Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

ресекающих две прямые a(aαβ ), b (bαβ ), называемые директ-

рисами линейной конгруэнции (6.20).

Семейство трех линейно-независимых линейных уравнений

определяет в P3 демиквадрику — одно семейство прямолинейных образующих линейчатой поверхности второго порядка.

§ 5. Геометрические образы на гладкой поверхности проективного пространства

Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве P3

Определение 6.10. Асимптотической линией на поверхно-

сти S называется линия, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью к поверхности.

101

Краткий курс дифференциальной геометрии

Обозначим символом (M0 M1M2 M3 ) определитель из координат точек. Тогда

порядка, проходящей через три смежных касательных к асимптотическим линиям одного семейства вдоль одной линии другого семейства.

Оказывается, что независимо от выбора семейства асимптотических в точке A0 существует единственная квадрика Ли. Она имеет касание второго порядка с поверхностью S в ее

точке A0 .

Характеристика квадрик Ли вдоль каждой асимптотической линии (предельное положении линии пересечения квадрик Ли в двух смежных точках асимптотической) распадается на четыре прямые — сдвоенную асимптотическую касательную и пару прямых Демулена. Четырехсторонник, образованный двумя парами этих прямых, называется четырехсторон-

ником Демулена.

Определение 6.12. Соприкасающимся линейным комплек-

сом поверхности S в точке A0 называется предельное поло-

жение линейного комплекса, определяемого пятью смежными асимптотическими касательными к одной асимптотической линии, проходящей через точку A0 .

Определение 6.13. Соприкасающейся линейной конгруэн-

цией поверхности S в точке A0 называется линейная конгруэнция, определенная двумя соприкасающимися линейными

102

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

комплексами поверхности S . Директрисы этой конгруэнции называются директрисами Вильчинского поверхности S .

Одна из этих директрис лежит вне касательной плоскости и проходит через точку A0 (первая директриса Вильчинского),

другая лежит в касательной плоскости (вторая директриса Вильчинского) и не содержит точку A0 .

Рассмотренные геометрические образы позволяют в каждой точке поверхности S определить единственную проективную систему координат — канонический репер поверхности {A0 , A1, A2 , A3} , где A0 — точка поверхности, A1, A2 — точки пересечения второй директрисы Вильчинского с асимптотическими касательными, A3 — точка пересечения первой директрисы Вильчинского с квадрикой Ли.

§ 6. Нормаль Бляшке на гладкой поверхности трехмерного аффинного пространства

когда начало координат A ≡ A0 , а векторы eI определяют направления, задающие в расширенном евклидовом пространстве несобственные точки A1 (1, 0, 0, 0) , A2 (0,1, 0, 0), A3 (0, 0,1, 0).

Дифференциальное уравнение поверхности S запишется в виде

103

Краткий курс дифференциальной геометрии

JG

так как вектор d A лежит в касательной плоскости, а значит, разлагается только по векторам e1 и e2 .

Асимптотические линии на поверхности S определяются уравнениями

Немецкий геометр Вильгельм Бляшке (1885—1962) построил в каждой точке A S инвариантную прямую, назван-

ную впоследствии аффинной нормалью Бляшке.

Определение 6.14. Пусть S — гладкая поверхность гиперболического типа, т. е. с действительной сетью асимптотиче-

ских линий. Аффинной нормалью Бляшке в точке A S назы-

вается предельное положение диагонали AM пространственного четырехугольника, построенного на асимптотических касательных в точке A поверхности и двух асимптотических касательных противоположных семейств, взятых в смежных с A точках M1 и M2 первой и второй асимптотической линии,

когда последние стремятся к точке A .

Определение 6.15. Аффинной нормалью Бляшке поверхно-

сти S эллиптического типа называется касательная к линии, описанной центрами плоских сечений поверхности S , параллельных касательной плоскости поверхности S в точке A и направленных в сторону ее изгибания. При этом под центром сечения понимается центр тяжести соответствующей однородной пластины, порожденной этим сечением.

Аффинная нормаль Бляшке позволяет построить инвариантную (с точностью до нормировки базисных векторов) аффинную систему координат: A — точка поверхности, e1 и eG2

направлены по асимптотическим касательным, а e3 — по аффинной нормали Бляшке.

104

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

§ 7. Дифференцируемые многообразия

Важнейшим понятием в математике является понятие топологического пространства.

