Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

sinϕ cosϕ ↔ (k2

− k1 )sinϕ cosϕ, (4.145)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 4. Теория поверхностей

Для вывода этих формул используется формула (4.64):

G	2 G		2	′		′′	2	.	(4.136)
m d	r = Ddu			+ 2D dudv +		D dv		.	(4.136)
Разлагая		G		G	G
		G		G	G
	ruu = aru			+brv + Dm,
	G	G		G	′G				(4.137)
	ruv = a1ru +b1rv				+ D m,				(4.137)
	G	G		G	′′G
	rvv = a2 ru +b2rv				+ D m

и умножая эти уравнения на ru и rv , получим шесть линейных уравнений:


aE +bF =	1	E ;		a E +b F =			1	E ;		a E + b F = F −				1		G ;		(4.138)

2		u	1	1	1	2		v	1	2		2	v	2			u
aF +bG = F −				E ;	a F +b G =					G ;	a	F + b G =			1		G
			2						2
		u		v	1	1				u	2	2		2			v

для определения символов Кристоффеля по формулам (4.135)

						a				,
a = 1 1 , b = 1 1 ,						a		= 1 2		,
	1		2				1	1			(4.139)
		, a	=				,	b =			(4.139)
b = 1 2		, a	=	2 2			,	b =	2 2 .
1	2	2			1			2	2

По определению геодезической линии n = ±mG.

Следовательно

2 G

du dv

= ±

= ruu

+ 2ruv

ds ds

G dv 2

G d 2u G d 2v

+ rvv

+ ru

+ rv

(4.140)

(4.141)

Определение 4.23. Геодезической кривизной линии (4.117)

на поверхности S	в точке M S называется проекция		1
на поверхности S	в точке M S называется проекция		ρg
			ρg
вектора кривизны	1	nG на касательную плоскость к поверхно-
вектора кривизны	ρ	nG на касательную плоскость к поверхно-

сти в этой ее точке.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Из этого определения следует, что

1	=	1	sinθ ↔ kg = k sinθ,	(4.142)
ρg
		ρ

где θ — уголмеждуортом n главнойнормалилиниииортом m.

Теорема 4.11. Линия Γ S тогда и только тогда является геодезической линией поверхности S , когда в каждой ее

точке ее геодезическая кривизна 1 равна нулю, т. е.

ρg

		k	g	=	1	= 0.	(4.143)
		k		=		= 0.	(4.143)
					ρ
					g
Доказательство.		Действительно, условие θ = 0					эквива-
G		G
лентно условию n	= ±m в каждой точке M Γ , т. е. линия яв-

ляется геодезической, и наоборот: если главная нормаль линии в каждой точке M Γ совпадает с нормалью к поверхности в этой точке, то θ = 0 . Ч. т. д.

Теорема 4.12. Геодезические линии на поверхности S обладают следующими свойствами.

1.Они являются кратчайшими линиями, лежащими на по-

верхности и соединяющими две ее произвольные точки A и B из области U S .

2.Они сохраняют постоянное направление на поверхности.

3.Натянутая упругая нить на гладкой поверхности является ее геодезической линией.

4.Площадь сферического изображения односвязной области, ограниченной замкнутой геодезической линией без особых точек, равна половине площади сферы единичного радиуса, т. е.

∫∫KdS = 2π.

(4.144)

5. Только на развертывающейся поверхности два семейства геодезических могутпересекатьсяподпостоянным углом.

Глава 4. Теория поверхностей

6. Только прямая линия на поверхности S является одновременно и асимптотической, и геодезической линией.

Доказательство этих свойств геодезических мы опускаем.

Примеры.

1.S — плоскость. Геодезические линии — прямые.

2.S — сфера. Геодезические линии — окружности большого круга (радиуса R ).

3.S — прямой круговой цилиндр. Геодезические линии —

винтовые линии, прямолинейные образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными оси.

Определение 4.14. Геодезическим кручением линии Γ S

называется величина

где R1 , R2 — главные радиусы кривизны, ϕ — угол между

касательной к линии Γ и касательной к линии кривизны.

Из формул (4.145) непосредственно следует, что вдоль линии кривизны и только вдоль нее геодезическое кручение равно нулю.

