Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Глава 5. Специальные классы поверхностей

Не умаляя общности, можно считать вектор l = lG(v) единичным, а параметр v — длиной дуги кривой aG = aG(v). Тогда

91

Краткий курс дифференциальной геометрии

Определение 5.3. Множество горловых точек линейчатой поверхности S называется ее горловой линией, или линией сжатия.

Определение 5.4. Прямым, или минимальным, геликоидом

называется линейчатая поверхность, горловая линия которой — прямая.

Из этого определения следует, что прямой геликоид образован прямыми, которые ортогонально пересекают неподвижную прямую, равномерно вращаясь и двигаясь вдоль нее. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.3. Единственной минимальной линейчатой поверхностью является прямой геликоид.

92

Краткий курс дифференциальной геометрии

группы преобразований выполняются все законы абстрактной группы как алгебраической структуры.

Определение 6.3. Геометрией данной группы преобразований пространства M называется наука, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно всех преобразований этой группы — фундаментальной группы пространства M .

Название геометрии обычно совпадает с названием группы. Например, аффинная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно группы аффинных (линейных) преобразований. Проективная геометрия рассматривает свойства, сохраняющиеся при всевозможных проективных (дроб- но-линейных) преобразованиях.

Однако евклидовой геометрией называется наука, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при всевозможных движениях; конформной геометрией — при всех преобразованиях подобия; топологией — при всех непрерывных преобразованиях.

До сих пор в вестибюле Эрлангенского университета висит мемориальная доска с портретом Феликса Клейна и кратким изложением его знаменитой программы, позволившейвыявить глубокие связи не только между геометриями, открытыми и исследованными вXIX иXX веках, ноиоткрываемыми вXXI веке.

§ 2. n-мерное проективное пространство

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

элемент, т. е. класс эквивалентности (множество всех коллинеарных друг другу ненулевых векторов), — геометрической точкой и обозначается A . Если a ≠ 0 , то аналитическая точка

A определяет единственную геометрическую точку, но одной геометрической точке A соответствует бесконечное множество аналитических точек, лежащих на одной прямой.

Таким образом, n -мерное проективное пространство интерпретируется n -мерной связкой прямых (n +1)-мерного

евклидова пространства. Для n =1 и n = 2 такая интерпретация позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками расширенной евклидовой прямой (плоскости) и точками проективной прямой (плоскости) (рис. 21, 22).

95

Краткий курс дифференциальной геометрии

Из этих интерпретаций следует, что отличие проективной прямой (плоскости) от расширенной евклидовой прямой

(плоскости) в том, что на P1 (P2 ) все точки равноправны, а на

E1 (E2 ), где E1 (E2 ) — расширенная евклидова прямая (плос-

кость), несобственные точки занимают особое положение.

Определение 6.5. Проективной системой координат в n -мерном проективном пространстве Pn называется базис ас-

социированного (n +1)-мерного векторного пространства Vn+1 , т.е. упорядоченная совокупность (n +1) линейно-независимых аналитических точек

Однородными проективными координатами точки M Pn

относительно проективной системы координат (6.2) называются координаты любой ненулевой аналитической точки M M :

Здесь и в дальнейшем один одинаковый индекс вверху и внизу означает суммирование в указанных пределах (здесь — от 0 до n ).

§3. Группа проективных преобразований

иее подгруппы

Определение 6.6. Пусть C = (Cαβ ) — невырожденная матри-

ца. Проективным преобразованием пространства Pn называется биективноеотображение Pn → Pn , определяемое формулой

96

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

Учитывая закон умножения матриц и их невырожденность, убеждаемся, что множество всех проективных преобразований

пространства Pn образует (n2 + 2n)-членную группу — группу

проективных преобразований Gr , где r = n2 + 2n . Для n =1

(проективной прямой) r = 3, для n = 2 (проективной плоскости) r =8 , для n = 3 (проективного пространства) r =15 .

Основной подгруппой группы проективной группы преобразований является группа аффинных преобразований Am , выделяемая из группы проективных преобразований сохранением в Pn одной гиперплоскости

называемой несобственной гиперплоскостью расширенного евклидова пространства. Аффинные преобразования в однородных и неоднородных координатах определяются соответственно формулами:

97

Краткий курс дифференциальной геометрии

группа Km3 конформных преобразований

группа Hm0 движений

и ее подгруппы — группа вращений (ai = 0) и группа сдвигов

(aij =δ ij ).

Каждая из этих подгрупп имеет свой основной инвариант. Например, в группе Gr проективных преобразований основ-

ным инвариантом является сложное отношение четырех точек на прямой; в группе аффинных преобразований — простое отношение трех точек на прямой; в группе эквиаффинных преобразований — объем n -мерного тетраэдра; в группе конформных преобразований — угол между двумя прямыми; наконец, в группе движений — расстояние между двумя точками.

§4. Линейные комплексы и линейные конгруэнции

втрехмерном проективном пространстве

Определение 6.7. Грассмановыми координатами прямой h P3 , определяемой двумя точками M (xα ), N (yα ), называ-

ется упорядоченная совокупность шести определителей матрицы

98

Глава 6. Дополнительные разделы геометрии

сти и определитель четвертого порядка из их координат равен

99

Краткий курс дифференциальной геометрии

В трехмерном проективном пространстве P3 существуют

три типа линейчатых многообразий: одномерные — линейчатые поверхности, двумерные — прямолинейные конгруэнции и трехмерные — линейчатые комплексы, которые на гипер-

квадрике Q42 изображаются соответственно одномерными,

двумерными и трехмерными точечными многообразиями.

Определение 6.8. Линейным комплексом называется мно-

жество прямых в P3 , грассмановы координаты которых удовлетворяют одному линейному уравнению

a,q ≡ a01q23 + a02q31 + a03q12 + a23q01 + a31q02 + a12q03 = 0. (6.19)

Линейный комплекс (6.19) называется специальным, если точка A(aαβ ) пространства P5 лежит на гиперквадрике Q42 ,

т. е. a, a = 0.

Такой комплекс в P3 есть множество всех прямых пространства, пересекающих одну прямую a(aαβ ).

Определение 6.9. Линейной конгруэнцией называется множество прямых в P3 , грассмановы координаты которых

удовлетворяют системе двух линейно-независимых линейных однородных уравнений

деляют ту же самую линейную конгруэнцию (6.20), так как система уравнений

a, p ≡ λ1a + μ1b, p =0, b, p ≡ λ2a + μ2b, p = 0 (6.21)

эквивалентна системе (6.20) в силу λ1μ2 −λ2 μ1 ≠ 0.

Следовательно, в трехмерном проективном пространстве P3 линейная конгруэнция — это множество всех прямых, пе-

100