в точке M0 (0,0) имеет вид:


	x	=		y	↔ x = 0.	(2.25)
0
			2
Если при неявном задании кривой F (x, y)= 0						обе частные
производные Fx и Fy обращаются в нуль, т. е.
	Fx		= 0, Fy = 0			(2.26)

в точке M0 (x0 , y0 ), то через эту точку проходит в общем случае более одной касательной (рис. 2).

	y
y3 = x2	rG(t )
	rG(t )
0	x

Рис. 2

Глава 2. Плоские кривые

Осуществим параллельный перенос системы координат {O, x, y} , переводя точку O в точку M0 . Тогда

x = x0 +ξ, y = y0 +η,	(2.27)
где ξ,η — новые координаты точки плоскости.
Разлагая левую часть уравнения
F (x0 +ξ, y0 +η) = 0	(2.28)

в ряд Тейлора, получаем

F (x0 , y0 )+ Fx (x0 , y0 )ξ + Fy (x0 , y0 )η +

+12 (Fxx (x0 , y0 )ξ2 + 2Fxy (x0 , y0 )ξη + Fyy (x0 , y0 )η2 )+... = 0. (2.29)

Обозначим:

ϕ1 (ξ,η)= Fx0ξ + Fy0η;

ϕ2 (ξ,η)= Fxx0ξ2 + 2Fxy0 ξη + Fyy0η2 ,

ϕ3 (ξ,η) — совокупность всех остальных членов разложения.

Если Fx0 = 0, Fy0 = 0, то, учитывая, что F (x0 , y0 )= 0, получим (при ϕ2 (ξ,η)≠ 0 ) уравнения двух касательных к кривой в точке F (x0 , y0 ):

Fxx0 (x − x0 )2 + 2Fxy0 (x − x0 )(y − y0 )+ Fyy0 (y − y0 )2 = 0. (2.30)

Если же Fx0 = 0, Fy0 = 0, Fxx0 = 0, Fxy0 = 0, Fyy0 = 0, то касательные определятся приравниванием нулю многочлена третьей степени относительно x − x0 и y − y0 и т. д.

Пример 1. Декартов лист

F (x, y)≡ x3 + y3 −3axy = 0, (a ≠ 0).	(2.31)
Уравнения касательных в точке O(0, 0) xy = 0,	т. е. оси ко-
ординат являются касательными.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Пример 2. Лемниската Бернулли

F (x, y)≡ (x2 + y2 )2 − 2c2 (x2 − y2 )= 0, (c ≠ 0).		(2.32)
Уравнения касательных в точке O(0, 0)	x2 − y2	= 0, т. е.
это биссектрисы координатных углов.
Пример 3.
F (x, y)≡ x(y2 − x2 )+ 2x2 y2 = 0.		(2.33)
В начале координат O(0, 0) эта кривая имеет три касатель-
ные — ось Oy и биссектрисы координатных углов.
§ 4. Асимптоты плоских кривых
Определение 2.4. Асимптотой кривой	y = f (x)	называ-

ется прямая, к которой кривая неограниченно приближается при удалении ее текущей точки на бесконечность от начала координат.

Различают два типа асимптот: вертикальные, т. е. параллельные оси ординат или совпадающие с ней, и наклонные (включая горизонтальные), непараллельные оси ординат.

Вертикальные асимптоты задаются уравнением

x = a,	(2.34)
где a определяется из условия
lim f (x) = ±∞,	(2.35)
x→a
означающего, что при стремлении x к a	абсолютное значе-


ние функции f (x) неограниченно возрастает.
Например, вертикальными асимптотами функции
y =	x3		(2.36)
	x2	− 4

являются прямые x = 2 и x = −2.

Глава 2. Плоские кривые

Для определения наклонных асимптот (рис. 3)
Y = kx +b	(2.37)

y {}Y

Рис. 3

воспользуемся условием

lim (y −Y )= 0

(2.38)

x→∞

и его следствием

lim

y −Y

= 0.

(2.39)

x→∞

Из (2.39) находим угловой коэффициент k

асимптоты:

k = lim

= lim

f (x)

(2.40)

x→∞ x

x→∞

а из (2.38) находим b :

(

)

x→∞ (

− kx

(2.41)

b = lim

Знание асимптот кривой значительно облегчает построение графика функции y = f (x). Рассмотрим насколько примеров.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Пример 1.

y =

(2.42)

−

Вертикальными асимптотами являются прямые

x = −2 и

x = 2. По формулам (2.40) и (2.41) находим:

k = lim

=1; b = lim

− x = lim

= 0.

x→∞ x

− 4

x→∞ x

− 4

x→∞ x

− 4

Следовательно, прямая y = x является наклонной асимптотой. График функции (2.42) имеет вид (рис. 4):

Рис. 4
Пример 2.
y =	x2	.	(2.43)
y =	2x −5	.	(2.43)
	2x −5

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]