Краткий курс дифференциальной геометрии

Глава 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 1. Плоскость

	rG = ui + vjG.					(5.1)
Имеем			G		G
G		= i ,	G		G	(5.2)
r		= i ,	r	= j,		(5.2)
u			v
r		= rG	= rG		= 0.	(5.3)
uu		uv	vv
Следовательно,
D = 0, D′ = 0, D′′ = 0.						(5.4)

Наоборот, если для поверхности справедливы тождества (5.4), то S — плоскость (рис. 18).

O j

Рис. 18

rG = xi + yjG + zk , rGx = iG + ∂∂xz kG; rGy = Gj + ∂∂yz kG;

∂2rG

∂2 z G

∂2rG

∂2 z

∂2rG

∂2 z

∂x2

;

∂y2

∂x∂y

(5.5)

(5.6)

Глава 5. Специальные классы поверхностей

Из (5.4) следует:

∂z

∂2 z

= 0,

∂x

k , j

∂y

k ,

∂x

∂z

∂

, j

k ,

= 0,

∂x

∂y

∂x∂y

∂z

∂2 z

= 0.

∂x

, j

∂y

k ,

∂y

Интегрируя (5.7), получим:

Ax + By +Cz + D = 0,

где A, B,C, D — постоянные.

(5.7)

(5.8)

Следовательно, на плоскости любая линия — асимптотическая.

Так как для любой плоской линии, отличной от прямой, главная нормаль совпадает с обычной нормалью, то она не может совпадать с нормалью к плоскости. Следовательно, только прямые линии, т. е. линии с неопределенной соприкасающейся плоскостью, могут быть геодезическими линиями на плоскости.

§ 2. Сфера

Поместим начало координат в центр сферы. Тогда rG = amG (a = const ).

Из формул (4.63), (4.64), (5.9) следует:

G	G	E			G G	F
D = −mu	ru = −			;	D′ = −mu rv = −		;
D = −mu	ru = −	a		;	D′ = −mu rv = −	a	;
		a				a
G	G		G
D′′ = −mv rv = −					.
D′′ = −mv rv = −			a		.
			a

(5.9)

(5.10)

Краткий курс дифференциальной геометрии

Значит,
	DD′′−(D′)2	1			2F (−	F	)+ E Ga + GEa	1
K =				; H =		a
		=						=		, (5.11)
	EG − F 2		a2		2(EG − F 2 )				a

т. е. обе кривизны сферы и полная (гауссова) и средняя постоянны.

Оба главных радиуса кривизны совпадают и равны радиусу сферы (см. формулу (5.11)). По формуле Эйлера все радиусы кривизны нормальных сечений совпадают и равны a .

Так как все нормали сферы пересекаются в ее центре, то по теореме Монжа любая линия на сфере — это линия кривизны.

§ 3. Поверхность вращения

G	G	G
r	= ir cosϕ + jr sinϕ + kf (r );
G	G	G	G
rr = i cosϕ + j sinϕ + kf ′(r );
G	G	G		(5.12)
rϕ = −ir sinϕ + jr cosϕ;				(5.12)
G	G	G	G	G
rrr = kf ′′(r );		rrϕ	= −i sinϕ +	j cosϕ;
	G		G
rGϕϕ = −ir cos		ϕ − jr sinϕ (рис. 19).

M (x, y, z)

Oϕ

Рис. 19

Глава 5. Специальные классы поверхностей

Следовательно,

E =1+( f ′(r ))2 ; F = 0;

G = r2 ;

(5.13)

D =

f ′′(r )

;

D′ = 0; D′′

rf ′(r )

;

(5.14)

1+( f ′(r ))2

1+(f ′(r ))2

m =

(−if ′(r)cosϕ −

jf ′(r )sinϕ

+ k ).

(5.15)

1+( f ′(r ))2

Так как

F = 0, D′ = 0,

то координатные линии

r = const

(параллели)

и ϕ = const

(меридианы)

являются линиями кри-

визны. Из

r cosϕ

r sinϕ

f (r )

= 0

(5.16)

f ′(r )cosϕ

f ′(r)sinϕ

−1

следует, что нормали поверхности вращения пересекают ее ось.

Имеем:				rf ′′(r )+ f ′(r )(1+(f ′(r ))2 )
K =	f ′(r ) f ′′(r )		H =
		;			. (5.17)
	r (1+(f ′(r ))2 )			2r (1+(f ′(r ))2 )32

§ 4. Минимальные поверхности

Определение 5.1. Поверхность S называется минимальной, если в каждой ее точке средняя кривизна равна нулю, т. е.