Определение 6.16. Топологическим пространством назы-

вается множество X элементов произвольной природы, называемых точками с заданным семейством Σ его подмножеств

Uα , называемых открытыми подмножествами и удовлетво-

ряющих следующим свойствам:

1)пустое множество и множество X — открытые множества;

2)объединение любой совокупности открытых множеств — открытое множество;

3)пересечение конечного числа открытых множеств —

открытое множество.

Если x U Σ , то U называется окрестностью точки x .

Определение 6.17. Хаусдорфовым пространством назы-

вается топологическое пространство, в котором любые две различные точки x и y можно разделить непересекающимися

открытыми множествами из Σ, т. е.

x, y X U ,V x U y V U ∩V = . (6.31)

Определение 6.18. n -мерным дифференцируемым многооб-

разием класса Cr называется хаусдорфово пространство Mn , на котором определена совокупность τ подмножеств Uα Mn (локальных карт), удовлетворяющая следующим тремусловиям.

1.τ является покрытием пространства Mn , т. е.

x Mn Uα τ → x Uα .

2.Для каждого Uα τ существует непрерывное биективное отображение ϕα :Uα →Vα En , где Vα — область n -мер- ного евклидова пространства En .

105

Краткий курс дифференциальной геометрии

3. Отображение

fαβ =ϕα−1 Dϕβ : ϕα (Uα ∩Uβ )→ϕβ (Uα ∩Uβ )

одной области евклидова пространства En в другую осуществляется r раз непрерывно-дифференцируемыми функциями.

Координаты точки ϕα (x)= (x1, x2 ,..., xn ) в En называются координатами точки x Uα Mn . Дифференцируемые преоб-

В дифференциальной геометрии рассматриваются различные дифференцируемые многообразия, снабженные полями геометрических объектов — совокупностями функций, преобразующихся при переходе от системы локальных координат

(xi ) к другой (xi′ ) по определенным правилам, удовлетво-

ряющим законам взаимности и транзитивности.

Рассмотрим, например, поле объекта аффинной связности {Γijk }, закон преобразования которого имеет вид:

106

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

Определение 6.19. n -мерным пространством аффинной связности называется дифференцируемое многообразие Ln , оснащенное полем объекта аффинной связности.

Определение 6.20. Тензором типа (p,q) (или p раз ковариантным и q раз контравариантным тензором) называется система np+q функций с p нижними и q верхними индексами, преобразующихся при переходе от одной системы локальных координат (xi ) к другой (xi′ ) по закону:

является на Ln тензором типа (2,1). Он называется тензором кручения пространства Ln . Если

то пространство Ln называется пространством аффинной связности без кручения и обозначается символом L0n .

Система величин

образует на Ln тензор, называемый тензором кривизны про-

странства аффинной связности.

Определение 6.21. n -мерным римановым пространством

называется дифференцируемое многообразие Rn , оснащенное полем дважды ковариантного невырожденного симметричного положительно определенного тензора {gij } — метриче-

ского тензора.

107

Краткий курс дифференциальной геометрии

является положительно определенной. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1. Риманово пространство Rn является пространством аффинной связности без кручения.

Доказательство. Пусть {gij } — дважды ковариантный

образует на Rn поле объекта аффинной связности, причем

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

Риманово n -мерное многообразие Rn является обобщением на многомерный случай гладкой поверхности S в трехмерном евклидовом пространстве E3 , когда на ней изучается

«внутренняя геометрия», т.е. геометрия без использования свойств объемлющего поверхность S евклидова пространства.

109

Краткий курс дифференциальной геометрии

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изло-

жении. Ч. 2. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с. (б-ка МГУ).

2.Малаховский В. С. Теории конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве: учебное пособие. Калининград, 1986. 72 с. (ЧЗ №3).

3.Норден А.П. Дифференциальная геометрия. М.: ГУПИ РСФСР, 1948. 216 с. (НА).

4.Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: ГИТТЛ, 1954. 516 с.

(НА).

5.Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:

ГИТТЛ, 1953. 636 с. (НА).

6.Фиников С.П. Теория поверхностей. М.; Л.: ОНТИ, 1934. 208 с. (б-ка МГУ).

7.Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.;

Л.: ОНТИ, 1937. 264 с. (б-ка МГУ).

8.Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М.: ГУПИ, 1939. 236 с. (б-ка МГУ).

110