Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Глава 4. Теория поверхностей

где S0 — площадь области U S.

§ 5. Огибающая семейства поверхностей

Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей

где C R — произвольный параметр. Линия пересечения двух смежных поверхностей семейства определяется системой уравнений

61

Краткий курс дифференциальной геометрии

Определение 4.6. Линия (4.45) называется характеристи-

кой семейства (4.41). Огибающей семейства (4.41) называется множество его характеристик.

Уравнение огибающей семейства (4.41) получается подстановкой в первое уравнение системы (4.45) значений пара-

метра C = C (x, y, z), полученного из второго уравнения.

Теорема 4.1. Огибающая касается каждой поверхности семейства вдоль характеристики.

Доказательство. Касательная плоскость к поверхности семейства определяется уравнением (4.20):

Уравнение касательной плоскости к огибающей вдоль характеристики определяется уравнениями

т. е. (4.47) эквивалентно уравнению (4.46). Ч. т. д.

Определение 4.7. Предельной точкой характеристики

(4.45) семейства (4.41) называется точка, определяемая системой уравнений

Глава 4. Теория поверхностей

Геометрически предельная точка характеристики — это предельная точка пересечения двух смежных характеристик при C → 0 :

ляющую предельную точку характеристики (4.45). Определение 4.8. Ребром возврата огибающей семейства

(4.41) называется линия, описываемая предельными точками характеристик семейства.

Теорема 4.2. Ребро возврата касается каждой характеристики в ее предельной точке.

Доказательство. Касательная к характеристике (4.45) в ее предельной точке M (x, y, z) определяется системой уравнений

где надо заменить частные производные с учетом, что

C = C (x, y, z), т. е.

63

Краткий курс дифференциальной геометрии

и учесть уравнения (4.47). Приходим к той же самой системе

(4.52), где ∂∂Fx , ∂∂Fy , ∂∂Fz уже обычные частные производные.

Такая система определяет касательную к характеристике в предельной точке M (x, y, z) при заданном значении C . Следовательно, ребро возврата касается характеристики в точке

M (x, y, z). Ч. т. д.

§ 6. Развертывающиеся поверхности

Определение 4.9. Развертывающейся поверхностью, или

торсом, называется огибающая однопараметрического семейства непараллельных плоскостей.

Так как любые две плоскости семейства пересекаются по прямой, то предельным положением (при C → 0 ) будет также прямая. Следовательно, огибающая однопараметрического семейства непараллельных плоскостей состоит из прямых линий. Такая поверхность называется линейчатой, а каждая характеристика называется прямолинейной образующей этой линейчатой поверхности.

Из теоремы 4.2 следует, что развертывающаяся поверхность в общем случае образована однопараметрическим семейством прямых, касающихся пространственной кривой (ребра возврата). Однако в специальных случаях, когда ребро возврата вырождается в точку или несобственную точку, раз-

64

Глава 4. Теория поверхностей

вертывающаяся поверхность является конической (когда все ее прямолинейные образующие проходят через одну точку — вершину конуса) или цилиндрической (когда все прямолинейные образующие коллинеарны друг другу). Например, совокупность касательных плоскостей к прямому круговому конусу или к прямому круговому цилиндру является именно одним из таких специальных случаев.

§ 7. Вторая квадратичная форма поверхности. Асимптотические линии

65

Краткий курс дифференциальной геометрии

Обозначим через θ угол между ортом n главной нормали кривой (4.55) и ортом m нормали к поверхности. Тогда

Определение 4.10. Второй квадратичной формой поверх-

ности S называется квадратичная форма

66

Глава 4. Теория поверхностей

Из (4.64) и (4.63) следует утверждение теоремы.

Определение 4.11. Асимптотической линией на поверхно-

сти S называется линия Γ S , в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость линии совпадает с касательной плоскостью к поверхности.

Теорема 4.4. Асимптотические линии на поверхности S

то для совпадения касательной плоскости к поверхности S и соприкасающейся плоскости линии (4.67) необходимо и достаточно выполнения условия

Из формул (4.69), (4.64) следует утверждение теоремы.

67

Краткий курс дифференциальной геометрии

§ 8. Сопряженные направления на поверхности

Полярная форма от второй квадратичной формы (4.60), составленная для направлений (4.29), имеет вид:

Определение 4.12. Два направления — dr и δr — называются сопряженными, если они обращают в нуль полярную

форму Φ2 (d,δ ), т. е.

D(u,v)duδu + D′(duδv + dvδu)+ D′′(u,v)dvδv = 0. (4.71)

Теорема 4.5. Касательные к линиям одного семейства кривых на поверхности S , проведенные в точках пересечения их с какой-нибудь одной кривой сопряженного семейства, образуют развертывающуюся поверхность (рис. 17).

Доказательство. Две смежные прямые семейства « δ », касающиеся поверхности S в точках M и M1 одной линии семейства«d», тогдаитолькотогдаогибаютнекоторуюкривую γ (или пересекаются, или параллельны друг другу), когда векторы drG, δr , δ (rG + drG) лежат в одной плоскости, т.е. когда

68

Глава 4. Теория поверхностей

γ

M dr M1

"δ "

+(rGvv rGv rGu )(dudvδv2 − dv2dvδu)= (duδv − dvδu)×

×(EG − F 2 )(Dduδu + D′(duδv + dvδu)+ D′′dvδv).

Так как EG − F 2 > 0, duδv − dvδu ≠ 0, то из (4.75) следует, что условие (4.72) выполняется тогда и только тогда, когда

Φ2 (d,δ )= 0. Ч. т. д.

Из условия сопряженности (4.71) непосредственно следует

Теорема 4.6. Координатная сеть линий на поверхности S сопряжена тогда и только тогда, когда

69

Краткий курс дифференциальной геометрии

§ 9.Нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье

Определение 4.13. Нормальным сечением поверхности S в

точке M γ называется линия γn пересечения с поверхно-

стью S плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к линии γ в точке M . Нормальной кривизной

кривой (4.77) на поверхности S в точке M называется взятая с определенным знаком кривизна ее нормального сечения.

Обозначим буквой R кривизну нормального сечения, порожденного кривой (4.77). По формуле (4.56), полагая θ = 0 π , по-

Выберем в дальнейшем для радиуса R нормальной кривизны знак следующим образом: будем считать R > 0 , если центр кривизны нормального сечения будет лежать внутриG поверхности, т. е. на отрицательном направлении нормали m поверхности, в противном случаеG будем считатьG R отрицательным, т. е. R > 0 , если n = −m, R < 0, если n = m. Тогда

70