	′	− ED	′′	−GD
H =	2FD				= 0.	(5.18)

	2 EG − F 2

Краткий курс дифференциальной геометрии

Терема 5.1. Поверхность S тогда и только тогда минимальная, когда сеть асимптотических линий на ней — ортогональная.

Доказательство. Так как на плоскости (K = 0, H = 0) любая линия — асимптотическая, то любая ортогональная сеть

на ней является асимптотической. Средняя кривизна сферы
H =	1	≠ 0. Исключая эти поверхности из рассмотрения, отне-
H =		≠ 0. Исключая эти поверхности из рассмотрения, отне-
	R								D′ = 0,
сем поверхность S к линиям кривизны. Тогда F = 0,									D′ = 0,
				H = −	ED′′+GD	.			(5.19)
				H = −		.			(5.19)
					2 EG
1. Необходимость. Условие H = 0 означает, что
			D	D′′			′′
			E =	−G = t → D = Et; D			′′	= −Gt.	(5.20)
			E =	−G = t → D = Et; D				= −Gt.	(5.20)

Из уравнения асимптотических линий находим:

dv	= −	D	;	δv	= − −	D	.
du		D′′		δu
						D′′

По формуле (4.34)


cosψ =	E +G			dv δv
	E +G			du	δu			.
	E +G (	dv	)2 E +G (			δv	)2
	E +G (	du	)2 E +G (			δu	)2

Имеем:

δv

E +G

= E −G

−

= E +G

−

= 0,

δu

D′′

следовательно, ψ = π2 .

2. Достаточность. Пусть

E +G dudv δδuv = 0.

(5.21)

(5.22)

(5.23)

Глава 5. Специальные классы поверхностей

Учитывая (5.21), получим:

E +G	D	= 0 ↔	ED	′′	+GD	= 0 ↔ H = 0.	(5.24)

	D′′			D′′

Ч. т. д.

Теорема 5.2. Пусть поверхность S натянута на замкнутую пространственную кривую L . Ее площадь тогда и только тогда будет наименьшей, когда S — минимальная поверхность.

Доказательство. Обозначим	G	G
G			(5.25)
q =εϕ(u,v)≥ 0, r	= r	+ qm,

где ε — бесконечно малая величина, а дважды непрерывно

дифференцируемая функция ϕ(u,v)					обращается в нуль на кон-
туре L . Имеем:
G 2	G2		G	G	2	G2	2	.		(5.26)
dr	= dr	+ 2qdr		dm + q dm			+ dq	.		(5.26)
		G2	= F1 (d ),			G	G		(d )	(см.
Учитывая формулы dr			= F1 (d ),			dr	dm = −F2		(d )	(см.

(4.27), (4.61)) и ограничиваясь первой степенью q , получим: drG 2 ≈ (E − 2qD)du2 + 2(F − 2qD′)dudv +(G − 2qD′′)dv2 . (5.27)

Следовательно, пренебрегая членами сq2 , находим:

−(F

)

≈ EG

− F

′′

′

− 2q(DG + D E − 2FD

2FD′− ED′′−GD

= (EG − F

) 1

+ 2q

EG − F

т. е.

E G −(F )2

≈

EG − F 2 (1+ 4qH )

≈

(5.28)

≈ EG − F 2 (1+ 2qH ),

Краткий курс дифференциальной геометрии

	1
где, разлагая (1+ 4qH )			по биному Ньютона, мы по-прежнему
		2
ограничиваемся первой степенью q . Имеем:
σ = ∫∫	E G −(F )2 dudv =
(D)	(5.29)

= ∫∫ EG − F 2 dudv + 2ε ∫∫ϕH EG − F 2 dudv.
(D)			(D)

Следовательно, для того чтобы поверхность S имела минимальную площадь, необходимо и достаточно, чтобы H = 0 . Ч. т. д.

§ 5. Линейчатые поверхности

Определение 5.2. Линейчатой поверхностью называется поверхность S , образованная однопараметрическим семейством прямых линий.

Линейчатая поверхность определяется уравнением:

rG = aG(v)+l (v)u

(рис. 20).

Имеем:

daG

drG =

dv +u

dv +lG(v)du.

Обозначим:

b =

, c

Тогда

daG

= l

u dudv +

+ 2

u +

(5.30)

(5.31)

(5.32)

(5.33)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]