Краткий курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Глава 4. Теория поверхностей

Теорема 4.7 (Менье). Центр C кривизны кривой на поверхности есть ортогональная проекция на соприкасающуюся плоскость кривой центраC1 кривизны нормального сечения.

Доказательство. Из формулы (4.80) следует, что

где θ — угол между главной нормалью кривой и нормалью ее нормального сечения. Ч. т. д.

§10. Главные кривизны

иполная кривизна поверхности

Запишем формулу (4.81) в виде

Величина R зависит от выбранной точки M S и отношения du : dv дифференциалов.

Определение 4.14. Главным направлением на поверхности

S в ее точке M называется направление, вдоль которого нормальная кривизна (а значит, и радиус R нормальной кривизны) принимает экстремальное значение.

Определение 4.15. Главной кривизной поверхности S в ее точке M называется экстремальное значение нормальной

кривизны R1 .

Теорема 4.8. В каждой точке поверхности S , отличной от плоскости или сферы, имеются две главные кривизны:

71

Краткий курс дифференциальной геометрии

Доказательство. Дифференцируя равенство Ψ = 0 по du

(u,v, dv = const ) и по dv (u,v, du = const ) и требуя ∂∂duR = 0,

∂∂dvR = 0, получим:

+DD′′−(D′)2 = 0.

Это уравнение определяет две главные кривизны 1R1 и 1R2 поверхности S в точке M .

Определение 4.16. Полной кривизной поверхности S в

точке M называется произведение ее главных кривизн:

Средней кривизной поверхности S в точке M называется полусумма ее главных кривизн:

Определение 4.17. Сферической индикатрисой области U S называется область U на сфере S единичного ра-

72

Глава 4. Теория поверхностей

диуса, описанная концами ортов всех нормалей m в точках M U с началами в начале координат, т.е. описанная концами радиус-векторов m для всех точек M U.

Теорема. 4.9 (Гаусса). Абсолютное значение полной кривизны поверхности S в ее точке M есть предел отношения

Из формул (4.27), (4.57), (4.94) следует:

e = −(KE + 2HD); f = −(KF + 2HD′); g = −(KG + 2HD′′). (4.95)

73

Краткий курс дифференциальной геометрии

Сравнивая (4.96) и(4.91), получаем утверждение теоремы 4.9.

§ 11. Линии кривизны. Теорема Монжа

Определение 4.18. Линией кривизны на поверхности S называется линия, в каждой точке которой касательная имеет главное направление.

Теорема 4.10. Через каждую точку поверхности S , не являющейся плоскостью или сферой, проходят две линии кривизны. На поверхности S сеть линий кривизны ортогональна и сопряжена.

Доказательство. Исключая из уравнений (4.85) радиус R главной кривизны, получим:

которое можно записать в виде:

(ED′− FD)du2 +(ED′′−GD)dudv +(FD′′−GD′)dv2 = 0. (4.98)

Это уравнение определяет сеть линий кривизны на поверхности S . Если

ED′− FD = 0, ED′′−GD = 0, FD′′−GD′ = 0, (4.99)

то уравнение (4.98) исчезает тождественно. Из (4.99) следует пропорциональность 2-й и 1-й квадратичных форм поверхности S :

74

Глава 4. Теория поверхностей

Если λ = 0, то поверхность S — плоскость (D = 0, D′ = 0, D′′ = 0). Если же λ ≠ 0 , то поверхность S — сфера. Исключая

эти случаи, убеждаемся в справедливости первой части тео-

ремы 4.10.

Из (4.98) находим:

Условие ортогональности и сопряженности направлений dudv и δδuv соответственно имеют вид:

характеризующие ортогональность и сопряженность сети линий на поверхности. Ч. т. д.

75

Краткий курс дифференциальной геометрии

Теорема 4.11 (Монжа). Линия Γ S тогда и только тогда является линией кривизны, когда нормали к поверхности S в точках линии Γ образует развертывающаяся поверхность

Второе из этих уравнений запишем в виде:

Умножая (4.110) скалярно сначала на ru , а затем на rv , получим:

76

Глава 4. Теория поверхностей

Учитывая в (4.113) формулы (4.23) и (4.58), находим

Система уравнений (4.111) приводится к виду:

Edu + Fdv − a(Ddu + D′dv) = 0,

(4.115)

Fdu + Gdv − a(D′du + D′′dv)= 0.

Сравнивая (4.115) с (4.85), убеждаемся, что (−a) совпадает

с одним их главных радиусов кривизны в точке M . Исключая из (4.115) a , приходим к уравнению (4.98) линий кривизны на поверхности S .

2. Пусть линия Γ является линией кривизны на поверхности S , т. е. выполняется (4.98). От (4.98) приходим к системе (4.115), а от нее последовательно к системам (4.113), (4.111) (4.110), (4.109), (4.108) (4.107),, т. е. вдоль линии Γ нормали к поверхности S образуют торс. Ч. т. д.

Если поверхность S отнесена к линиям кривизны, то выполняются условия ортогональности (4.37) и сопряженности (4.76) координатной сети, т. е.

§ 12. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера

Рассмотрим на поверхности S линию Γ, определяемую уравнениями

(4.117)

где s — длина дуги линии Γ, отсчитываемой от некоторой ее точки M0 .

Обозначим символами t1 и t2 единичные векторы касательных к координатным линиям u и v :

77

Краткий курс дифференциальной геометрии

Определение 4.19. Индикатрисой Дюпена поверхности S

в ее точке M называется кривая, описанная точкой P при произвольном выборе кривой Γ.

Обозначим через ξ,η — координаты точки P в косоугольной системе координат {M , t1, tG2 }. Из формул (4.119), (4.121) следует:

Глава 4. Теория поверхностей

Следовательно, индикатриса Дюпена — это кривая второго порядка с центром в точке M S , расположенная в касательной плоскости к поверхности S в ее точке M .

Определение 4.20. Точка M S называется эллиптиче-

ской, гиперболической, параболической, если индикатриса Дюпена в этой точке имеет эллиптический, гиперболический или параболический тип.

Следовательно, условие

— параболическую.

Отнесем поверхность S к сети линий кривизны. Учитывая соотношения (4.116) в формуле (4.123), получим:

G tG . ТогдаОбозначим буквой ϕ угол между ортами касательных t1 и

Сравнивая (4.129) и (4.119), получим:

Из (4.130) и (4.128) следует:

79

Краткий курс дифференциальной геометрии

Из уравнения (4.87) в силу (4.116) находим:

Сравнивая (4.132) и (4.131), получим:

Эта формула была выведена Леонардом Эйлером (1707— 1783) и носит его имя.

§ 13. Геодезические линии на поверхности. Символы Кристоффеля

80